JULES TANNE F V

exemples : ainsi, deux triangles étant donnés, on peut faire correspondre, de diverses façons, chaque sommet de l'un à un sommet de l'autre, chaque côté de l'un à un sommet de l'autre, chaque côté de l'un à un côté de l'autre; à chaque nombre réel, on peut faire correspondre un point d'un axe, dont ce nombre est l'abscisse; à chaque nombre imaginaire on peut faire correspondre un point d'un plan. A chaque cercle d'un plan on peut faire correspondre un système de trois nombres, dont les deux premiers sont les coordonnées du centre de ce cercle, dont le troisième mesure la longueur du rayon ; à chaque point de l'espace on peut faire correspondre sa projection sur un plan. A chaque nombre entier on peut faire correspondre le double de ce nombre, ou son carré, etc..

Reportons-nous à la définition précédemment donnée d'une fonction d'une variable x et considérons l'ensemble des valeurs que peut prendre cette variable : une suite d'opérations arithmétiques fait correspondre au nombre x un nombre déterminé^; à chaque nombre x de l'ensemble proposé correspond ainsi un nombre^ ; les divers nombres qui correspondent ainsi aux divers nombres*, constituent un second ensemble dont chaque nombre correspond à quelque nombre du premier ensemble. C'est là la notion la plus générale que l'on puisse avoir d'une fonction d'une variable : elle consiste dans la correspondance des nombres d'un ensemble (les valeurs de la fonction) aux nombres d'un autre ensemble (les valeurs de la variable), et l'écriture y=f\x) n'indique rien autre chose que cette correspondance déterminée. Comme on peut considérer

MATHÉMATIQUES PURES

des ensembles de systèmes de nombres, on peut définir de !a même façon une fonction de plusieurs variables ou des systèmes de fonctions de plusieurs variables. On peut de même faire correspondre aux points d'un ensemble de points, les points d'un autre ensemble de points, les droites, les plans, les sphères,... d'un autre ensemble de droites, de plans, de sphères....

Je devrais peut-être m'arrêter plus longtemps que je ne ferai sur la notion de limite, qui est fondamentale en mathématiques. Lorsqu'on dit d'un objet variable X que, dans certaines conditions, il s'approche indéfiniment d'un objet fixe A, qu'il a A pour limite, il est nécessaire, dans chaque cas particulier, de spécifier ces conditions et de préciser ce qu'il faut entendre par les mots « s'approche indéfiniment ». Faute de ces précisions, on ne fait que des semblants de raisonnement. Il convient, en particulier, de se défier de certaines expressions vagues et commodes comme « passera la limite ». Au début de cet article, je me suis permis de dire que les notions de ligne droite, de plan,... résultaient d'une sorte de passage à la limite. A coup sûr, j'aurais été incapable de préciser ma pensée; j'ai cherché une expression vague pour la rendre : je n'employais nullement un langage scientifique; mais, maintenant, il s'agit d'une notion mathématique qui doit être nettement précisée. Lorsqu'on parle de la limite A d'une fonction de la variable pour x = a, on entend que la différence entre A et la valeur de la fonction est aussi petite qu'on le veut, pourvu que la différence entre x et a soit suffisamment petite : quand x est voisin de a, la valeur de la fonction fournit

JULES TANNER f

une valeur approchée de la limite A, et cette

valeur est aussi approchée de A qu'on le veut, pourvu que x soit suffisamment voisin de a. En parlant ainsi, on sous-entend qu'il y a, dans l'ensemble des valeurs que peut prendre la variable, des nombres aussi voisins de a que l'on veut ; que, en d'autres termes, a est un élément d'accumulation de cet ensemble : la limite A, sauf dans le cas où la fonction de x resterait constamment égale à A quand x est suffisamment voisin de a, est un élément d'accumulation de l'ensemble des valeurs que prend la fonction. Ces éléments d'accumulation peuvent d'ailleurs appartenir, ou non, l'un à l'ensemble des valeurs de la variable, l'autre à l'ensemble des valeurs de la fonction.

Il arrive très fréquemment qu'un nombre ne soit défini que comme limite, le procédé qui le définit fournissant des valeurs de ce nombre aussi approchées qu'on veut ; il peut en être ainsi pour toutes les valeurs d'une fonction.

