A VANT-PROPOS

indiscutable valeur, leurs auteurs nous parlant, non par ouï-dire, mais par expérience, et pouvant, comme Descartes, justifier les procédés qu'ils décrivent « par les fruits qu'ils en ont déjà recueillis. » — Ce sont précisément ces pages que nous publions aujourd'hui et qui constituent comme une série de petits « discours sur les méthodes ».

Ainsi groupées, ces pages risquent fort de manquer d'unité, mais il n'y aurait à le regretter que si, en les rapprochant, on s'était proposé moins de faire réfléchir que de dogmatiser. Ce que l'on a voulu, au contraire, c'est mettre entre les mains des élèves et des professeurs, des textes qui forcent les uns et les autres à penser. — Il est possible que plusieurs d'entre eux provoquent d'assez vives discussions ; mais par cela même qu'ils sont signés de noms dont l'autorité est unanimement reconnue, leurs contradicteurs seront forcés de multiplier leurs arguments et d'avoir, pour ainsi dire, deux fois raison pour avoir raison, ce qui ne peut qu'être profitable à tous.

Il ne nous reste donc qu'à remercier les maîtres qui ont bien voulu répondre à notre appel dans l'intérêt commun de la science et de la philosophie.

P. Félix Thomas.

DE LA SCIENCE

De très bonne heure, l'humanité dut compter des esprits plus attentifs que leurs congénères à l'observation des phénomènes courants; ce furent les premiers savants. Ils ont allumé les premiers feux et enseigné à fabriquer les instruments des âges préhistoriques. Un certain sentiment de curiosité désintéressée se mêlait-il aux buts pratiques qu'ils voulaient atteindre? On pourrait discuter là-dessus, comme le font certains archéologues sur l'art des populations des cavernes, où on trouve des artistes capables de dessiner et de peindre d'un trait si sûr les mouvements des animaux familiers. Si il est vrai que, dans ces temps reculés, l'art a toujours été surajouté à l'utile, il en a sans doute été de même de l'effort ayant seulement pour but de satisfaire un vague sentiment de curiosité. Mais, ce que nous pouvons présumer de la science préhistorique se réduira toujours à peu

ÈMILE PîCÂHÙ

de chose, et c'est avec les anciennes civilisations

de .la Chaldée et de l'Egypte que commence l'histoire de la science. La géométrie semble y avoir eu un caractère expérimental. On enseignait à Babylone que le côté de l'hexagone régulier est égal au rayon; c'était là, probablement, un fait d'observation. Il a été l'origine de l'importance qu'a prise le nombre soixante, correspondant à la sixième partie de la circonférence, partagée en trois cent soixante degrés, ce dernier nombre répondant à la durée de l'année évaluée grossièrement à trois cent soixante jours.

La géométrie cultivée sur les bords du Nil n'était peut-être pas moins expérimentale. Les arpenteurs de Thèbes savaient qu'un triangle dont les côtés sont proportionnels à trois, quatre et cinq, est rectangle, et c'est en utilisant cette propriété qu'ils élevaient des perpendiculaires. Ainsi la géométrie égyptienne apparaît aux historiens de la science comme un ensemble de règles pratiques, dont l'origine est d'ailleurs parfois difficile à deviner, comme il arrive pour le carré de seize neuvièmes, qui représentait, d'après un papyrus de la dix-huitième dynastie, le rapport de la circonférence au diamètre. Ne méprisons pas toutefois cette mathématique, que l'on a appelée préscientifique, sous prétexte qu'elle n'avait qu'un but utilitaire. D'abord, il ne me paraît guère possible qu'elle n'ait eu ses parties théoriques, quoiqu'on ne puisse fournir à ce sujet aucun témoignage précis et ensuite, les faits mathématiques et astronomiques dont la connaissance est due aux Egyptiens et aux Chaldéens, ont été le point de départ indispensable pour les spéculations ultérieures.

DE LA SCIENCE

Si on veut trouver une science plus spéculative et des vues générales sur l'univers, il faut les chercher dans les sanctuaires où s'élaboraient des cosmogonies qui furent, dans leurs temps, de véritables théories scientifiques. L'action des dieux et des esprits y remplace sans doute les forces naturelles, mais il serait injuste de ne pas reconnaître l'effort de coordination et de sélection dont elles témoignent. A la place des esprits innombrables qui, pour l'homme préhistorique, comme pour le sauvage moderne, peuplaient le monde, un nombre relativement restreint de principes divins est intervenu, et ce travail de simplification a un caractère scientifique. Ces cosmogonies qui, une fois invariablement fixées, devaient être ensuite, au moins dans certaines religions, un embarras pour le développement ultérieur de la pensée scientifique, ont constitué à leurs débuts un réel progrès.

On fait généralement honneur aux Grecs d'avoir créé la science rationnelle et désintéressée ; c'est le miracle grec, dont aimait à parler Ernest Renan. Nous croyons moins aujourd'hui à ces discontinuités. Qu'il s'agisse d'art ou de science, l'étude des temps plus récents nous a habitués à l'idée d'une lente évolution, et il en a été sans doute en Grèce pour la science comme pour l'art. Quand les physiciens d'Ionie spéculaient sur les principes des choses, ils continuaient le travail de simplification et de réduction dont les religions orientales, et surtout la religion égyptienne, nous donnent des exemples. Car il ne faut pas oublier qu'il y avait dans ces vieilles cosmogonies des forces auxquelles les trieux

EMILE PICARD

mêmes étaient soumis, et nous pouvons nous représenter Thalès de Milet, et surtout Anaximandre et Anaximène comme achevant une laïcisation commencée bien des siècles auparavant.

Elles n'en marquent pas moins une date dans Thistoirede l'esprit humain, ces spéculations à la fois ambitieuses et naïves où tout est ramené à une substance unique, et où le mouvement apparaît comme un facteur essentiel : la science grecque, à ses débuts, eut toutes les audaces. Avec un peu d'effort, on a pu retrouver chez les premiers penseurs de la Grèce des pressentiments de quelques principes généraux de la science moderne, mais il convient de ne pas exagérer'de tels rapprochements qui sont superficiels. Le point capital à noter est que la science rationnelle, dès ses premiers pas, cherche une explication de tous les phénomènes naturels, en partant d'un petit nombre de principes. Si prématurée que fût une telle tentative, un but apparaissait, dont la vision devait exercer, indirectement au moins, une grande influence sur le développement de la science positive.

Le merveilleux développement pris chez les Grecs par les sciences mathématiques eut une importance plus grande encore. Au nom de Pythagore se rattache l'explication de toutes choses par les nombres, et une formule célèbre de l'école pythagoricienne, qui était toute une métaphysique, était que « les choses sont nombres ». Avec Pythagore et ses successeurs, la géométrie se constitue définitivement comme une science rationnelle, partant d'un certain nombre de concepts, de définitions et d'axiomes et se développant d'une manière purement logi-

DE LA SCIENCE

que. Ses progrès incessants pendant plusieurs siècles en firent le type idéal de la science, où tout est d'une intelligibilité parfaite, ce qui faisait écrire à Platon sur la porte de son école : « Que personne n'entre ici, s'il n'est géomètre. » Pour les Grecs, la réalité sensible n'est qu'une réalité incomplète; ils croient à une réalité intelligible plus réelle encore, et qui ne change pas ; tel est, en particulier, le monde des formes géométriques. Il importe toutefois de remarquer que cette science idéale de la géométrie, étudiant des objets rationnellement construits, ne perd pas contact avec l'intuition spatiale d'où elle tire toutes ses conceptions II paraissait donc naturel que l'instrument mathématique pût être utilisé pour une connaissance générale de l'univers, le réel étant, en quelque sorte, le monde sensible vu à travers les concepts de l'arithmétique et de la géométrie. Il suffit de rappeler ici les spéculations pythagoriciennes et platoniciennes sur la musique et les phénomènes célestes, suivies plus tard des systèmes astronomiques d'Hipparque et de Ptolémée. Ainsi, sous l'influence d'un esprit épris de clarté et simplifiant tout pour tout comprendre, la science positive tendait à prendre la forme mathématique; cette tendance n'a fait que s'accroître avec le temps, et nous aurons à dire dans quelle mesure elle nous apparaît aujourd'hui comme légitime.

Dans la philosophie et la science hellènes, simplicité, intelligibilité et vérité se montrent indissolublement liées. Il faut y joindre la beauté, le plus bel arrangement des choses étant aussi, d'après les Pythagoriciens, le plus. vrai. La physique et la cosmologie des Grecs furent œuvre,

ÉMILE PICARD

non seulement de savants, mais aussi d'artistes et de poètes. Leur science, à bien des égards, est donc bien loin de la nôtre; nous aurons toutefois l'occasion de rencontrer plus d'un point de contact avec l'esprit grec dans le maniement de nos théories et de nos hypothèses.

Dans ces vues rapides, nous n'avons pas voulu faire une esquisse de l'histoire de la science antique. C'est ainsi que nous n'avons pas parlé de la science expérimentale; si les Grecs ont peu expérimenté, il y eut parmi eux d'excellents observateurs, comme en témoignent assez l'œuvre immense d'Aristote en zoologie, et antérieurement les fines observations d'Hippocrate. Mais il n'en reste pas moins vrai que les mathémati- . ques ont été pour le génie hellène la science par excellence; c'est dans ce domaine que la Grèce fit surtout oeuvre scientifique durable. Depuis le temps de Pythagore, ses écoles géométriques sont restées célèbres, ne se bornant pas à l'étude des propriétés des figures, mais cultivant aussi une algèbre géométrique dans laquelle on raisonnait non sur les nombres, mais sur les .grandeurs.

En même temps se développait une arithmétique géométrique, et une des phases les plus intéressantes de son développement fut le conflit qui, chez les Pythagoriciens, s'éleva à ce sujet entre le nombre et la grandeur à propos des incommensurables. Plus tard, les procédés d'exhaustion que l'on trouve dans Eudoxe et dans Euclide appartiennent déjà au calcul inté gral, et le plus grand géomètre de l'antiquité Archimède, doit compter parmi les fondateurs du calcul infinitésimal. La science positive

DE LA SCIENCE

paraît, dès l'époque de la première École d'Alexandrie, se désintéresser peu à peu des théories philosophiques. Rien ne nous fait connaître sur ces sujets les opinions d'Archimède, mais ses profondes études sur la mécanique nous le montrent préoccupé des applications pratiques qu'avait longtemps dédaignées un amour ardent pour les spéculations métaphysiques. Avec Eratosthène et Hipparque, les applications de la géométrie à l'astronomie prirent le plus brillant essor; déjà auparavant, dès le milieu dume siècle avant notre ère, Aristarque de Samos avait édifié, sur le système du monde, l'hypothèse abandonnée après lui de la rotation de la terre autour du soleil, que Copernic devait reprendre seulement dix-huit siècles plus tard.

