CONCEPT DU TAUX DE L INTERET

Dans le chapitre précédent, nous sommes arrivés au concept de rendement-valeur. Celui-ci peut être explicitement défini comme étant le rapport entre la valeur du revenu qui afflue d'un certain capital durant une certaine période de temps et la valeur de ce capital à un certain instant précis. C'est ainsi que si le l^r janvier 1900 un capital vaut 10.000 $ et si durant l'année 1900 ce capital donne un revenu valant 500 $, le rendement-valeur sera de cinq pour cent par an pour cette année. Si le revenu est perpétuel et afflue à un taux uniforme, le rendement-valeur est appelé le taux d'intérêt retiré de ce capital. En d'autres termes, le taux de l'intérêt est défini, en peu de mots, le rapport entre le revenu et le capital. Comme disent les hommes d'affaires, le taux de l'intérêt est le « prix de la monnaie » ou le « prix du capital )). Cet usage très commun est basé sur cette idée, à savoir que toute somme en capital est l'équivalent d'une certaine annuité. C'est bien sans nécessité que cet usage a été condamné par des économistes, sous prétexte qu'il fallait attribuer une autre signification à l'expression « prix de la monnaie », à savoir, son « pouvoir d'achat » {pnrchasing power) par rapport aux biens en général. Mais Tobjection n'est pas très fondée, car il est évident que le « pouvoir

CHAP. XII. — CONCEPT DU TAUX DE l'iNTÉRÊT 229

d'achat » comprend non seulement le pouvoir d'achat sur un stock de biens, mais aussi le pouvoir d'achat sur un afflux de revenu. Si 100 $ achètent une annuité perpétuelle de 6 $ par an au Japon, tandis qu'en Angleterre ils n'achèteront qu'une annuité de 3 S par an, le pouvoir d'achat du capital sur le revenu sera de six pour cent au Japon et de moitié moins en Angleterre. Dans le premier pays, un millionnaire disposera d'un revenu de 60.000 $ sans entamer son capital, tandis qu'en Angleterre son revenu ne sera que de 30.000 | et il sera deux fois moins riche en revenu effectif.

Le taux de l'intérêt a bien des significations, et, puisque ce concept a une si grande importance pour notre étude, nous allons spécifier avec soin, dans le présent chapitre, quelles sont ces diverses significations. La signification indiquée dans le paragraphe précédent implique l'existence d'une annuité perpétuelle, c'est-à-dire d'un afflux uniforme et perpétuel de revenu. Quoique une semblable annuité n'existe pas en réalité, il est souvent utile d'employer ce terme comme véhicule de la pensée. Supposons que, aujourd'hui, 10.000 % assurent une annuité de 400 % par an payable annuellement., la première année de payement courant du jour de l'acquisition ; le taux de l'intérêt sera dit être alors de quatre pour cent par an payable annuellement ; c'est-à-dire que le taux de l'intérêt (lorsque l'intérêt est payable annuellement) est le rapport qui existe entre le taux d'afflux d'une annuité perpétuelle et son équivalent en capital présent.

Dans le cas où le revenu court par périodes semi-annuelles, le résultat est quelque peu différent. Supposons que 10.000$ donnent aujourd'hui une annuité perpétuelle de 400 % par an en payements semi-annuels de 200 % chacun, le premier versement ayant son échéance à six mois de date. On dira

alors que le taux de rintérêt est de quatre pour cent par an payables semi-annueUement.

Que ce taux de quatre pour cent ne soit pas équivalent à chacun des autres, c'est ce qui est bien reconnu en pratique et ce qui peut être rendu évident de plusieurs façons. Celui qui reçoit l'annuité semi-annuelle a un léger avantage sur celui qui reçoit l'annuité annuelle, car il reçoit la moitié du revenu de chaque année six mois plutôt. En fait, il peut convertir son revenu de 200 S deux fois par an en un revenu de 404 % une fois par an ; car, en six mois, outre l'encaissement de son premier terme de 200 $, il peut recevoir 10.000 % en vendant son annuité. Il peut donc replacer ses 10.200 $ aux conditions originaires, c'est-à-dire à quatre pour cent payables semi-annuellement, et en retirer une annuité perpétuelle de 408 en termes semi-annuels de 204 S. En six mois de plus, ou en une année à partir du premier placement il peut réaliser 204 $ de revenu et 10.200 % de « principal », soit 10.404 % en tout. Sur cette somme, il peut replacer les 10.000 $ originaires en gardant 404 %. A partir de ce point, il peut parcourir de nouveau les mêmes cycles annuels de ventes et de replacements, et par suite recevoir 404 $ nets payables une fois par an. Il a par conséquent un avantage de 4 $ par an sur le possesseur d'une annuité de 400 S par an payable annuellement. En d'autres termes, un taux d'intérêt de 4 pour cent par an, si le revenu est payable semiannuellement, équivaut à un taux d'intérêt de 4,04 pour cent par an, si le revenu est payable annuellement.

