Correspondance..., t. I, p

IULES TANNJÈnr

Chaque découverte vient à son heure; elle e*\ rendue possible par celles qui Font précédée. C'est, à chaque instant, ce que Ton sait qui suggère les questions et les moyens d'y répondre.

Bien des propositions nouvelles ont été acquises par l'observation, surtout dans la théorie des nombres, où les exemples abondent : elles ont apparu sur des résultats de calculs plus ou moin* compliqués ; elles pénètrent plus loin, à mesui? que les instruments de calcul sont plus perfea tionnés. Bien entendu, ces calculs ne se font pas au hasard ; ils sont dirigés par une pensée, une analogie, un pressentiment que leurs résultats vérifient ou modifient. Le mathématicien attend parfois le résultat du calcul où il est plongé avec la même impatience, que le physicien, le résultat d'une expérience cruciale. Le physicien, lui non plus, ne fait pas ses mesures au hasard : lui aussi se laisse guider par leurs résultats, s'avance plus loin dans le chemin où il s'est engagé, se détourne à droite ou à gauche.

« Certainement, dans nos recherches, nous ne saurions fixer toujours d'avance le buta atteindre; on cherche, mais on ne sait pas d'avance ce que l'on trouvera, et parfois. on est jeté ainsi sur des routes toutes imprévues. C'est, je crois, aussi l'utilité des recherches sur des fonctions particulières de nous montrer le but à atteindre dans les recherches plus générales1. »

De même que le physicien, familier avec les instruments de son laboratoire, cherche naturellement des questions nouvelles qu'il pourra

i. Stieltjes. Correspondance d'Hermite et de Stieltjes. t. II, p. 438.

MATHÉMATIQUES PURES

aborder avec ses instruments, en les combinant et les modifiant au besoin, de même, une partie du génie d'invention consiste pour le mathématicien, à imaginer de nouveaux problèmes où il puisse pénétrer avec les méthodes dont il dispose. D'après M. Zeuthen, cette faculté, qui n'a rien à faire avec la déduction, et que Ton discerne aisément chez les grands mathématiciens des temps modernes, se manifeste déjà, à un très haut degré, chez Archimède*.

Dans les diverses sciences, la matière et les instruments diffèrent, la marche de l'invention est la même. Mêmes essais, mêmes tâtonnements, même patience active et tendue, pour ainsi dire, vers un objet qui s'éclaire parfois, mêmes espoirs trompés, même finesse et même imagination pour saisir les analogies, les liens cachés, les rapports inattendus.... Au mathématicien, quand il a trouvé une loi, on demande plus qu'au physicien; sans doute, celui-ci souhaite rattacher sa Joi à une théorie générale ; mais le mathématicien doit la démontrer; la proposition n'est vraiment acquise, et certaine, que lorsqu'elle a été rattachée aux axiomes. Il est fort remarquable qu'on ait donné le nom d'induction à l'un des procédés de démonstration, qui consiste à découvrir dans l'énoncé une nécessité interne telle qu'il ne peut être vrai quelquefois sans l'être toujours : les expériences où on Ta trouvé vrai suffisent à l'entière certitude. Il y a de très beaux exemples de ce mode de démonstration.

i. Heiberg et Zeuthen. Eine neue Schrift des Archimedes. (Bibliotheca mathematica, Dritte Folge, t. VII, P- 32i.)

JULES TANNE H y

Sans doute, ce n'est pas toujours d'une façon directe que l'on applique la méthode expérimentale en mathématiques. Il reste vrai que la science acquise, telle qu'il la possède, fournit au mathématicien une matière et des instruments très puissants d'observation et de transformation. Que de calculs numériques auraient été impossibles sans un instrument aussi merveilleux que la numération décimale ! Que de ressources apportent les méthodes de calcul algébrique, de calcul intégral, les transformations géométriques ! Que de moyens pour rapprocher l'inconnu du connu, pour éclairer l'un au moyen de l'autre, pour changer une vérité en une autre, pour reconnaître l'identité de propositions qui semblaient, tout d'abord, ne pas appartenir au même domaine ! Et ces moyens s'accroissent d'année en année, se perfectionnent, deviennent plus aisés à manier se compliquent, permettent d'atteindre plus loin.

La matière à ouvrer ne manque pas et ne manquera jamais.

On peut faire des progrès utiles, parfois importants, en cherchant à mieux connaître ce qui est déjà connu, en appliquant des méthodes connues à des faits connus. Certaines propositions apparaissent d'abord comme isolées, ou bien l'on ne sait y parvenir que par un seul chemin ; ou encore on ne sait déduire que d'une façon une suite de propositions. Pour relier ces propositions ou ces théories isolées, pour y parvenir par des voies nouvelles, pour multiplier les chemins de traverse, le travailleur dispose parfois de méthodes plus puissantes que celles dont ses prédécesseurs ont dû se contenter ; il peut trouas 66 €

MATHEMATIQUES PURES

ver des voies plus directes, des démonstrations plus simples, et rencontrer, chemin faisant, quelque fait important sur lequel l'attention n'avait pas été attirée. Les travaux de cette nature, si même ils sont modestes, contribuent à l'organisation de la science. Ils peuvent avoir un caractère très élevé et témoigner, chez leur auteur, d'une rare imagination mathématique.