Cette excursion à travers l'antiquité a mis en évidence les diverses tendances qui, de très bonne heure, se sont développées relativement à l'objet même de la science. Si nous voulions continuer cette revue, nous les retrouverions jusqu'à nos jours, et, pour ne prendre qu'un exemple, de même que Pythagore disait que les choses sont nombres, Descartes affirme que l'étendue est l'essence des choses matérielles. Aujourd'hui encore, ces divers points de vue concourent à former l'opinion que l'homme, une fois acquis un certain degré de culture, se fait couramment de la science. Comme le dit Montaigne, « c'est un grand ornement que la science et il ajoute aussitôt : « c'est un outil de merveilleux service », c'est-à-dire que le beau et l'utile

ÉMUE PICARD

s'y rejoignent et sont inséparables; il y faut joindre encore notre naturelle curiosité et notre désir de connaître le vrai. Mais ces divers éléments peuvent se juxtaposer à des degrés variables, et il s'en faut que les mêmes mots soient entendus par tous de la même façon. Ainsi, nous l'avons dit déjà, les idées du beau et du simple ont pu, partiellement au moins, recouvrir l'idée du vrai pour quelques penseurs de la Grèce. Nous devons donc nous attendre à rencontrer chez les savants et chez les esprits philosophiques des opinions très diverses sur l'objet de la science et sur sa valeur; de plus, dans les différentes sciences particulières, la variété des problèmes et des méthodes concourt encore à accroître cette diversité. Sans nous astreindre à des classifications, toujours insuffisantes dans leur rigidité, nous allons jeter un coup d'œil sur les principales tendances qui se manifestent à notre époque, quant au but et à la valeur de la science.

On doit tout d'abord reconnaître que l'importance prise par la science dans nos sociétés modernes provient avant tout des services incomparables qu'elle rend à l'humanité. Le plus grand nombre considère, suivant le mot de Bacon, que la science et la puissance humaine se correspondent et vont au même but. Il admire surtout dans la science le merveilleux spectacle des applications si variées qui ont tant modifié les conditions d'existence des peuples civilisés; c'est un genre de valeurs aisément appréciable. Il y a même un danger dans ces constatations trop faciles, car on n'a qu'une vue très incomplète si on ne se rend compte des rapports qui

DE LA SCIENCE

existent entre ces brillantes manifestations de l'activité humaine et la science théorique et désintéressée. Les idées théoriques ont souvent été le germe fécond d'où sont sortis d'importants progrès dans l'industrie, dans l'agriculture, dans la médecine. Les rêveurs scientifiques, qui semblent perdus dans leurs spéculations, sont à leur manière des hommes pratiques : l'application vient quelquefois par surcroît. La source tarirait promptement, si un esprit exclusivement utilitaire venait à dominer dans nos sociétés trop préoccupées de jouissances positives.

L'histoire des sciences montre combien cette dépendance a toujours été intime entre la science pure et les applications. Ces influences réciproques ont agi dans l'un et l'autre sens, la pratique conduisant ici à la spéculation, tandis que les vues théoriques ont été ailleurs l'origine de recherches pratiques. Il suffit de rappeler quelques exemples. Dans son immortel ouvrage sur la Puissance motrice du feu, Sadi Carnot, en se proposant d'expliquer et d'étendre les services que peuvent rendre les machines à feu, a créé la thermodynamique d'où est née l'énergétique moderne; de même les recherches industrielles de Sainte-Claire Deville sur le platine ont été l'origine de ses études sur la dissociation d'où devait sortir la mécanique chimique. D'autre part, Newton, en écrivant le livre des Principes mathématiques de la philosophie naturelle^ ne pensait guère aux navigateurs qui devaient plus tard utiliser quelque Connaissance des Temps construite d'après les lois de la gravitation universelle; de même Ampère et Faraday, en étudiant ks actions des courants sur les courants

ÉMILE PICARD

et les phénomènes d'induction, préparaient à leur insu la voie à la construction des puissantes machines électromagnétiques dont l'emploi a bouleversé tant d'industries.

Quelle que puisse être dans chaque cas l'origine des progrès matériels réalisés par la science, celle-ci apparaît de plus en plus comme une puissance formidable, qui né recule jamais et dont les conquêtes sont définitives. Il semble que tout lui soit possible, et on doit reconnaître que les progrès accomplis depuis un siècle autorisent des espérances pour ainsi dire illimitées. Toutefois, ce brillant tableau ne va pas sans quelques ombres, et quelques-uns peuvent faire le procès de certaines utilités créées par la science, en lui reprochant d'augmenter nos désirs au détriment de notre bonheur et de notre tranquillité. Sur un terrain aussi subjectif, toute discussion est impossible. Quelque part de vérité que renferment ces vues pessimistes, personne ne nie le soulagement que, de bien des côtés, les progrès des sciences ont apporté à l'humaine misère, et qu'ils apporteront dans l'avenir en apprenant à mieux utiliser les forces naturelles et à en découvrir de nouvelles. On peut espérer qu'ils contribueront pour une large part à la solution des problèmes sociaux qui sont une des grandes préoccupations de notre temps. De ce point de vue optimiste, la science apparaît bonne en même temps qu'utile : c'est une pensée fortifiante pour ceux qui lui consacrent leur vie.

Nous venons d'envisager la science en quelque sorte du dehors, en considérant ses applications; c'est là, ai-je dit, le point de vue du plus grand nombre, et, à la découverte d'un phéno-

^ io 3

DE LA SCIENCE

mène ou d'un corps nouveau, il nous est arrivé à tous d'entendre demander à quoi cela pouvait servir. Toutefois, il faut reconnaître que la diffusion des méthodes scientifiques modifie peu à peu la mentalité de ceux qui se piquent le moins de curiosité philosophique. Sous une forme plus ou moins nette, l'idée de loi scientifique s'implante dans les esprits de ceux qui n'y voient d'abord qu'une possibilité d'accroître notre puissance sur les choses, et, comme on l'a dit, de commander à la nature en obéissant à ses lois. D'ailleurs, le nombre augmente de ceux pour lesquels tout point de vue utilitaire est dépassé, et que quelque partie au moins de la science intéresse par elle-même. L'astronomie est à cet égard une des sciences les plus captivantes. Il y a un grand attrait à contempler quelques instants l'Univers du point de vue de Sirius, ou à se transporter plus loin encore dans les mondes stellaires en formation que paraissent être les nébuleuses irrésolubles, et on est presque assuré de retenir l'attention en parlant devant un ciel étoilé des distances immenses qui nous séparent des étoiles les plus rapprochées.

Il est temps dé rechercher maintenant ce que pensent de la science ceux qui la cultivent et ont réfléchi à ses principes. La philosophie positive d'Auguste Comte a exercé une grande influence dans la seconde moitié du siècle dernier; nous en envisageons seulement le côté strictement scientifique sans en discuter l'originalité.

Les vérités scientifiques sont des vérités de l'or-

& ii ^

EMILE PICARD

dre expérimental ; nous constatons des faits par l'observation et l'expérience et, en rattachant de proche en proche les faits les uns aux autres par des relations immédiates, nous arrivons à des notions d'un ordre plus général qui fournissent l'explication commune d'un nombre immense de faits particulier*. A travers les circonstances indéfiniment variables de ceux-ci, nous apercevons ainsi des rapports constants, ce qui nous conduit à des lois. Telles sont, pour prendre un exemple, les lois sur la pression des gaz et sur les tensions des vapeurs, qui rendent compte d'un grand nombre d'expériences particulières. Aucune difficulté ne se présente d'ailleurs pour Comte, quant à la notion même du réel; comme il le dit, le mot positif désigne le réel par opposition au chimérique. La doctrine Comtienne, qui ne s'embarrasse d'aucune analyse délicate, paraît assurément simple, mais est singulièrement superficielle. Comte, qui se préoccupait surtout de sociologie, n'était pas un savant; il parle, pour ainsi dire, d'une science achevée, comme en témoignent, au reste, ses prévisions malheureuses sur les bornes imposées à diverses recherches scientifiques, et sa vision statique d'une science qu'il souhaite voir promptement définitive, est pour nous inadmissible. Taine dit quelque part de Stuart-Mill, qu'il s'est coupé les ailes pour fortifier les jambes; beaucoup de savants préfèrent garder quelques ailes, et pensent que le chimérique joue son rôle dans l'édification de la science. Le positivisme trop simpliste de Comte a besoin d'être élargi par une analyse plus complète. Malgré son étroitesse, il a représenté assez exactement pendant la seconde

& il S

DE LA SCIENCE

moitié du siècle dernier, l'opinion de la majorité des savants, particulièrement de ceux qui, surtout expérimentateurs, se méfiaient des théories. Une lettre célèbre de Berthelot à Renan, résume bien la doctrine mais avec plus de largeur, car Berthelot juge nécessaire d'adjoindre à la science positive une science idéale dont les frontières avec la première sont d'ailleurs assez vaguement tracées, et il n'en pouvait être autrement, la science positive présentant, comme nous allons le voir, dans sa genèse un certain degré d'arbitraire.

Il est impossible d'approfondir davantage les questions qui se posent relativement à l'objet de la science, sans faire une analyse sommaire de l'acquisition de nos connaissances. Les seules choses dont nous ayons une connaissance certaine sont les phénomènes de conscience, variables d'ailleurs d'un moment à l'autre. Ils peuvent se partager en deux groupes que nous rapportons au monde extérieur et au monde intérieur. Le monde extérieur est ce qui parvient à notre conscience à travers les sens, et que notre volonté seule ne suffit pas à faire naître. Les laits de conscience se produisant sans l'intermédiaire immédiat des organes des sens sont rapportés au monde intérieur, tels la pensée et le souvenir. Nous avons ainsi la notion vague d'un réel intérieur et d'un réel extérieur. Nous nous bornerons ici à cette dernière notion; mais il importe de la préciser, car il faut tenir compte des illusions des sens. La notion du réel est pour l'homme une notion lentement acquise par une suite innombrable d'expériences, où la volonté a joué un rôle et auxquelles ont pu concourir divers organes. C'est

ÉMIIJS WCÂÏID

par ces expériences répétées que sont peu à peu éliminées les illusions des sens. De plus, dans ces expériences, la constatation de certains rapports invariables entre une première sensation, et celles que nous pouvons faire naître à sa suite, achève de nous donner la notion du réel. On ne peut d'ailleurs se borner au réel individuel. Le réel a aussi une signification sociale, comme on dit aujourd'hui, en ce qu'il exige un consensus universel dans une humanité moyenne ; il peut être différent pour les fous et les hommes d'esprit sain.