Le même raisonnement s'appliquerait au revenu courant par trimestre ou par toute autre période (1).

En subdivisant indéfiniment les termes de payement, nous pouvons passer d'un revenu perçu par termes à un afflux continu de revenu. L'idée d'un courant uniforme et perpétuel de revenu est presque réalisée dans certains cas, comme dans l'Ouest, où les droits d'eau sont quelquefois

(1) V. Appendice au chap. xii, § 1.

CHAP. XII. — CONCEPT DU TAUX DE l'iNTÉRÊT 231

achetés sous forme d'« un pouce de mineur » — c'est-à-dire d'un }3erpétuel écoulement par une ouverture d'un pouce carré sous une source de six pouces. Supposons que l'eau vaut 100 S par an. Si le droit à un tel écoulement uniforme et perpétuel peut être acheté pour 2.000 $, le taux de l'intérêt sera de cinq pour cent « calculés d'une manière continue ».

Nous arrivons ainsi à la conclusion que le taux d'intérêt a des sens différents selon la fréquence des payements, savoir :

Le taux d'intérêt per anniim, revenu payable annuellement.

Le taux d'intérêt per annum, revenu payaible semi-annuellement.

Le taux d'intérêt per anniun, revenu payable par trimestre.

Le taux d'intérêt per anniim, revenu payable à d'autres intervalles.

Le taux d'intérêt per annurn^ revenu payable d'une manière continue.

Le dernier taux énuméré, tout en étant le dernier usité en pratique, est à de certains égards le plus naturel et il se prête mieux que tout autre à des transformations mathématiques. D'un autre côté, le premier est le plus usité dans les calculs pratiques.

Nous avons considéré le taux de l'intérêt comme le prix du capital en termes de revenu. Si nous considérons réciproquement le prix du revenu en termes de capital, nous obtiendrons ce que l'on appelle le « taux de capitalisation ». 11 se mesure en années, c'est-à-dire par le nombre des années durant lesquelles il y aurait afflux d'une quantité de revenu égale au capital. Ainsi, si 25.000 $ achètent une annuité perpétuelle de LOOO S par an, le taux de capitahsa-

tion sera « un achat de vingt-cinq années ». Le concept « achat d'années » {years' purchase) est commun en Angleterre, lorsqu'il s'agit de rente foncière. Cette rente est évidemment convertible en taux d'intérêt. Un taux d'intérêt de quatre pour cent indique « un achat d'années » ou un taux de capitalisation de vingt-cinq années. Un taux d'intérêt de deux pour cent indique un taux de capitalisation de cinquante années. Le taux de capitalisation a donc autant de signification que le taux d'intérêt, selon que le revenu est payable annuellement, trimestriellement, etc., ou d'une manière continue.

Les concepts d'intérêt que nous venons d'indiquer dépendent du concept d'une annuité perpétuelle. Mais ils peuvent aussi être rendus applicables à des annuités temporaires. Ainsi 10.000 $ peuvent donner, à quatre pour cent, un revenu de 400 $ par an pendant dix ans, temps à l'expiration duquel les 10.000 $, c'est-à-dire le « prêt originaire » sera remboursé. Dans ce cas, le prêt peut évidemment être regardé comme une vente et revente d'une annuité perpétuelle. Une annuité perpétuelle de 400 $ est, moyennant le prix de 10.000 $, détournée au bénéfice du prêteur, et à la fin des dix années cette même annuité est restituée à l'emprunteur moyennant la même somme.