« Par exemple, lorsque M. Klein fait voir que la théorie algébrique de l'équation du cinquième degré est notablement simplifiée par l'étude préalable des propriétés dé l'icosaèdre régulier et que ce rapprochement permet aussi d'étudier avec fruit certaines équations différentielles du second ordre, on admire comment cette vue d'ensemble éclaire les faits épars... 1 »

L'étude approfondie de certaines démonstrations laisse parfois à celui qui s'y livre un malaise et même un doute : c'est le signe qu'il y a là quelque chose à chercher ; peut-être la démonstration vaut-elle pour les cas que l'auteur et ceux qui l'ont reproduite avaient en vue, sans que ces cas soient directement spécifiés dans l'énoncé, qui doit être remanié, restreint le plus souvent et quelquefois étendu, car il peut arriver qu'une démonstration prouve plus qu'on ne croyait. Ce sentiment de malaise peut s'étendre à toute une théorie.

Le progrès même de la théorie des fonctions d'une variable réelle a mis en évidence la néces-

i. E. Borel. Logique et intuition en mathématiques. (Revue de métaphysique et de morale, t. XV, p. 279.) La thèse soutenue par l'auteur, avec autant d'autorité que de vivacité, est, pour une bonne partie, celle que j'essaie de développer à mon tour.

JULES TANNER V

sité de reviser les fondements de cette théorie. J'ai parlé plus haut du parti qu'on avait tiré des nombres imaginaires avant d'avoir établi rigoureusement les règles de calcul qui concernent ces nombres. On pourrait en dire autant de l'introduction des éléments imaginaires en géométrie : elle a été appuyée d'abord sur des raisons métaphysiques un peu nuageuses, comme le principe de continuité ou le principe des relations contingentes : les vues profondes, et quelque peu hardies, des inventeurs ont été précisées et justifiées, et \{on a pu, grâce aux progrès de l'analyse, légitimer un langage éminemment propre à la généralité des énoncés, langage dont l'habitude, chez quelques géomètres habiles, confine à l'intuition.

Par l'observation et la comparaison des propriétés déjà connues des fonctions ou des figures, par la réflexion attentive sur ce connu, des questions se posent au travailleur : quelques-unes se posent naturellement. Elles sont, par exemple, résolues pour certaines fonctions ou certaines figures, comment ne pas se les poser pour d'autres fonctions ou d'autres figures, dont on connaît déjà quelques propriétés? Les unes sont plus ou moins aisées à résoudre, ou à aborder, par des méthodes connues, et les faits particuliers s'accumulent ainsi. D'autres restent ouvertes pendant des siècles.

Les questions s'enchaînent, se généralisent, se multiplient.

Prenons comme exemple simple la proposition classique sur le carré de l'hypoténuse d'un triangle rectangle; je passe sur la multitude de questions, appartenant à la géométrie élémentaire, auxquelles elle permet de répondre facile-

MA TUÉ MA TIQ UES PURES

ment. C'est la première fois, peut-être, que Ton rencontre ce principe général, qui est le fondement de l'application de l'algèbre à la géométrie : quand une figure est déterminée par certains éléments, les valeurs numériques de ces éléments suffisent pour le calcul numérique des autres. Ainsi, un triangle rectangle est déterminé quand on se donne deux de ses côtés ; la valeur numérique du troisième côté doit donc se conclure des valeurs numériques des deux premiers. Mais je laisse encore de côté ce principe, d'autant que les anciens n'en ont sans doute pas aperçu la généralité, à cause de l'habitude qu'ils avaient de raisonner sur des figures plutôt que sur des relations numériques. Peut-être le théorème sur le carré de l'hypoténuse a-t-il été découvert par l'observation de triangles rectangles dont les côtés s'expriment par des nombres simples, les nombres 3, 4, 5 par exemple. En tout cas, la spéculation sur de pareils nombres était familière aux Grecs. N'était-il pas naturel de chercher une règle qui permît de trouver tous les nombres entiers dont le carré est la somme des carrés de deux nombres entiers? La question de savoir si les nombres entiers qui sont la somme de deux carrés n'obéissent pas à quelque loi simple a pu se poser plus tard et cette loi, très simple pour les nombres premiers, a sans doute été trouvée par induction. On s'est demandé ensuite quels nombres entiers pouvaient être représentés par une formule telle que

x2 + 2/\ x2 + 3/1 ou, plus généralement,

ax1 -f- bxy -f- cy2

JULES TANNERY

en désignant par a, bf c des nombres entiers donnés. C'est l'un des premiers problèmes de la théorie arithmétique des formes quadratiques. Cette théorie avait été poussée fort loin, par des moyens purement arithmétiques, lorsque les fonctions elliptiques furent découvertes. Plusieurs des identités qui se rencontrent dans cette théorie, sortie du calcul intégral, sont liées de la façon la plus étroite au chapitre d'arithmétique dont je viens de parler.

« Je me résigne, écrit Hermite \ à interroger les formules elliptiques de diverses catégories, en demandant à chacune son secret arithmétique, et à recueillir les réponses utiles ou inutiles avec patience et persévérance. »

L'étude approfondie qu'il avait faite des liens de cette sorte, entre certaines fonctions transcendantes et la théorie des nombres, l'habitude qu'il avait de ces liens avaient développé chez lui l'admiration de l'unité mystérieuse qui domine la science et de l'enchaînement historique des circonstances qui ont fait apparaître cette unité; il n'en parlait jamais sans une émotion presque religieuse.

La facilité même avec laquelle on trouve toutes les solutions, en nombre entiers, de l'équation

lorsque n est égal à 2, invite en quelque sorte à chercher les solutions de cette équation pour les autres valeurs entières et positives de n. Fermât a affirmé qu'il n'existait point de pareilles solu-