Cette analyse suffit à montrer que notre notion du réel est susceptible de corrections et d'accroissements progressifs. Elle dépend à la fois d'expériences d'une précision croissante et des constatations successives de certaines invariances ; c'est un point qu'il ne faudra pas oublier. Malgré cette mobilité, la suite d'observations ou d'expériences ayant entre elles un lien, par exemple, la succession des jours et des nuits, nous familiarise de bonne heure avec l'attente de sensations consécutives bien définies, et de l'attente à la prédiction il n'y a pas loin. La connaissance du réel apparaît donc avec une incontestable valeur d'utilité, et ainsi que nous l'avons déjà indiqué, l'utile et le vrai sont dans cette question extrêmement voisins. Gomme l'a remarqué Helmholtz : « nous disons que nos représentations du monde extérieur sont vraies quand elles nous donnent une indication suffisante des conséquences de nos actes par rapport à ce monde extérieur, et qu'elles nous permettent de tirer des conclusions exactes sur les modifications que nous pouvons en attendre ».

DE LA SCIENCE

Les observations et les expériences dont il a été question jusqu'ici sont les expériences et observations vulgaires. Si on en reste là, on se trouve seulement en présence d'un simple monceau de faits présentant quelques connexions, et cette connaissance brute du réel n'est pas suffisante pour fonder lascience. Mais, dans nos expériences sur une certaine portion du réel extérieur, nous parvenons à distinguer certaines propriétés qui sont indépendantes de nous, et d'autres qui en dépendent. Ce sont les éléments objectifs et les éléments subjectifs. Parmi les éléments objectifs, il en est de constants qui nous donnent l'idée de la chose elle-même ; d'autres peuvent être variables comme la position ou lç mouvement de cette chose. Quant aux éléments subjectifs, des exemples en sont fournis par la distance où nous nous trouvons d'une chose déterminée et l'angle sous lequel nous la voyons. Les distinctions, dans lesquelles nous abstrayons certains éléments pour n'en retenir que quelques-uns, forment une des opérations les plus essentielles que nous puissions faire sur nos expériences, et ces abstractions nous conduisent aux concepts. Ainsi nous formons le concept d'homme ou de matière. Ce qui précède montre assez qu'il ne faut pas attribuer à nos concepts un caractère de fixité absolue. Ils sont susceptibles d'être modifiés soit par suite de la constatation de faits nouveaux, soit par un départ plus exact entre les éléments objectifs et les éléments subjectifs. Ajoutons que la formation des concepts présente quelque degré d'arbitraire, conséquence d'une certaine indétermination dans le choix des éléments conservés. Nous arrivons maintenant à un point très im-

ÉMILE PICARD

portant : les concepts jouent un .rôle essentiel dans la genèse de la science et la connaissance scientifique tend à s'eflectuer au moyen de concepts. Ce que nous avons dit de l'arbitraire se présentant dans la formation de ceux-ci, montre nettement le rôle que. joue, dans l'édification de la science, l'esprit travaillant sur les données de l'expérience.

Ces représentations mentales des faits servent de base à nos raisonnements, et nous utilisons nos concepts dans des déductions qui conduisent à des prévisions ; c'est#n cela que réside essentiellement leur utilité. Nous ne voulons pas nous immiscer ici dans la lutte entre le psychologisme et la logique. On peut traiter de la genèse de la science, en regardant les rapports logiques comme des données. A ce point de vue, la logique est un instrument impuissant à créer, mais admirable pour la transformation et apte à mettre en évidence des conséquences inattendues qui pourront conduire parfois indirectement à la formation de concepts plus étendus et à des hypothèses plus générales. C'est d'ailleurs un outil délicat, opérant sur une réalité déjà déformée et simplifiée, et il reste toujours nécessaire de comparer les conséquences de nos déductions avec les résultats de l'observation et de l'expérience.

Nous avons plusieurs fois parlé de rapports invariables et de successions dans un ordre déterminé ; on affirme, par exemple, qu'un certain élément se trouve toujours dans une chose, si un autre élément s'y rencontre, qu'il s'agisse de rela-

DE LA SCIENCE

tions dans le temps ou dans l'espace. Des flots d'encre ont coulé sur le principe de causalité, mais quelle que soit la doctrine, associationniste évolutive, intuitive, tous les efforts pour prouver la validité du principe devaient échouer. Nous nous bornerons à dire que l'expérience nous a rendu familières certaines liaisons, et qu'elle nous a conduits à la croyance qu'il y a des lois dans la nature. « Avant de faire la science, disait Claude Bernard, il faut croire à la science. » Ajoutons qu'on a commencé à croire à la science quand on s'est rendu compte de son utilité; de plus, nous sommes encore poussés à cette croyance par un sentiment esthétique, celui de l'ordre et de l'harmonie qui se trouve nécessairement dans la notion de loi. Nous retrouvons là des idées qui se sont déjà présentées à nous sur le concours du vrai, de l'utile et du beau.

Un système de concepts associé à des lois ou faits particuliers, et transformé par des déductions convenables de façon à faire rentrer, moyennant certaines hypothèses, ces faits ou lois dans des cadres plus généraux, constitue une théorie scientifique. Nous avons dit la part d'arbitraire que présente la formation des concepts ; elle est plus grande encore a fortiori dans la formation des théories. Cet arbitraire réside principalement dans les hypothèses conduisant aux généralisations qui sont le point essentiel de la théorie. Dans les diverses sciences, le développement des théories prend des formes très différentes, et même leur rôle n'est pas entendu de la même façon par tous les savants ; nous en dirons un mot plus loin.

D'une manière générale, on exige d'une théorie

MÉTHODE. — a

EMILE PICARD

qu'elle soitsimple. Ilyalàunenotion aussiféconde que vague ; ce principe de simplicité, malgré son caractère hypothétique, tend à produire en noue un sentiment de certitude. Devant une loi simple, nous croyons moins à la possibilité d'une erreur ; on peut présumer que la loi de la gravitation universelle n'aurait pas eu grand avenir, si au lieu de l'exposant deux, il eût fallu, comme on Ta proposé pour expliquer certaines particularités du mouvement de la planète Mercure ne cadrant pas avec les observations, lui substituer le nombre deux augmenté de seize unités du huitième ordre. Sans doute, comme le disait un jour Fresnel à Laplace, la nature se joue de nos difficultés analytiques, et les physiciens connaissent les relations compliquées que Ton doit substituer à la loi simple de Mariotte; mais beaucoup ne sont satisfaits que quand ils peuvent rattacher des relations complexes à quelque idée théorique simplement formulée. Quand il en est autrement, les lois sont traitées d'empiriques, ce qui ne va pas sans un peu de mépris, et ce qui peut paraître d'abord singulier, car toutes les lois proviennent directement ou indirectement de l'expérience. Ces remarques ont un caractère général, et nous pouvons dire que à chaque instant nous nous laissons guider par ce principe de simplicité; on a ainsi une première approximation dans la genèse de la science.

Toute théorie mettant en présence un certain nombre de concepts, d'hypothèses, de faits expérimentaux et de raisonnements forme un amalgame dont les parties peuvent se laisser difficilement disjoindre. Aussi, en général, aucune expérience ne permet-elle d'établir la vérité d'un élé-

DE LA SCIENCE

ment de cet ensemble présentant un caractère ^hypothétique. Il arrive donc que plusieurs théories puissent se développer simultanément et rendre compte d'un même groupe de phénomènes. On pourrait toujours faire concorder une théorie avec l'expérience, en modifiant certains concepts ou en introduisant quelques hypothèses supplémentaires. Mais ici encore intervient ridée de simplicité, en nous faisant rejeter une théorie trop compliquée; c'est sans doute, parce que, une telle théorie étant trop difficile à manier, nous la jugeons peu utile; peut-être aussi parce qu'elle ne nous paraît pas belle dans sa complexité.

Quand nous observons un phénomène, il nous arrive de dire que nous comprenons ou que nous ne comprenons pas. Que signifie cette assertion? Nous comprenons un phénomène quand, avec nos connaissances acquises, nous aurions pu le prévoir. Notre explication consiste à développer cette possibilité de prévision. On peut d'ailleurs être plus ou moins exigeant quant à la nature des lois ou théories à invoquer dans une explication : ces exigences varient d'une science à l'autre, et elles ne sont pas les mêmes pour un physicien et pour un biologiste. Nous remontons aussi plus ou moins haut dans nos explications. Ainsi la mécanique céleste prend pour point de départ l'attraction newtonienne, mais on peut voulpir expliquer cette attraction même, avec peu de succès d'ailleurs, soit en considérant les impulsions communiquées aux corps par les particules d'un milieu très subtil, soit dans certaines théories électriques en se basant sur des différences entre les électricités de signes contraires. Quoi qu'il en soit, l'intelligible tout court

ÉMILE PICARD

n'a plus aujourd'hui pour nous grande signification ; il y a toujours une première donnée dont il faut partir dans nos explications.

Les généralités précédentes ont mis en évidence la part de notre esprit dans la genèse de la science et il est exact que nous créons notre science, ne spéculant sur les réalités extérieures qu'à travers nos concepts et théories. Mais ceux-ci ne forment pas une armature rigide, comme les formes et les catégories de certain idéalisme. Une partie importante du progrès des sciences consiste dans une connaissance pluscomplète des éléments objectifs, ce qu'on exprime en disant que la science tend à devenir de plus en plus objective, et cette connaissance influe nécessairement sur la formation des concepts et de leurs groupements. Il n'en faut pas moins reconnaître que l'objectivité complète de la science est une chimère ; créée par nous et avec nos organes, notre science est à notre mesure, et sera toujours en quelque manière dépendante de no€ rapports avec le monde extérieur. Aussi y a-t-il une forte part d'illusion chez ceux qui regardent la science comme devant faire connaître les énigmes de l'univers. Le nombre paraît en diminuer chez les savants; peut-être augmente-t-il chez ceux pour qui la science est surtout un sujet de dissertations, et qui cherchent surtout à opposer une idole à d'autres idoles.

