LA MÉCANIQUE DE COPERNIC ET DE GALILÉE

Les Coperniciens n'ignoraient point que nos observations et nos mesures sont relatives et ne font que comparer entre elles des durées, des longueurs et des positions d'objets.

Mais de même qu'ils admettaient les notions de longueur et de temps absolus, ils admettaient la notion de mouvement absolu. Un corps, un élément matériel, fût-il seul dans l'univers, occupe à chaque instant' dans l'espace une position, un volume déterminé, qui peut ou non changer quand le temps varie.

C'est le mouvement absolu des corps matériels qui est soumis au principe de causalité.

Mais quel sens précis les Coperniciens donnaient-ils à ce principe ?

Pour l'expliquer plus nettement, je me placerai provisoirement dans l'hypothèse simpliste où l'univers' serait formé d'atomes identiques de dimensions inappréciables, dont chacun reste identique à soi même et ne peut, par conséquent, que se déplacer dans l'espace.

Considérons un système d'atomes, extrêmement éloigné de tous les autres corps. Si, à deux instants différents, ce système se trouve placé dans les mêmes conditions initiales, les mêmes mouvements absolus se reproduiront à partir des deux instants considérés. Si les conditions initiales ne se trouvent reproduites qu'à un transport près dans l'espace, les mêmes mouvements se reproduiront à ce transport près dans l'espace. Enfin si les conditions initiales présentent une certaine symétrie, la même symétrie apparaîtra dans les mouvements absolus du système.

Voilà ce qu'exprime le principe de causalité.

Mais qu'appellera-t-on conditions initiales du système? C'est là que résidait toute la difficulté de l'interprétation du principe, et c'est là que les Coperniciens faisaient plus ou moins consciemment appel à l'expérience et notamment aux observations de la chute des corps.

Nous pouvons lancer une . pierre dans une direction donnée, avec une vitesse plus ou moins grande ; autrement dit, nous pouvons l'abandonner en une position arbitraire/ avec une vitesse arbitraire en grandeur et en direction. Mais le mouvement ultérieur de la pierre est dès

P. PAIN LEVÉ

lors déterminé. Partant de cette observation vulgaire, les Coperniciens admettaient que les conditions initiales d'un système matériel sont les positions et les vitesses de ses atomes.

Imaginons, en particulier, que le système se réduise à un seul élément matériel, et considérons la droite définie par la position et la vitesse initiales de cet élément. Les conditions initiales sont évidemment symétriques par rapporta cette droite; le mouvement sera donc symétrique par rapport à cette droite, c'est-à-dire qu'il aura lieu suivant cette droite. Si la vitesse initiale est nulle, les conditions initiales sont symétriques par rapport à la position initiale de l'élément; l'élément demeure immobile.

Le principe de causalité ainsi interprété conduit donc à la conclusion suivante :

Un élément matériel infiniment 1 éloigné de tous les autres reste absolument fixe si sa vitesse initiale est nulle, et décrit une droite s'il est animé d'une vitesse initiale.

Pour certaines raisons de simplicité appuyées d'observations astronomiques sur lesquelles nous reviendrons, les Coperniciens admettaient que le mouvement absolu de l'élément est non seulement rectiligne, mais uniforme. Le principe de l'inertie qu'ils inscrivaient en tête de la dynamique s'énonce donc ainsi :

Le mouvement absolu d'un élément matériel infiniment éloigné de tous les autres est rectiligne et uniforme.

i. Le mot infiniment signifie que la proposition est d'autant plus exacte que l'élément matériel est plus éloigné de tous les autres.

MÊCAN/qUti

Supposons maintenant que certains corps soient proches de l'élément considéré P, par exemple un aimant, ou un fil attaché à P, etc. Le mouvement de P ne sera plus, en général, rectiligne et uniforme; sa trajectoire sera une certaine courbe, sa vitesse changera en direction et en grandeur. On dira alors que les corps voisins exercent sur P une certaine force. Mais comment mesurer cette force ?