Je me suis efforcé de présenter l'idée de fonction dans toute sa généralité. Cette généralité même laisse quelque inquiétude dans l'esprit : comment choisir entre toutes ces correspondances qu'on peut réaliser ? Pourquoi celle-ci plutôt qu'une autre ? Quelles sont celles qui méritent notre attention ?

En réalité on ne crée pas arbitrairement les fonctions que l'on étudie, on les découvre peu à peu, on les sépare, on les rapproche, on les classe, on les généralise. Les polynômes, les fonctions rationnelles, les fonctions algébriques, se sont présentées naturellement, nécessairement, à l'esprit des mathématiciens, par le développe-

MATHÉMATIQUES PUB F'

ment même du calcul algébrique. Les fonction ; circulaires sont nées de la trigonométrie. La fonction logarithmique et la fonction exponentielle se sont dégagées de deux inventions admirables, les tables de logarithmes et la généralisation de la notion d'exposant. Les fonctions que je viens d'énumérer sont celles qu'on désigne, en ana lyse, sous le nom de fonctions élémentaires. L'introduction des nombres imaginaires a révélé des liens intimes entre les fonctions circulaires, logarithmique et exponentielle ; mais je veux me borner, dans ce qui suit, aux valeurs réelles, soit des fonctions, soit des variables.

Lorsqu'une fonction f (x) est définie pour toutes les valeurs de x comprises entre les deux nombres A et B, une des premières questions qui se posent est de savoir si la fonction f(x) augmente ou diminue quand x augmente : il est naturel de comparer à l'accroissement de la variable l'accroissement correspondant de la fonction. On est ainsi amené, en désignant par a, b deux valeurs de à considérer le rapport de la différence f{b) — f(a) à la différence b — a; ce rapport est le taux moyen de l'accroissement de la fonction quand la variable passe de la valeur a à la valeur b. Si, lorsque b s'approche indéfiniment de a, f(b) a pour limite /(a), la fonction f(x) est continue pour x — a\ si, en outre, le rapport considéré tend, dans lés mêmes conditions, vers une limite, on dit que la fonction f(x) admet une dérivée pour x— a, la valeur de cette dérivée n'étant autre que la limite du rapport; c'est, en quelque sorte, le taux instantané de l'accroissement. La fonction f{x) peut admettre une dérivée pour toutes les valeurs de x com-

JULES TANNER

prises entre A et B; la dérivée est alors une fonction de x, définie pour toutes ces valeurs, fonction qui peut elle-même avoir une dérivée, laquelle est dite dérivée seconde (ou du second ordre) de la fonction proposée, etc.

La détermination des dérivées des fonctions les plus i simples est le premier problème du calcul différentiel; sa solution est facile pour les fonctions élémentaires précédemment définies et leurs combinaisons simples. La connaissance de la dérivée d'une fonction f{x) fournit les rensei gnements les plus précis sur la façon dont cette fonctiqn varie ; elle permet aussi de déterminer la tangente au lieu des points dontxest l'abscisse et dont f (x) est l'ordonnée. Inversement, la détermination de l'aire de cette courbe revient à trouver une fonction qui ait f{x) pour dérivée; ce problème « déterminer une fonction dont on connaît la dérivée », est le premier problème du calcul intégral. Un problème plus général consiste à trouver une fonction, d'après une relation donnée entre la variable, la fonction et sa dérivée ou ses dérivées jusqu'à un certain ordre. Or, les problèmes de cette nature ne peuvent pas, le plus souvent, se résoudre au moyen des fonctions précédemment étudiées. Si, par exemple, on avait inventé le calcul intégral avant les logarithmes, on n'aurait pu répondre à cette question : quelle est la fonction dont la dérivée est l'inverse de x ? La fonction logarithmique aurait été forcément créée pour répondre à cette question, et les géomètres auraient fini par en découvrir les propriétés comme conséquence de cette définition. Le calcul intégral, par les questions même qu'il pose et que les fonctions connues ne suffisent

MATHÉMATIQUES PURES

pas à résoudre, nécessite ainsi la création successive d'une infinité de fonctions nouvelles, qu'il faut ensuite étudier et classer, dont il faut découvrir les relations mutuelles, ou les barrières qui les séparent.

Ces créations ne sont nullement arbitraires; elles s'imposent successivement; ou plutôt elles ne sont pas des créations, mais des découvertes, des découvertes d'êtres mathématiques qui se Révèlent à nous par leurs propriétés différentielles, d'où nous nous efforçons de conclure les autres propriétés.