En faisant un examen sommaire de quelques sciences particulières, nous trouverons l'application des remarques générales qui précèdent, et

DELA SCiEHCR

nous pourrons les compléter sur plusieurspoints. Nous avons vu qu'en Grèce la science rationnelle apparaît avec la géométrie, et, depuis la Renaissance jusqu'à nos jours, les sciences delà nature ont tendu à prendre une forme mathématique. C'est qu'en effet les concepts de l'arithmétique et de la géométrie, si complexes qu'ils puissent paraître à la critique moderne, sont cependant par comparaison avec d'autres d'une extrême simplicité ; ils nous donnent le sentiment d'une clarté et d'une intelligibilité supérieures.

La géométrie nous apparaît à ses débuts comme une science physique, les sensations variées provoquées en nous par le monde extérieur ayant conduit à la notion d'un espace sensible, et celui-ci nous a amenés à élaborer les concepts géométriques; tels sont les concepts de points, de droites, de plans, d'angles et d'autres encore. Au sujet de ces concepts ont été formulés des axiomes ou postulats ; la géométrie est dans ces conditions une théorie relative aux faits géométriques, dans le sens même où nous l'entendions plus haut d'une manière générale. Un certain degré d'arbitraire doit dès lors subsister dans la structure de la géométrie, et on peut en donner comme exemple la formation du concept de mesure. On a donc pu former diverses géométries, et tout le monde a entendu parler de la géométrie ordinaire ou euclidienne et des géométries non euclidiennes qui n'admettent pas, comme la première, le postulatum d'Euclide relatif aux parallèles. En réalité, le nombre des géométries logiquement possibles est infini. Il a été proposé d'appeler géométrie pure la science de toutes les espèces possibles d'espaces, cette

ÉM1LE PICARD

géométrie pure n'étant qu'un système logique, tandis que notre géométrie usuelle serait la géométrie réelle ou appliquée. Ces dénominations et particulièrement la qualification de réelle pourraient soulever bien des controverses, quoiqu'elles expriment au fond une idée juste. Ainsi on s'est demandé si la géométrie euclidienne était vraie par rapport aux géométries non euclidiennes; pour quelques-uns la question n'a pas de sens, et il faut dire seulement que la géométrie euclidienne est la plus commode. Pour ma part, je comprends mal le mot commode ; si on se reporte à ce que nous disions plus haut avec Helmholtz de la vérité, on doit regarder que le plus commode est en même temps le vrai. La théorie euclidienne, rendant compte dans leur ensemble avec le plus de commodité des faits observés, nous apparaît comme la plus vraie. La géométrie us.uelle est la plus simple des théories physiques, et nous avons vu plus haut qu'elle eut d'abord un caractère expérimental.

L'histoire de la mécanique nous offre un autre exemple digne d'attirer l'attention. La mécanique emprunte à la géométrie l'idée d'espace, de cet espace abstrait sur lequel raisonnent les géomètres. Il répugne à beaucoup de l'appeler l'espace absolu. Je ne puis partager cette répugnance, et je crois que le mot n'a rien de dangereux. Il n'y a pas lieu, me semble-t-il, de repousser cette notion qui a rendu à la science de grands services, et sans laquelle la mécanique ne se serait pas fondée ou aurait pris un autre tour. L'ignorance ou l'oubli momentané de certains mouvements, comme les mouvements propres des étoiles et la rotation de la terre, a été féconde

DE LA SCIENCE

dans la genèse de la science moderne; c'est ainsi qu'ona été conduit à formuler, après une longue élaboration, des principes dont on ne vit pas heureusement d'abord toutes les difficultés d'applications. Le savant admet l'existence du monde extérieur; il peut bien accepter l'idée d'un espace absolu, lieu des phénomènes de ce monde extérieur, et d'ailleurs, même quand il ne l'accepte pas, il en parle malgré lui.

La notion de temps est essentielle aussi pour la mécanique ; elle exprime l'idée de l'enchaînement des choses, et le temps abstrait se présente* comme une variable indépendante à laquelle nous rapportons les phénomènes. Il faut chercher sans doute dans des faits physiologiques rapprochés d'expériences et d'observations convenables, l'origine de sensations de durées égales, et par suite les raisons pour lesquelles nous avons pu, par approximations successives, arriver à une graduation du temps. La durée de la rotation de la terre autour de son axe, répondant suffisamment aux sensations ainsi acquises de mouvement uniforme, a été prise pour unité de temps et le choix de cette unité a été capital dans le développement de la mécanique.

Dans la genèse de la mécanique, comme de toute science, des circonstances accidentelles ont joué un rôle ; il faut noter à cet égard le caractère des expériences fondamentales de Galilée et de Newton sur la chute des corps et sur le pendule. Quoique l'on connût le mouvement de la terre, on faisait abstraction de ce mouvement dans l'interprétation de ces expériences. Il y a là une de ces approximations fréquentes dans l'histoire des sciences, où fort heureusement la peti-

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tesse des perturbations laisse un caractère simple à un phénomène complexe, ce dont on -ne se rend compte d'ailleurs qu'après coup. Le développement de la mécanique aurait été tout autre si la terre avait tourné beaucoup plus rapidement autour de son axe, les expériences sur le plan incliné se présentant avec une complication qui eût permis difficilement de formuler des principes simples.

Le développement des sciences paraît présenter aussi des cercles vicieux. Ceux-ci, tels seule- *ment pour un esprit d'une logique trop rigide, ne sont que la conséquence du progrès dans les approximations successives qui forment la science utilisant d'abord la connaissance vulgaire pour s'élever à la connaissance scientifique, puis passant d'un premier concept à un concept plus étendu parfois en contradiction partielle avec le premier. Citons au moins un exemple de ces circonstances. Ainsi Newton ayant, par une extension hardie, tiré des lois de Kepler les lois de la gravitation universelle, une conséquence de ces dernières lois fut de montrer que la troisième loi de Kepler ne pouvait être exacte. C'est que le soleil avait été supposé d'abocd immobile et que, étudiant ensuite la question d'une manière plus générale, on considéra le soleil comme luimême en mouvement par rapport aux étoiles fixes (qui elles-mêmes d'ailleurs sont mobiles). Mais, heureusement pournous, les masses de toutes les planètes sont très petites par rapport à la masse du soleil, et les lois de Kepler sont très approchées ; c'est grâce à cette circonstance favorable de très petits rapports de masses qu'il a été possible d'arriver aux lois de la gravitation universelle.

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La mécanique classique a conduit à des types de relations différentielles, en postulant, plus ou moins explicitement, un principe de nonhérédité d'après lequel • les changements infini- I ment petits, qui surviennent dans un système, dépendent uniquement de l'état actuel de celuici, et en supposant en outre que ces systèmes sont conservatifs, les lois physiques faisant connaître, bien entendu, pour chaque catégorie de phénomènes certaines fonctions qui se présentent dans ces relations. Ainsi s'est constituée une sorte de moule où on a cherché à enfermer la représentation analytique des phénomènes dans les diverses parties de la physique. lia fallu ensuite élargir certains des doncepts introduits, donner en particulier au concept de force une plus grande généralité. Ces retouches successives ne seront sans doute jamais terminées. Le nombre des éléments à introduire augmente sans cesse à mesure que Ton veut serrer de plus près le réel; le microscope ne nous suffît plus, il nous faut l'ultramicroscope. On a dû aussi faire intervenir des milieux ou sortes de substances, comme l'éther ou les électricités, afin de constituer les théories optiques ou électriques. Nos théories sont donc susceptibles de s'élargir, en envisageant des éléments cachés, comme on l'a dit, à côté des éléments visibles, ces éléments cachés ne nous étant connus qu'indirectement, et étant soustraits, au moins d'une manière directe, à notre action.

Les chimistes spéculent depuis longtemps sur

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de tels éléments, comme sont les molécules et les atomes, dont la considération est pour eux si féconde.

L'introduction des éléments cachés offre évidemment un large degré d'arbitraire, mais n'en est-il pas de même dans la formation de tout concept? Elle reste une porte ouverte pour les mécanistes qui veulent garder les moules de la mécanique classique, et cela n'est pas sans importance. Si nous avons un système pratiquement isolé à éléments tous visibles, la forme des équations nous apprend que le système sera réversible, c'est-à-dire que nous pourrons renverser le mouvement en changeant seulement les sens des vitesses ; nous pourrons faire remonter au système le cours du temps. En réalité, il n'en est rien, et dans aucun phénomène nous ne disposons à un moment donné des valeurs de tous les éléments qui entrent en jeu et de leurs dérivées premières, ce qui peut constituer une explication, sinon de l'irréversibilité, au moins de sa possibilité. Héraclite avait raison de dire qu'aucun homme ne se baigne jamais deux fois dans le même fleuve : le monde ne peut faire machine en arrrière.

Ces remarques montrent les difficultés et l'arbitraire que peuvent présenter les explications mécaniques ; mais, malgré ces difficultés, le désir impérieux de chercher de telles explications a été, pour le développement de toutes les sciences, un stimulant d'une grande fécondité. Les images, ou quelquefois les modèles, qui prennent ainsi naissance sont, pour beaucoup d'esprits, un aide puissant dans la recherche, en même temps qu'elles rendent souvent

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accessibles certains résultats à ceux qui veulent les utiliser pratiquement. Quoique je n'aie pas ici à entrer dans le détail, je dois dire cependant quelques mots de l'énergétique qui s'est développée, quelquefois en opposition avec le mécanisme, et dont quelques représentants au moins envisagent tout autrement l'objet d'une théorie physique. Ils rompent avec l'ordre historique, et il n'est plus question avec eux de cette longue série d'approximations et de retouches successives. Ils posent tout d'abord quelques principes comme celui de la conservation de l'énergie et le principe de Carnot sous leurs formes les plus générales, et ne voient dans les phénomènes que des transformations d'énergie. L'importance du point de vue énergétique est immense, et personne ne songe à la nier, mais on peut penser qu'il y a là un esprit exclusif peu favorable à l'invention scientifique. Et tout d'abord, l'énergétique est bien ingrate envers le mécanisme d'où est sorti, dans un cas spécial, le principe de la conservation de l'énergie. Ensuite, l'idée de la science que se forment les énergétistes est bien peu vivante, et a un caractère surtout didactique. En supposant qu'il ne soit pas absurde de parler du moment où la science sera finie, on pourrait dire que la meilleure manière de l'exposer sera la forme préconisée par l'énergétique; on pourra alors commencer par poser des principes pour jan^ais acquis, et la recherche n'aura plus besoin d'être stimulée. L'énergétique pure, quand elle se borne systématiquement au concept d'énergie, est, si j'ose le dire, une science austère, drapée dans ses symboles, ne se permettant aucune image ni aucun modèle, et d'où quelques-uns

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excluent même le concept de matière. Il arrive

en fait que l'énergétique et le mécanisme se mêlent le plus souvent. Cela est fort heureux ; ce n'est qu'en adoptant des points de vue divers, quelquefois opposés, que les sciences progressent, et il ne faut pas mutiler l'esprit humain.