C'est sous ce même aspect que nous pouvons regarder même les prêts à court terme. Ainsi, si un homme emprunte aujourd'hui 100 $ et consent à les rembourser avec intérêt à quatre pour cent au bout d'une année, nous pouvons le considérer comme ayant vendu une annuité perpétuelle de 4 $ par an moyennant 100 $, et en même temps comme s'étant engagé à racheter cette même annuité pour 100 $ à la fin d'une année. Les résultats réunis de ces opérations se ramènent à un échange de 100 $ cette année contre 104 $

CHAP. XII. — CONCEPT DU TAUX DE l'iNTÉRÊT 233

l'année prochaine. Il est possible de se servir d'un échange aussi simple entre la monnaie de cette année et celle de l'année prochaine, comme base d'une définition entièrement nouvelle du taux de l'intérêt, définition qui ne dépendra nullement de l'idée d'une annuité. Lorsque 100 8 sont échangés aujourd'hui contre 104 S l'année prochaine, le rapport d'échange entre les deux sommes est 104/ j 00. Ce rapport n'est pas lui-même, bien entendu, le taux d'intérêt ; le taux d'intérêt est l'excédent, ou prime, de 104/100 au-dessus de l'unité. En d'autres termes, le taux d'intérêt est la prime, ou « agio », au-dessus du pair des dollars de cette année en termes de dollars de l'année prochaine.

Un tel concept d'intérêt peut être appelé le concept de prime {premium concept), tandis que le concept employé jusqu'ici, c'est-à-dire le prix du capital en termes d'annuité, peut être appelé le concept de prix du taux d'intérêt. Dire que le taux d'intérêt dans le sens de prix est de quatre pour cent, signifie que le prix de 100 S de capital est quatre dollars de rexenu per anniim à perpétuité. Dire que le taux d'intérêt dans le sens de prime est de quatre pour cent, c'est dire que le prix de 100 $ de biens d'une année est 104 S de biens de l'année suivante.

Le concept de prime du taux d'intérêt a été si préconisé, notamment par Bœhm-Bawerk, qu'il paraît utile de revenir brièvement, à propos de lui, aux distinctions entre le calcul annuel, semi-annuel, trimestriel, etc. Supposons que 100 § vaillent aujourd'hui 102 S dans six mois. Le taux d'intérêt dans le sens de prime est ici de deux pour cent pour la période de six mois, et on dit qu'il est de « quatre pour cent per annum payables ou calculés semi-annuellement ". Cependant il est évident que ce sera là un taux un peu plus élevé que celui de quatre pour cent per annum calculé annuellement. Supposons qu'à la fin de six mois, temps au bout duquel il sera dû 102 8, l'emprunt soit renouvelé pour une autre période de six mois au même temps. Il est évident qu'alors les 102 % s'élèveront par « composition » à 102 X 1,02, soit

104,04 $. Donc, à la fin d'une année, l'intérêt au lieu d'être de 4 S sera de 4,04 $. En d'autres termes, quatre pour cent d'intérêt calculés deux fois par an équivalent à 4,04 pour cent calculés annuellement, comme c'était aussi le cas dans le concept de prix du taux d'intérêt. Il en est de même si nous prenons le trimestre ou toute autre période comme période de composition. A la limite, la période de composition peut être réduite à un instant (1).

Nous avons donc deux méthodes pour déterminer l'intérêt. Dans l'une comme dans l'autre, l'élément de temps est prépondérant. Avant d'aller plus loin, nous devons faire observer ici que l'élément de temps y entre non seulement comme se rapportant aux termes de payement, mais aussi à l'époque du contrat. Un taux d'intérêt implique non seulement les deux moments entre lesquels les biens à échanger sont disponibles, mais aussi le moment où la décision d'échanger est prise. Il serait tout à fait possible, par exemple, de faire en l'année 1900 la convention d'échanger 1.000 S en l'année 1901 pour une somme donnée ou pour une série de sommes remboursables à des dates encore plus reculées. Dans ce cas, le taux d'intérêt relatif à cet échange appartient à l'année 1900, quoique l'exécution du contrat ne commence qu'une année plus tard et ne finisse que plus tard encore. Ces conditions ont souvent passé inaperçues dans les statistiques qui traitent du taux de l'intérêt.

Nous avons défini le taux de l'intérêt à la fois dans le sens de « prix » et dans le sens de « prime ». La question qui se pose maintenant, c'est de savoir si ces deux concepts sont interchangeables. Dans certains cas, ils le sont et dans d'autres ils ne le sont pas. Les cas dans lesquels ces deux concepts

(1) Pour les rapports mathématiques impliqués par ce raisonnement, V. Appendice au chap, xii, § 2.

CHAP. XII. — CONCEPT DU TAUX DE l'iNTÉRÊT 235

sont interchangeables apparaissent dans les propositions suivantes :

1° Si le taux de l'intérêt, dans le sens de prime sur les biens de cette année en termes de biens de l'année suivante, est à jamais le même année par année, le taux d'intérêt considéré comme prix du capital en termes d'une annuité perpétuelle sera égal à ce taux.