Considérons un très petit intervalle de temps, le plus court par exemple que nous sachions actuellement mesurer. Au début de cet intervalle, l'élément P a une certaine position et une, certaine vitesse ; s'il était infiniment éloigné de tous les autres corps, sa position à la fin de l'intervalle serait P*, tandis qu'en fait elle est Pt ; pendant l'intervalle de temps considéré, la présence de corps voisins a donc fait dévier l'élément de P* en Pi. On dira que la force qui pendant ce petit intervalle de temps s'exerce sur l'élément a comme direction et sens la direction et le sens P' PA et qu'elle est proportionnelle à la fois à l'intensité de cette déviation et au nombre d'atomes qui composent l'élément P.

Cette définition, qui substitue à la notion vulgaire et imprécise de force une quantité mesurable, apparaît comme naturelle si on réfléchit que la grandeur dirigée qui représente mathématiquement la forte a le sens de la déviation dont cette force est la cause, et qu'elle est proportionnel1^ à la fois à la grandeur de cette déviation et à la quantité de matière déviée.

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P. PAINLEVE

J'ai parlé d'un très petit intervalle de temps; en réalité, c'est d'une durée infiniment petite qu'il s'agit, et c'est la déviation infinitésimale de l'élément pendant cette durée qui intervient dans la définition rigoureuse de la force à chaque instant. Cette déviation infinitésimale est caractérisée par la grandeur dirigée que les mathématiciens appellent V accélération. La notion d'accélération ne pouvait être dégagée des phénomènes du mouvement sans l'emploi du calcul infinitésimal, et tant qu'elle n'était pas acquise, la dynamique ne pouvait être créée. Copernic et ses disciples avaient l'idée nette de la vitesse comme d'une grandeur dirigée, mais c'est Galilée qui a introduit la notion d'accélération, et c'est à la découverte de cette notion que lui ont surtout servi ses expériences sur la chute des corps et le plan incliné. Il convient de remarquer que le calcul infinitésimal seul, s'il eût été assez avancé, auf ait conduit, sans aucune expérience, à lanotion, purement géométrique, d'accélération. Mais, historiquement, c'est au contraire l'observation des mouvements qui a inspiré toutes les découvertes du calcul infinitésimal, et c'est sous le vêtement mécanique qu'elles se sont présentées d'abord aux regards des chercheurs.

La mesure de la force étant ainsi déduite de l'analyse différentielle des mouvements, le calcul intégral permet d'effectuer l'opération inverse et de calculer le mouvement fini d'un élément matériel connaissant (en outre de ses conditions initiales) la force qui s'exerce sur lui à chaque instant.

Ce n'est pas tout : l'analyse infinitésimale ainsi opérée dans le temps, pouvait aussi, grâce au

MÉCANIQUE

principe de la composition des forces, être effectuée dans l 'espace. Quand deux corps sont simultanément en présence d'un élément matériel, la force qu'ils exercent sur cet élément est la diagonale du parallélogramme construit sur les deux forces qu'exercerait sur P chacun des deux corps s'il était seul. Cette règle, établie en Statique1, Galilée et Newton l'admettaient en Dynamique. Comme elle s'étend immédiatement au cas où plusieurs corps, au lieu de deux, sont en présence de P, on conçoit immédiatement qu'elle permette, à l'aide du calcul différentiel, de décomposer la force totale qu'un corps quelconque. S exerce sur un élément matériel P en forces exercées sur P par les divers éléments de S. En un mot, l'opération que les mathématiciens appellent diffêrentiation est capable de résoudre les phénomènes les plus complexes du mouvement en actions élémentaires, j'entends en actions qui s'exercent entre éléments de matière pendant un temps infinitésimal. Inversement, connaissant les conditions initiales d'un système matériel et les lois de ses actions élémentaires, l'opération dite intégration permet de sommer, en quelque sorte, dans le temps et dans l'espace ces actions élémentaires et de reconstituer, par la combinaison et la répétition de ces phénomènes infinitésimaux, le phénomène intégral dans sa complexité.

i. Le principe de la composition des forces en statique était connu et correctement appliqué dans l'antiquité et au moyen âge. Les cathédrales gothiques en sont une illustration. Galilée ne rénonce pas explicitement, mais il remploie. Stevin, contemporain de Galilée, en donne un énoncé absolument gé aérai.

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