Nous avons eu en vue dans ce qui précède les sciences physico-chimiques, qui tendent de plus en plus à prendre une forme mathématique. Les sciences biologiques se présentent en général avec un autre caractère. En raison de leurs extrêmes complications, elles sont à un stade moins avancé avec des concepts moins élaborés, restant dans leur ensemble plus voisines de l'observation pure et simple, malgré les admirables résultats obtenus par l'expérimentation dans quelques-unes de leurs parties, et la déduction y joue un rôle moins important. Leurs méthodes demandent des habitudes d'esprit quelque peu différentes de celles habituelles aux savants qui sont adonnés aux sciences entrées dans une période plus mathématique et où le stade qualitatif, si je puis dire, est depuis longtemps dépassé. Tandis que le nombre des éléments à introduire dans l'étude d'un phénomène physique est pratiquement assez petit, il serait nécessaire d'introduire un nombre immense de variables, si on voulait en biologie construire des théories du même type que les théories mécanistes de la physique, d'où une extrême complexité dans la formation des concepts. Cela semble pour longtemps, sinon pour toujours, impossible, et on peut se demander si les sciences biologiques seront susceptibles de revêtir, comme les sciences physico-chimiques,

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une forme mathématique ; nous en sommes en tous cas très loin.

Un point essentiel aussi à noter est que Ton ne peut admettre le postulat de non-hérédité que nous avons trouvé à la base de la mécanique' classique. S'il n'est pas complètement exact pour les phénomènes physico-chimiques, il donne le •plus souvent, dans les sciences, de la nature inanimée, une première approximation précieuse, dont on peut se contenter. Il en est tout autrement dans les sciences de la vie. Aussi le mécanisme proprement dit s'y présente-t-il avec d'énormes difficultés, et les considérations globales de l'énergétique rendent-elles, notamment en physiologie, de très grands services. Il faut élargir aussi le sens du mot explication, la prévision étant rarement possible sous forme quantitative; parfois même il faut regarder une narration historique comme une explication, se bornant à raconter une évolution dont le sens seulement apparaît, sans qu'on en puisse préciser les causes. Cela ne veut pas dire que les phénomènes vitaux ne se ramènent pas aux phénomènes physico-chimiques, à condition qu'il soit question d'une physico-chimie considérablement élargie. La biologie contemporaine pose le postulat de cette réduction, seul fécond pour son développement, et les résultats obtenus dans cette voie en chimie biologique, particulièrement dans l'étude des diastases et des colloïdes, sont déjà considérables.

En résumé, quoi qu'il en soit des diverses tendances qui se présentent dans les différentes parties de la Science, celle-ci se présente à nous comme une vue du monde extérieur à travers des

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concepts tirés par abstraction de l'expérience et rapprochés les uns des autres de façon à obtenir des lois qui rendent possibles la coordination et la prévision. Le réel, tel qu'il a été envisagé dans les pages précédentes, paraîtra peut-être bien pâle, à côté de la réalité que saisit l'intuition vulgaire. Pour pouvoir avec cette réalité confuse faire oeuvre scientifique, il a fallu la simplifier, ce qui n'a pas été sans la décolorer, et ramènera des lignes moins lâches les contours flottants des choses. Si le spectacle est plus restreint, il gagne en précision, et nous marchons sur un terrain plus solide. Les savants, en majorité au moins, ne pensent guère dans ces conditions trouver le mot des choses, comme l'espérait naïvement Renan dans X Avenir de la Science ; ils ne sont même plus très sûrs de comprendre le sens de telles expressions. Se rendant compte de la relativité de nos connaissances qui ne nous font connaître que des rapports, les générations de savants avancent, au milieu de complexités toujours croissantes, dans leurs approximations successives ; ils ont confiance dans le postulat de leur convergence, et espèrent trouver, au bout de ce labeur jamais terminé, une unité, déjà rêvée par les sages d'ïonie, dont la découverte sera peutêtre quelque jour l'honneur de l'esprit humain.

Emile Picard,

De l'Académie des Sciences, Professeur à la Sorbonne.

MATHÉMATIQUES PURES

Pour peu qu'on ait étudié les mathématiques, on n'ignore pas que la méthode par laquelle on les expose est la méthode déductive. Sauf dans les premières pages des traités élémentaires, chaque proposition est déduite dé propositions antérieurement démontrées ; on ne fait pas appel à Tévidence directe de la proposition à démontrer, ou d'une affirmation particulière qui serve à la démonstration, on montre que cette proposition ou cette affirmation sont contenues logiquement dans une proposition antérieurement démontrée ou admise. Mais on ne peut remonter à l'infini la chaîne des déductions; il faut qu'elle soit accrochée quelque part : il faut partir de quelques notions premières et de quelques propositions qui les concernent, que l'on doit admettre sans les démontrer et d'où sortira logiquement tout le développement de la science. L'étude des notions premières, comme le nombre entier, le point, la ligne droite, le plan, et des axiomes qui s'y rapportent, intéresse à la fôis le mathématicien et le philosophe ; elle a été commencée par les anciens et poussée très loin dans les temps modernes.

Malgré l'importance de cette étude et des £ 31 €

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résultats, définitivement acquis, auxquels elle a conduit, on me pardonnera si je ne fais qu'effieu- f rer un sujet où je ne suis guère -compétent et où le- sens et la portée des spéculations qu'il com- I porte n'apparaissent bien qu'à ceux qui ont une | forte culture mathématique : d'ailleurs, c'est sur I le développement des mathématiques que je vou- I drais insister, plutôt que sur leurs fondements, j

Que des idées comme celles de la droite ou du plan nous aient été suggérées par l'expérience, | cela n'est pas contestable ; mais qu'est-ce qui ne nous a pas été suggéré par l'expérience ? Quoi qu'il en soit, il faut bien reconnaître que nous J n'avons jamais touché, ni vu, une ligne droite,*ou j un plan : l'existence d'une ligne droite matérielle, ou d'un plan matériel, est impossible, contradictoire avec ce que nous savons de la matière. Il est probable que le mode de propagation de la I lumière et les expériences qui nous ont fait reconnaître le plus court chemin, la ligne de moindre effort, pour aller d'un point à un autre, sont pour beaucoup dans la formation de notre idée de la ligne droite : l'animal qui fond sur sa proie a quelque connaissance qui ressemble plus ou moins à notre notion de la ligne droite ; mais pour arriver à cette notion, dont on s'accorde généra- I lement à reconnaître qu'elle est indéfinissable, I il faut à notre pensée cette merveilleuse puissance d'abstraire, de simplifier, de passer à la limite, qui se manifeste dans toute notre science et nous permet de dessiner une image du monde extérieur qui plaise à notre raison.

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En dehors de notre pensée il n'y a assurément ni point, ni ligne droite, ni plan ; c'est elle qui crée ces éléments; nous leur attribuons cependant une sorte de réalité, qui est comme un résidu et une limite de ce que nous pouvons expérimenter et imaginer; nous disons avoir l'intuition du point, de la ligne droite, du plan, du corps solide,... Notre intuition enveloppe certaines propriétés, certains axiomes, concernant ces éléments et leurs relations, axiomes que l'on s'est efforcé de distinguer et d'énoncer clairement et dont nous affirmons l'évidence, au moins tout d'abord.

C'est l'objet propre de ceux qui étudient les fondements de Tune des sciences mathématiques, de la géométrie par exemple, que de fixer la table des idées premières et des axiomes qui s'y rapportent. Ces axiomes doivent constituer un système complet, c'est-à-dire qu'ils doivent suffire à Tentière déduction de la science ; ils doivent être cohérents, c'est-à-dire qu'aucun axiome du système ne doit être contredit par quelque déduction logique des autres axiomes. Un système d'axiomes est imparfait tant que ces axiomes ne sont pas indépendants ; ils sont indépendants si le système reste cohérent quand on remplace n'importe quel axiome par un axiome qui soit en contradiction avec celui qu'il remplace. Il est clair que cette indépendance des axiomes n'est pas, comme la cohérence, indispensable au développement de la science, non plus que la parfaite simplicité des axiomes et leur réduction au moindre nombre possible \

i. Voir, sur ce sujet, le livre de M. Whitehead intitulé; The axioms 0/ projective Geometry,

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Le long travail qui consiste à distinguer les axiomes d'une façon précise, à leur donner la forme d'un système, a commencé il y a bien des siècles ; il a fait un progrès décisif, mais non définitif, par les spéculations sur les géométries noneuclidiennes, où Ton nie l'axiome classique des parallèles ; il a abouti à une suite de géométries, classées d'après le système d'axiomes qui caractérise chacune d'elles. Il n'a réussi qu'après un très grand développement des mathématiques et n'a pu réussir que grâce aux ressources qu'a fournies ce développement.

Une des difficultés que présente ce travail est dans les habitudes de notre esprit, dans notre intuition même de l'espace, dans les images que nous y situons, dans cette réalité que nous leur attribuons. Comment nous abstraire de cette intuition et nous assurer que les déductions logiques de nos raisonnements sont toutes pures, qu'il ne s'y introduit aucune évidence étrangère à celle qui nous fait apercevoir une proposition comme incluse dans une autre ? L'un des procédés qui peuvent y aider consiste à représenter les éléments dont on parle par des symboles abstraits, qui n'éveillent plus aucune image, et à les combiner par des règles précises, qui ne sont que l'application des lois de la logique déductive.

Dans ces conditions, on observera que la signification des éléments (idées premières) sur lesquels on spécule n'importe pas : peu importe ce qu'est un point, une ligne droite, un plan,...; ce qui importe, c'est les règles pour combiner ces éléments. Les conséquences auxquelles on parvient s'interprètent en donnant aux éléments une

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signification particulière, elles s'interpréteront d'une façon tout aussi légitime en donnant aux éléments une autre signification, pourvu que les règles d'après lesquelles on les combine soient les mêmes. On observera encore que les axiomes attachés aux éléments n'ont pas besoiiï d'être évidents : cette évidence, on l'exigeaitd'eux quand on attribuait à l'espace, au point, à la ligne droite,..., un reste d'existence; maintenant, on ne sait plus ce que signifierait cette évidence, dont on remarquera qu'il n'a pas été question quand on a énuméré les conditions imposées à un système d'axiomes.