Un exemple numérique servira à nous faire comprendre ce cas. Nous supposerons que le taux d'intérêt est de quatre pour cent dans le sens de prime, c'est-à-dire que 100 $, à n'importe quel moment de la période que nous considérons, achèteront 104 $ devant être payés une année plus tard. Nous allons démontrer que, comme conséquence, 100 $ achèteront nécessairement une annuité de 4 $ par an à perpétuité. Supposons donc, le taux de prime étant de quatre pour cent, que 100 $ soient dépensés pour que 104 $ soient remboursés l'année suivante. Sur ces 104 $, lorsqu'ils sont reçus à la fin de l'année, le prêteur replace 100 $. En vertu de notre hypothèse d'un taux d'intérêt non modifié, ces 100 S rapporteront, à la fin de la deuxième année, d'autres 104 $, sur lesquels à leur tour 100 $ sont replacés ; et ainsi de suite indéfiniment. Par des replacements continus, le prêteur obtient pour ses 100 $ originaires 4 $ par an indéfiniment et 100 indéfiniment reportés. Si ce procès se continue à perpétuité, les 100 $ sont reportés un nombre infini de fois et n'ont aucune valeur présente. De là il suit que les 100 $ originaires n'obtiennent qu'une annuité perpétuelle de 4 $ par an, et que le taux d'intérêt dans le sens de prix est donc aussi de quatre pour cent, ce qu'il fallait démontrer (1).

Il est évident que ce raisonnement peut être exposé en termes généraux et qu'il s'applique également à l'intérêt

(1) Une preuve alternative consiste à obtenir la valeur présente de chaque article successif de revenu et d'additionner les résultats. Un exemple de ce procédé est donné dans le chapitre suivant, quand il s'agit d'obtenir la valeur-capital d'une annuité perpétuelle.

calculé semi-annuellement, trimestriellement, etc., et d'une manière continue.

2° Réciproquement, si un certain taux d'intérêt dans le sens de prix se maintient aujourd'hui, l'année suivante, dans deux ans, et ainsi de suite, le taux d'intérêt dans le sens de prime sera égal à ce taux.

C'est ce qu'il est facile de montrer au moyen d'un exemple. Si 100 S achètent 4 S par an à perpétuité, les premiers 4 % étant dus après une année, l'acheteur d'une telle annuité à la fin d'une année peut, aussitôt après avoir reçu ses premiers 4 -S, vendre ses droits. Par hypothèse, ils lui rapporteront 100 %. Par conséquent, il recevra en tout 104 % pour ses 100 % d'il y a un an. Il a ainsi fait échange de 100 % une année pour 104 S l'année suivante. C'est-à-dire que le taux prime d'intérêt pour cette année est aussi de quatre pour cent.

Nous voyons donc que si le taux d'intérêt dans l'un ou l'autre de ces deux sens — prix ou prime — reste constant, le taux dans l'autre sens restera aussi constant et égal au premier.

Il est clair que le même raisonnement s'applique à l'intérêt calculé pour n'importe quelle période de temps — semiannuellement, trimestriellement, d'une manière continue.

Mais si le taux d'intérêt ne reste pas constant, ses deux sens de prix et de prime ne sont plus interchangeables. Ainsi, supposons que le taux soit de quatre pour cent dans le sens de prime pour la première année, mais qu'il soit de trois pour cent pour la deuxième année et pour toutes les années suivantes. Cela signifie que 100 % aujourd'hui achèteront 104 $ l'année prochaine, et que 100 % l'année prochaine achèteront 103 % l'année suivante. Alors, 100 % aujourd'hui n'achèteront évidemment pas 4 S par an à perpétuité, ni même 3 §, mais une somme intermédiaire, approxi-

CHAP. XII. — CONCEPT DU TAUX DE l'iNTÉRÊT 237

mativement 3,03 S, de telle sorte que le taux d'intérêt dans le sens de prix sera de 3,03 pour cent (1).