« Mon cher ami, écrit Hermite à Stieltjes, je me sens tçut joyeux de vous savoir en si bonne disposition que vous vous transformez en naturaliste pour observer les phénomènes du monde arithmétique. Votre doctrine est la mienne; je crois que les nombres et les fonctions de l'analyse ne sont pas le produit arbitraire de notre esprit ; je pense qu'ils existent en dehors de nous avec le même caractère de nécessité que les choses de la réalité objective, et que nous les rencontrons ou les découvrons, ou les étudions, comme les physiciens, les chimistes et les zoologistes, etc. 1 »

Un chapitre fort intéressant concernerait l'influence vraiment extraordinaire qu'ont eue, sur le développement de la théorie des fonctions, les

i. Correspondance d' Hermite et de Stieltjes, II, p. 398. On trouve, dans les manuscrits de Galois, cette phrase dont la fin est malheureusement illisible.

Toute immatérielle qu'elle [est], l'analyse n'est pas plus en sotre pouvoir que d'autre...

Manuscrits et papiers inédits de Galois. Bulletin des sciences mathématiques, t. XXX, p. 260.)

JULES TANNER f

problèmes posés par les sciences physiques ; mais ce sujet dépasse les bornes du présent article.

Comme toutes les autres sciences, les mathématiques se sont développées par l'accroissement des vérités particulières, d'une part, et, de l'autre, par l'acquisition d'idées et de théories de plus en plus générales. Tous les grands géomètres ont eu,^ la fois, le goût du particulier et du général, des faits précis et des vastes spéculations ; quelque'suns, peut-être, préféraient regarder d'un côté ou de l'autre. Mais le progrès dans un sens s'est toujours mêlé au progrès dans l'autre; d'une part, la connaissance d'une loi générale permet d'atteindre plus de faits particuliers ; d'autre part, la généralité d'un raisonnement, d'^ne méthode, apparaît mieux sur un fait particulier que sur un autre.

Dire que tout accroissement d'une science résulte de l'état de cette science, au moment où se produit cet accroissement, c'est faire une affirmation bien banale, mais à laquelle on ne donne pas assez d'attention, quand il s'agit des mathématiques, d'autant que toute proposition découverte est rattachée aux axiomes par cela même qu'elle est démontrée, et qu'il semble qu'on aurait pu aussi bien la déduire des axiomes, n'importe quand : cela semble à ceux qui regardent la science faite, non la science qui se fait.

« En vain, dit Galois1, les analystes voudraient-

I. Manuscrits et papiers inédits de Galois. (Bulletin des sciences mathématiques, 2° série, t. XXX, p. 260.)

MATHÉMATIQUES PURE 3

ils se le dissimuler : ils ne déduisent pas, ils combinent, ils comparent; quand ils arrivent à la vérité, c'est en heurtant de côté et d'autre qu'ils y sont tombés...

« En mathématiques, comme dans toutes les sciences, chaque époque a en quelque sorte ses questions du moment : il y a des questions vivantes qui fixent à la fois les esprits les plus éclairés comme malgré eux... Il semble souvent que les mêmes idées apparaissent à plusieurs comme une révélation. Si Ton en cherche la cause, il est aisé de la trouver dans les ouvrages de ceux qui nous ont précédés, où ces idées sont présentes à Tinsu de leurs auteurs l. »

Dans les lignes d'Hermite qui suivent se retrouve la conception mystique que j'ai déjà citée, à laquelle il se plaisait ; mais la pensée, au fond, est bien la même que celle de Galois.

« Pour moi, Monsieur, je ne suis qu'algébriste et jamais je n'ai quitté la sphère des mathématiques subjectives. Je suis, toutefois, bien convaincu qu'aux spéculations les plus abstraites de l'analyse correspondent des réalités qui existent en dehors de nous et parviendront quelque jour à notre connaissance. Je crois même que les efforts des géomètres purs reçoivent, à leur insu, une direction qui les fait tendre vers un tel but, et l'histoire de la science me paraît prouver qu'une découverte analytique survientau moment nécessaire pour rendre possible chaque nouveau progrès dans l'étude des phénomènes du monde réel qui sont accessibles au ealcul 2. »