Il peut être commode, pour ne point choquer nos habitudes et peut-être aussi pour garder un point d'appui dans cette intuition qu'on prétend bannir, de parler du point, de la ligne droite,..., comme s'ils existaient ; mais le mot exister n'a plus le sens ordinaire : il ne s'agit plus que de pensées, non d'objets extérieurs à nous ; tout ce qu'on demande à une pensée, pour qu'elle ait droit à l'existence, c'est de ne contenir aucune contradiction interne. Le point,la ligne droite,..., existent, en tant que pensées, si les axiomes que nous affirmons de ces éléments sont vraiment cohérents. Mais comment être sûr qu'il en est ainsi et qu'il ne se rencontrera jamais aucune contradiction dans l'infinité des déductions qu'on peut tirer de ces axiomes, lorsque cette infinité de déductions ne sera jamais épuisée ? Toute cette science géométrique donne peut-être au lecteur l'impression d'un jeu ; ce jeu est-il légitime ?

Heureusement pour ceux qui aiment à s y livrer, on est parvenu à limiter si bien l'angois-

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santé question qu'il est possible de lui donner

une réponse, satisfaisante pour ceux qui gardent dans leur raison un minimum de confiance. On a, en effet, établi que les diverses géométries pouvaient être regardées comme des chapitres de l'analyse, c'est-à-dire de la partie des mathématiques où l'on ne traite que des nombres : le point, la ligne droite, le plan, le corps solide, la distance,... peuvent être définis à l'aide du nombre seul ; ou plutôt, on peut, à ces éléments dont les noms semblent impliquer toujours quelque réalité extérieure, substituer des éléments dont la signification est purement numérique, et aussi donner une signification purement numérique aux propositions qui s'énoncent dans le langage de la géométrie.

Dès lors, s'il n'y a pas quelque défaut interne dans l'idée dénombre entier, s'il est certain qu'il ne se rencontrera jamais aucune contradiction dans l'infinité des déductions qu'il est possible d'en tirer, on doit être rassuré sur la légitimité des diverses géométries, et en particulier de la bonne vieille géométrie euclidienne, pour laquelle le doute serait très cruel.

Leibnitz voulait que notre monde fût le meilleur des mondes possibles. Libre au lecteur, s'il lui plaît, de regarder aussi la géométrie euclidienne comme la meilleure des géométries possibles ; elle a, en tout cas, un mérite singulier, qui est de s'appliquer à notre expérience, d'où, sans doute, elle est sortie. J'ai dit plus haut qu'il n'y avait dans la réalité extérieure ni point, ni ligne droite, ni plan,..., et, d'autre part, que le développement de la géométrie, ou des géométries, dépendait seulement, au point de vue logi-

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que, du cortège d'axiomes dont on entourait les idées de point, de droite,..., et non du contenu de ces idées. Mais « la Géométrie a des applications concrètes : elle ne se réduit pas à un simple jeu d'axiomes. Avec son aide, on mesure les champs, on jauge les volumes, on bâtit les édifices, on construit des machines,... En Physique, on en a besoin à chaque pas, en Astronomie, en Géodésie, encore plus,... La Géométrie ne peut donc demeurer dans son domaine de la logique pure, il lui faut en sortir. Elle doit considérer des plans, des droites, des points concrets, il lui faut des axiomes s'appliquant positivement à de tels objets K » Des points concrets! L'épithète, presque nécessaire pour faire ressortir et rendre intelligible une pensée juste, est cependant excessive. A la réalité concrète, nous substituons un monde limite, un monde abstrait, simplifié, décoloré, mais intelligible, et qui ressemble assez à cette réalité pour nous guider dans son infinie complication. Les objets réels que nous appelons points, droites,... ne sont pas les êtres abstraits que considère la géométrie ; ils s'en approchent assez pour que les erreurs soient négligeables, pour nous. La géométrie que Ton applique ainsi à la réalité concrète est la géométrie euclidienne, dont les axiomes ont un caractère si intuitif qu'on peut bien les regarder comme faisant partie de notre conception du monde extérieur. Quant à la question de savoir si les autres géométries sont

i. J. Richard. Sur les fondements de la géométrie. (Archives de mathématiques, n° i, p. 58.) L'auteur pose très nettement la question; ses conclusions, qu'il développe d'une façon fort intéressante, sont beaucoup plus réalistes que les miennes.

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susceptibles d'applications à la réalité, on me permettra de ne pas l'aborder K

Quoi qu'il en soit, au point de vue logique, tout se ramène au nombre et, en dernière analyse, au nombre entier, aux combinaisons des nombres entiers, d'où l'on peut faire sortir l'idée de nombre dans toute sa généralité. J'insisterai quelque peu sur l'extension successive de cette idée, d'autant qu'il s'agit là de notions élémentaires, avec la plupart des quelles le lecteur est certainement familier et que quelques points importants, sur lesquels je voudrais appeler son attention, apparaissent suffisamment lorsqu'on se donne la peine de réfléchir à cette extension.

Sur la nature même du nombre entier, sur sa signification en tant que cardinal ou ordinal, sur le point de vue d'où Ton regarde le nombre entier comme une idée première, indéfinissable, en spécifiant les axiomes qui concernent cette idée, je ne m'arrêterai pas, non plus que sur la question de savoir comment le nombre entier, lorsqu'on se place exclusivement soit à ce dernier point de vue, soit au point de vue ordinal, peut servir à compter les objets d'une collection réelle ; je laisserai aussi de côté les axiomes relatifs à l'addition des nombres entiers, ou je les regarderai, si l'on veut, comme impliqués dans l'idée de nombre entier. Je n'ai nullement la prétention d'étudier les fondements de l'arithmétique.

i. Voir les chapitres sur l'Espace dans la Science et

Y hypothèse, de M. H. Poincaré.

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S'il ne veut point trop philosopher, ces fondements, qui se bornent effectivement à l'idée de nombre entier, à l'usage du nombre entier pour compter ou numéroter les objets d'une collection, et aux axiomes de l'addition, paraîtront au lecteur très solides et très clairs. Je veux toutefois remarquer que l'idée de l'infini est déjà impliquée dans celle dû nombre entier : la suite des nombres entiers est illimitée, puisque chaque nombre entier est suivi d'un autre nombre entier différent de lui et de ceux qui le précèdent, ou, si Ton préfère, puisqu'on peut ajouter un à chaque nombre entier. Cette notion de l'infinité des nombres entiers, qui se présente ainsi de la façon la plus simple, vient jeter un léger trouble dans la conception du nombre cardinal, par la difficulté qu'il y a à définir ce qu'est une collection finie d'objets ; or c'est d'une telle collection qu'on entend parler quand on parle du nombre des objets qui la composent.

Cette difficulté n'est pas impossible à surmonter, et je me contente de la signaler, d'autant que l'habitude que nous avons de considérer des collections finies paraît donner à ces mots une signification claire. *

Ces notions admises, la définition de la soustraction, de la multiplication, de la division ne comporte aucune difficulté. Les propriétés essentielles de ces opérations, par exemple les théorèmes sur les produits de facteurs, ont probablement été observées par les calculateurs avant qu'on en trouvât la raison. Les anciens connaissaient plusieurs propositions, les unes fondamentales, les autres curieuses, relatives à la divisibilité et aux nombres premiers. Il est bien vrai-

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semblable qu'ils sont parvenus par l'observation à ces propriétés. Sans doute, le théorème sur l'infinité des nombres premiers s'est présenté à l'esprit de quelque mathématicien après que l'on eut déterminé beaucoup de ces nombres premiers ; mais, si le lecteur veut bien réfléchir à la démonstration classique de cette proposition, qui se trouve déjà dans Euclide, et qui est la seule démonstration élémentaire que Ton connaisse, il ne manquera pas d'être frappé par le degré de culture mathématique et l'ingéniosité que suppose la découverte d'une pareille démonstration.

C'est évidemment la division en parties égales d'objets, ou de groupes d'objets, qui a conduit à la notion de fraction ; de ce point de vue, les notions d'addition et de soustraction, pour les fractions, se présentent aisément : il n'en est pas de même de la multiplication, et il me semble qu'il a fallu un effort notable pour reconnaître l'intérêt qu'il y a à regarder comme des opérations de la même nature celle qui consiste à répéter un nombre trois fois et celle qui consiste à en prendre les deux cinquièmes, et aussi, pour apercevoir l'identité des propriétés essentielles de ces deux sortes d'opérations. Vraisemblablement, la règle pour obtenir la surface d'un rectangle a été l'origine de cette généralisation. Si l'on se place au point de vue de la mesure, de la mesure des longueurs, par 'exemple, la considération du changement d'unité permet aussi - d'envisager d'un même point de vue le produit de deux nombres entiers ou de deux nombres fractionnaires.

Lorsqu'on veut constituer l'arithmétique en

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n'introduisant pas d'autre notion première que le nombre entier, une fraction apparaît comme un couple de deux nombres entiers, le dénominateur et le numérateur, rangés dans un ordre déterminé et qui ne jouent pas le môme rôle. Sur ce couple, que Ton convient d'appeler nombre, il y a lieu de reprendre les définitions de l'égalité et des opérations fondamentales. Ces définitions, qui semblent alors arbitraires, sont naturellement celles qui proviennent de l'origine concrète des fractions et il est aisé de constater que ces définitions conservent les propriétés essentielles des opérations, observées sur les nombres entiers.

L'introduction des nombres irrationnels est beaucoup plus compliquée. Pour la définition d'une fraction, deux nombres entiers suffisent ; pour définir un nombre irrationnel, il faut une infinité de nombres entiers ou, ce qui revient au même, une règle qui permette de séparer les nombres entiers et fractionnaires en deux classes, de façon que les nombres de la première classe soient tous plus petits que les nombres de la seconde classe. Telles sont, par exemple, la classe des nombres entiers et fractionnaires dont le carré est inférieur à deux, et celle des nombres dont le carré est supérieur à deux. On démontre facilement qu'il n'y a pas, dans la première classe, de nombre plus grand que tous les nombres de cette première classe, qu'il n'y a pas, dans la seconde classe, de nombre plus petit que tous les autres nombres de cette seconde classe ; une pareille coupure, pratiquée dans l'ensemble des nombres entiers et fractionnaires, définit ce que l'on appelle un nombre irrationnel et permet de

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préciser, de la façon la plus simple, ce qu'il faut entendre par les valeurs approchées de ce nombre irrationnel, par excès ou par défaut : inversement, laconnaissancede ces valeursapprochées5

en particulier des valeurs approchées à-^- près.

permet de retrouver la coupure qui définit le nombre irrationnel.

Les Grecs avaient observé l'existence de longueurs définies géométriquement, le côté et la diagonale du carré, par exemple, qui sont incommensurables entre elles ; ils avaient reconnu l'importance de cette observation, et, bien qu'ils n'eussent pas entièrement dégagé la notion du nombre irrationnel, ils avaient établi la théorie de la proportionnalité en géométrie, d'une façon qui reste un modèle de rigueur et d'élégance, et qui revient à la définition précise de l'égalité de deux nombres irrationnels. Quant aux opérations sur ces nombres, ils les remplaçaient habituellement par des constructions géométriques.

Si Ton veut se placer au point de vue abstraie que j'ai spécifié plus haut, où n'interviennent au fond que la notion du nombre entier et l'idée de l'infini, déjà impliquée dans cette notion, il est indispensable de reprendre les définitions de l'égalité et des opérations fondamentales, puis de constater, comme pour les fractions, la permanence des propriétés essentielles de ces opérations. Il n'y a, à cela, aucune difficulté véritable.

Les nombres, dont il a été question plus haut, sont les nombres absolus. Les nombres négatifs se sont, en fait, introduits comme solutions fausses des équations. On a observé que ces* fausses

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solutions » pouvaient s'interpréter et, de ces interprétations, s'est dégagée peu à peu la notion des nombres négatifs et des nombres positifs : on identifie ces derniers avec les nombres absolus. L'introduction de nombres précédés d'un signe, pour représenteras grandeurs susceptiblesd'être comptées dans des sens opposés, pour fixer, par exemple, un point sur un axe au moyen de son abscisse, ou, dans la durée, la date d'un événement, semble aujourd'hui si naturelle, qu'on est presque disposé à s'étonner qu'elle ne se soit pas dégagée directement et, avec elle, la notion des nombres relatifs (positifs ou négatifs). Mais il n'était pas si aisé de reconnaître l'avantage qu'il y a à choisir, pour les signes dont on affecte les nombres, les signes mêmes de l'addition et de la soustraction.

Quoi qu'il en soit, en se plaçant au point de vue abstrait, il est aisé d'introduire les nombres relatifs comme des symboles formés d'un nombre absolu que précède le signe + ou le signe — , de reprendre les définitions des opérations et de constater, une fois de plus, la permanence des propriétés essentielles de ces opérations.

Les nombres entiers, y compris zéro, les nombres fractionnaires, positifs ou négatifs, constituent ce que Ton appelle les nombres rationnels; les nombres rationnels et irrationnels sont tous désignés comme réels.

Lorsqu'on a choisi un système d'axes, un point géométrique est entièrement déterminé par ses trois coordonnées, qui sont trois nombres réels : chacun de ces nombres a d'ailleurs une signification distincte. Rien n'empêche d'appeler point un système de trois nombres, rangés dans un

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ordre déterminé, puis de définir, en restant au seul point de vue du nombre, ce que Ton entend par une droite, un plan, une distance,...; ces définitions seront faites de manière à conserver les phrases qui expriment les propriétés géométriques, ou une partie de ces propriétés. Je ne puis développer ici les théories de cette sorte, mais le lecteur peut tout au moins soupçonner la possibilité de constituer les t diverses géométries comme des chapitres de la science des nombres; la généralisation qui consiste à appeler point, non plus un système de trois nombres, mais bien un système de quatre, cinq,... nombres est alors naturelle, et la construction de géométries à quatre, cinq,... dimensions n'est pas faite pour étonner; il s'agit au fond de nouveaux chapitres de la même science du nombre; ce qui est plus étonnant, c'est l'utilité du langage géométrique dans ces chapitres d'analyse, et la commodité qu'il y a parfois à regarder notre géométrie ordinaire comme un cas particulier d'une « géométrie » plus générale.

L'origine des nombres imaginaires est dans les formules de résolution de l'équation du second degré. Ces formules, lorsque l'équation n'a pas de racines, n'ont plus de sens : elles conduisent à des expressions de la forme a b y/ — i , où a et b sont des nombres réels, expressions qui n'ont par elles-mêmes aucune signification. Il arrive qu'en calculant avec des expressions telles que a*-\-bi, comme si i désignait un nombre réel, et en remplaçant toujours ï1 par — i, on parvient, au lieu des absurdités auxquelles on aurait pu s'attendre, non seulement à des résultats exacts, mais à des propositions nouvelles de

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la plus haute importance. Longtemps, les mathématiciens ont fait de pareils calculs, sans les légitimer par une théorie des symboles qu'ils avaient eu l'audace d'introduire. Cette théorie, aujourd'hui, n'est pas difficile à construire; sous quelque forme qu'on la présente, elle revient à regarder un nombre imaginaire a-\-b\J — i comme un couple de nombres réels, a et b, qui jouent d'ailleurs des rôles différents, de même qu'on regarde une fraction comme un couple de nombres entiers, puis à reprendre les définitions de l'égalité et des opérations fondamentales sur les nombres imaginaires, de manière à conserver les propriétés essentielles de ces opérations. Ces définitions résultent aisément des règles de calcul auxquelles on soumettait les nombres imaginaires sans se préoccuper davantage de leur légitimité : elles résultent aussi de ce que remplacer, dans un polynôme en /, i2 par — i revient à prendre le reste de la division de ce polynôme par r*+i. On peut encore se servir d'une interprétation géométrique, qui consiste à faire correspondre au nombre a + bi, dans un plan rapporté à un système de coordonnées rectangulaires, le point dont l'abscisse est a et dont l'ordonnée est b. De même que les nombres fractionnaires comprennent comme cas particulier les nombres entiers, les nombres imaginaires contiennent comme cas particulier les nombres réels, en vertu de cette convention que le nombre a + bi est identique au nombre réel a, quand b est nul. Dans la représentation géométrique, un nombre imaginaire est représenté par un point quelconque du plan; un nombre réel, par un point de l'axe des abscisses.

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Bien qu'on puisse constituer une théorie parfaitement claire et rigoureuse des nombres imaginaires, en partant du nombre entier, rien n'aurait pu faire prévoir au mathématicien qui, pat impossible, aurait imaginé a priori, il y a quel ques siècles, une pareille théorie, l'extraordinaire importance des conséquences auxquelles elle pouvait conduire : en fait, avant qu'elle fût constituée, ces conséquences étaient connues en grande partie. Les définitions abstraites, à partir du nombre entier, des nombres fractionnaires, relatifs, imaginaires, semblent arbitraires, jusqu'à en être répugnantes. Pourquoi ces définitions plutôt que d'autres, pourquoi étudier ces combinaisons spéciales de nombres entiers plutôt que d'autres? C'est l'expérience seule qui, avant que Ton en fît la théorie abstraite, a montré la valeur de ces combinaisons, et les raisons que Ton peut maintenant apporter pour les justifier n'infirment en rien l'assertion précédente.

J'ai essayé de décrire, dans les pages qui précèdent, les extensions successives de l'idée de nombre, à partir du nombre entier; les nombres fractionnaires embrassent les nombres entiers, les nombres rationnels embrassent les nombres entiers ou fractionnaires absolus, les nombres réels embrassent les nombres rationnels, les nombres imaginaires embrassent les nombres réels. Il y a souvent lieu de porter l'attention sur un ensemble spécial de nombres, sur l'ensemble des nombres entiers, par exemple, ou des nombres premiers, ou des nombres décimaux, ou des nombres réels compris entre o et i. On sait parfaitement, d'un nombre donné quelconque, s'il appartient ou non à chacun des ensem-

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bles énumérés plus haut. Définir un ensemble, c'est donner le moyen de reconnaître sur n'importe quel nombre s'il appartient va non à cet ensemble. Des propriétés importantes peuvent être établies sur les ensembles, indépendamment de leur mode de définition, qui n'a pas besoin d'être spécifié : il suffit, pour affirmer ces propriétés, que l'ensemble soit déterminé, que l'on soit certain, d'un nombre quelconque, qu'il appartient ou n'appartient pas à l'ensemble; telles sont les deux propositions suivantes, qui ne se rapportent d'ailleurs qu'à des ensembles formés de nombres réels :

Si un ensemble contient une infinité de nombres, tous inférieurs à un nombre A, il existe un nombre a, la borne supérieure de l'ensemble, qui jouit des propriétés suivantes : i° Aucun nombre de l'ensemble n'est plus grand que a; 20 Si a n'appartient pas à l'ensemble, il y a, dans cet ensemble, des nombres aussi voisins de a qu'on le veut.

Si un ensemble contient une infinité de nombres tous compris entre les nombres A et B, il existe au moins un nombre a jouissant de la propriété suivante : il y a dans l'ensemble une infinité de nombres qui diffèrent aussi peu qu'on le veut de a; ce nombre a peut d'ailleurs appartenir ou ne pas appartenir à l'ensemble, dont il est ce qu'on appelle un élément d'accumulation.

Par exemple, si l'on considère l'ensemble des fractions décimales dont la partie entière est o et dont tous les chiffres décimaux sont des 9, on peut trouver, dans cet ensemble, une infinité de fractions dont la différence avec le nombre 1 est

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moindre que — — , que — - — que tel nom-

^ IOOO 1 ^ 10000 7 71

bre qu'on voudra, si petit qu'il soit. Le nombre i est un élément d'accumulation de l'ensemble considéré; il en est aussi la borne supérieure; il n'appartient pa? à l'ensemble.

Chaque extension nouvelle de l'idée de nombre se fait en expliquant comment s'effectuent, sur lqs nouveaux éléments que Ton fait entrer dans la catégorie du nombre, les opérations fondamentales : addition, soustraction, multiplication, division. La classe des nouveaux nombres n'est vraiment définie que quand on a donné cette explication. Si, par exemple, on se borne à dire, comme je l'ai fait plus haut, « un nombre fractionnaire est un couple de nombres entiers », sans ajouter que ce couple doit être soumis à certaines règles de calcul, on n'a pas défini ce qu'est un nombre fractionnaire; cette définition n'est terminée que quand on a expliqué ces règles. La même observation s'applique aux nombres relatifs, aux nombres imaginaires,...

A chaque échelon qu'on gravit, on retrouve les mêmes propriétés essentielles des opérations; chaque extension est faite de manière à assurer la permanence des propriétés ; sans cette permanence, il ne conviendrait pas de conserver le même nom à des opérations qui portent sur des objets très différents. Ces propriétés essentielles sont en petit nombre, pour chacune des opérations; on en déduit beaucoup d'autres; par exemple, dans les divers traités d'arithmétique,

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on établit les propriétés relatives aux produits de plusieurs facteurs en partant des propositions qu'expriment les égalités

ab=iba. a(bc)=z (ab)c.

On établit ces propriétés, tout d'abord, en raisonnant sur des nombres entiers; mais leur démonstration ne repose pas sur ce fait que les facteurs sont entiers, elle repose uniquement sur les deux égalités qui précèdent ; dès lors qu'on aura démontré ces égalités pour les nombres fractionnaires, relatifs, irrationnels, imaginaires, leurs conséquences vaudront aussi bien pour ces nouveaux nombres. Remarquons encore que, si la juxtaposition de deux lettres, sans signe qui les sépare, signifiait, non le produit des nombres que figurent ces lettres, mais bien leur somme, ces égalités seraient encore vraies : elles expriment des propriétés communes à la multiplication et à l'addition; les conséquences s'appliqueraient alors, non plus à un produit de facteurs, mais à une somme de nombres. Le lecteur ne peut manquer d'apercevoir ces conséquences : dans une somme d'autant de termes qu'on le veut, on peut intervertir l'ordre des termes; on peut remplacer tels termes que l'on veut par leur somme effectuée. Ces conséquences lui sembleront peut-être bien banales, au moins s'il s'agit de nombres entiers positifs; elles lui paraîtront moins évidentes, si, au lieu de sommes de nombres, il s'agit de sommes géométriques de vecteurs, cas auquel le même raisonnement s'applique. Il s'appliquerait encore aux sommes d'éléments formés d'un point et d'un nombre,

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si l'on convenait d'ajouter de pareils éléments d'après la règle qui donne le centre de gravité de deux points matériels, ayant chacun une masse. Je pourrais multiplier les exemples, tant pour la multiplication que pour l'addition.

C'est là un exemple simple d'une circonstance qui se présente fréquemment en mathématiques : un même raisonnement qui s'applique à des objets divers, comme une identité algébrique s'applique à des nombres différents; ce raisonnement ne dépend pas des objets auxquels il s'applique, mais de quelques propriétés de ces objets.

Le mathématicien se plaît à retrouver, à transporter dans des domaines encore inexplorés, des raisonnements qu'il a éprouvés ailleurs, et dont il a su reconnaître la généralité, alors qu'ils s'appliquaient à des objets particuliers, avec lesquels il était familier.

Les opérations de l'arithmétique, en particulier, se transportent dans d'autres domaines, dans la théorie des nombres, dans l'algèbre, dans la géométrie, dans la mécanique : elles conservent tantôt toutes leurs propriétés essentielles, tantôt une partie de ces propriétés. Parfois quelqu'une de ces propriétés est remplacée par une autre et il faut alors examiner attentivement les modifications qui, pour les conséquences, résultent de ce changement. Ainsi, on est amené à considérer des sortes de multiplications où le produit des deux facteurs change de signe quand on intervertit l'ordre de ces deux facteurs.

Le lecteur a peut-être rapproché, dans son esprit, ce qui vient d'être dit sur les propriétés

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essentielles des opérations fondamentales effectuées sur les nombres de ce qu'on a dit plus haut des axiomes de la géométrie; ce rapprochement est juste : les propriétés essentielles des opérations fondamentales sont liées si intimement à l'idée de nombre qu'on peut les regarder comme les axiomes relatifs au nombre, axiomes dont les conséquences peuvent être poursuivies indépendamment du contenu de l'idée de nombre. C'est un point de vue que je me contente d'indiquer.

Mais je dois, au risque d'une courte digression, insister un peu sur Tune des observations qui précèdent. De nombreux progrès ont été réalisés en transportant une théorie d'un domaine, pour lequel elle a été créée, dans un autre, en recherchant les lois analogues à un système de lois déjà connues. Tantôt, la théorie se transporte telle quelle, tantôt elle doit se modifier pour s'adapter. Là, pour obtenir les lois que l'on veut retrouver à toute force, il faut introduire des éléments, d'une nature cachée : tels les nombres imaginaires. Il n'est pas d'écolier qui n'ait observé les analogies et les dissemblances des triangles et des angles trièdres, ou des triangles sphériques. La théorie arithmétique du plus grand commun diviseur et ses conséquences se reproduisent en algèbre, pour les polynômes. Mais la notion de polynôme irréductible, qui correspond à celle de nombre premier, est d'une nature différente, en raison des diverses significations qu'on peut lui donner, suivant les divers domaines de rationalité que l'on considère. Il a fallu créer les idéaux pour retrouver, dans la théorie de la divisibilité des entiers algébriques, îa loi essentielle d'après laquelle un nombre

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entier ne peut être décomposé que d'une seule façon en un produit de facteurs premiers.

Si Ton effectue, sur certains nombres donnés, une opération ou une suite d'opérations, on obtiendra un résultat qui dépendra des données, qui changera avec ces données, ces opérations restant les mêmes. Si Ton représente par des lettres les données, ou quelques-unes d'entre elles, et que l'on représente les opérations à effectuer par les signes de l'arithmétique, on aura une formule, où les lettres qui y figurent pourront être remplacées par tels nombres que Ton voudra et être regardées, à ce titre,, comme des variables. On a formé ainsi une fonction explicite de ces variables; l'épithète « explicite » signifie ici que Ton sait explicitement les opérations à effectuer pour obtenir le résultat, quand on se donne les valeurs numériques des variables. Lorsque les opérations à effectuer sur ces variables ne sont autres que les opérations fondamentales de l'arithmétique, la fonction est dite rationnelle; elle est dite rationnelle et entière lorsque ces opérations se réduisent à l'addition, la soustraction et la multiplication; ôn la qualifie aussi àt polynôme, dans ce dernier cas. Étudier ces fonctions, les liens qu'elles ont entre elles, la façon dont elles se comportent quand on change les valeurs des variables, déterminer, en particulier, celles de ces valeurs qui les annulent, tel est l'objet de l'algèbre.

La notion de fonction s'étend tout naturellement : on enseigne en arithmétique d'autres

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façons d'opérer que les quatre opérations fondamentales, l'extraction de la racine carrée, par exemple. Toute façon d'opérer sur des nombres, qui reste la même quels que soient ces nombres, définit une fonction. Je reviendrai sur cette notion un peu plus loin, mais je veux faire remarquer tout d'abord que la notion d'opération s'étend à d'autres objets que des nombres; j'ai fait allusion plus haut à des opérations géométriques, à l'addition des vecteurs, par exemple. Toute construction géométrique est une opération sur des données, qui conduit à un résultat, lequel peut être regardé comme une fonction, une transformation de ces données. Mener la droite qui joint deux points donnés, c'est faire une opération sur ces points, dont le résultat est cette droite; l'opération reste la même quels que soient ces deux points; son résultat dépend de ces deux points.

La géométrie fournit une infinité d'exemples de transformations, de transformations ponctuelles, par exemple, qui d'un point quelconque permettent de déduire un autre point : telles sont la symétrie, la translation, la rotation, l'homothétie, l'inversioi*,... Chacune de ces transformations est une construction, ou une suite de constructions qui, en partant d'un point, conduisent à un autre point, que l'on regarde comme, le transformé du premier, son image, si Ton veut.

Une figure, considérée comme un ensemble de points, est transformée en uné autre figure, ensemble des points transformés ; la transformation est une sorte de miroir qui déforme les figures, d'après certaines lois qui dépendent de

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sa définition, et Ton peut ainsi déduire les propriétés de l'image des propriétés de la figure primitive, de même que des propriétés d'un ensemble de valeurs attribuées à une variable, on peut déduire les propriétés de l'ensemble correspondant des valeurs d'une fonction de cette variable.

Ces idées sont aisées à saisir dans leur gêné ralité : on peut les faire comprendre à un débutant, sur des exemples simples. Il ne faut pas croire pourtant qu'on y soit venu tout d'un coup. En particulier, la notion de variable, d'une lettre qui peut prendre n'importe quelles valeurs numériques, a été malaisée à dégager. Sans doute l'emploi des lettres pour figurer les nombres est très ancien; mais, primitivement, une lettre désigne toujours un nombre fixe et, tout d'abord, l'inconnue d'un problème, dont les données sont numériques; l'emploi des lettres pour désigner les données est déjà un progrès considérable. La notion de fonction apparaît confusément : de certains nombres fixes, séparés, on déduit d'autres nombres, par une même suite d'opérations; on construit même des tables qui donnent le résultat de ces opérations; on n'a pas encore l'idée de représenter par une seule lettre l'un quelconque des nombres sur lesquels on opère, et le résultat au moyen d'un signe fonctionnel qui porte sur cette lettre et représente la suite des opérations à effectuer. Les traces de ces anciennes habitudes subsistent dans les livres actuels, par v exemple dans les traités d'arithmétique, où l'on explique ce que sont des nombres proportionnels à d'autres, au lieu de définir la fonction ax, dans beaucoup de traités de géométrie élémentaire, où, au lieu de définir

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une transformation ponctuelle en général, on considère des points A, B, C, D,..., auxquels on fait correspondre des points A', B', C, D',.--

L'état d'esprit des anciens géomètres se manifeste encore dans des expressions telles que division homographique....

Il importe de remarquer qu'une fonction d'un? variable n'est définie que si les opérations à effectuer ont toutes un sens ; elles ne doivent pas, par exemple, comporter une division par zéro ou, si l'on reste dans le réel, l'extraction de la racine carrée d'un nombre négatif : la suite des opérations à effectuer peut avoir un sens pour certaines valeurs de la variable et n'en pas avoir pour d'autres. Pour cette raison, il convient de modifier la notion de la variable : celle-ci n'est pas une lettre qui peut, comme je l'ai dit provisoirement, prendre n'importe quelles valeurs, mais bien n'importe quelles valeurs appartenant à un certain ensemble. Il y a des fonctions qui ne sont définies que pour les valeurs entières et positives de la variable, par exemple le produit des n premiers nombres entiers : une telle fonction est définie pour l'ensemble des nombres entiers ; d'autres sont définies pour l'ensemble des nombres rationnels, d'autres, pour l'ensemble des nombres compris entre o et i, etc.

Enfin, il convient de détacher la notion de fonction de cette idée d'une suite d'opérations qui lui a donné naissance, pour la rattacher à une idée plus générale, celle de correspondance.

L'objet A correspond à l'objet B, si la pensée de l'objet B éveille la pensée de l'objet A. C'est là une idée très générale, un peu vague dans sa généralité, qui se précise par l'habitude et les