De même, supposons que le taux d'intérêt, dans le sens de prix, soit quatre pour cent cette année, mais trois pour cent l'année suivante. Cela signifie que 100 $ aujourd'hui achèteront 4 $ par an à perpétuité, et que 100 $ l'année prochaine achèteront 3 $ par an à perpétuité. Alors, 100 $ aujourd'hui n'achèteront pas 104 $ l'année prochaine, ni 103, mais 137 1 /3 $. C'est-à-dire que le taux d'intérêt dans le sens de prime est de 37 1 /3 pour cent (2). De sorte qu'un très léger changement dans le taux de prix implique un grand changement dans le taux de prune. Cela nous explique pourquoi, sur le marché réel, le taux d'intérêt pour les prêts à court terme est soumis à des fluctuations beaucoup plus considérables que le taux d'intérêt des placements à long terme. Il est à peine nécessaire d'avoir recours à des statistiques pour le démontrer, quoiqu'il soit facile d'obtenir ces statistiques en comparant les fluctuations du taux d'intérêt pour les emprunts à court terme et à long terme, aux Etats- Unis et en Angleterre.

Nous voyons donc que les deux concepts du taux d'intérêt, quoique en rapport bien déterminé (3) l'un avec l'autre, ne sont pas toujours interchangeables.

Il existe encore un autre procédé pour indiquer les termes des échanges de temps. Outre les taux d'intérêt et leurs réciproques, les rapports de capitalisation, il y a le taux d'escompte. Nous avons vu que si 104 $ dus dans un an achètent 100 $ de biens présents, le rapport 104/100 représentera le taux d'échange entre les deux époques et dépassera l'unité

(1) V. Appendice au chap. xii, § 3.

(2) V. Appendice au chap. xii, § 4.

(3) V. Appendice au chap. xii, § 5.

OU le pair de 4/100, taux de l'intérêt. Le taux d'échange entre les deux époques, lorsque ces époques sont prises dans la direction opposée, est 100/104, et ce rapport est moindre que l'unité ou le pair de 4. Ce déficit qui s'élève à 3.9 pour cent est appelé le taux d'escompte. Le nombre qui représente le taux d'escompte est toujours un peu inférieur à celui qui représente le taux correspondant d'intérêt (1). Le taux d'escompte n'est employé en pratique que pour les prêts à court terme, habituellement de moins d'une année, cas où ce procédé est établi en vue d'un calcul rapide.

Le présent chapitre peut être résumé en quelques mots dans la forme suivante :

Premièrement, le taux d'intérêt est un cas spécial de « rendement-valeur » et il peut être abordé à l'un ou à l'autre de ces points de vue, selon que nous le regardons comme le prix du capital en termes d'une annuité perpétuelle, ou comme la prime sur le prix des biens de cette année en termes de biens de l'année suivante. Ces deux définitions du taux d'intérêt sont, comme nous l'avons vu, interchangeables, lorsque l'une ou l'autre d'entre elles est considérée comme invariable ; mais lorsque cette condition ne se trouve pas remplie, les deux définitions ne sont pas interchangeables.

Deuxièmement, non seulement le taux d'intérêt a les deux significations que nous venons d'indiquer, mais encore chaque signification est sujette à diverses interprétations, selon que l'intérêt est payable ou calculé annuellement, semi-annuellement, trimestriellement, etc., ou d'une manière continue.

(1) Pour une plus ample discussion du taux d'escompte, v. Appendice au chap. xii, §§ 6 et 7.

CHAP. XII. — CONCEPT DU TAUX DE l'iNTÉRÊT 239

Troisièmement, comme alternative du taux d'intérêt nous pouvons nous servir du taux d'escompte et du taux de capitalisation. Ces deux grandeurs s'appliquent, soit dans le sens de prix, soit dans le sens de prime. De plus, comme le taux d'intérêt, elles s'appliquent d'une manière quelque peu différente selon que le calcul est annuel, semiannuel, trimestriel, etc., ou continu.

Le tableau suivant servira à nous faire voir les différentes grandeurs qui viennent d'être examinées (1) :

Taux équivalents d'intérêt, descompte et de capitalisation

Rèi'ipi Oi|U0 (le U

Calculé annuellement .

Calculé semiannuellement Calculé Iriraestrielleraent Calculé d'une manière continue

Faut

Taux

il'interét

il'escoaiple

Kéc

proi^uei

ieA

ou

tanx

'lec

<.pi

talisa

tion

années

26,0 années 25,8 »

Puisque les seize grandeurs de ce tableau peuvent être prises soit dans le sens de prix, soit dans le sens de prime, et puisque, lorsqu'il y a diversité, les deux sens impliquent deux grandeurs inégales, nous nous trouvons avoir représenté explicitement ou implicitement trente-deux grandeurs possibles. Les formules dont on peut se servir pour exprimer les échanges de temps entre des biens de même nature, offrent donc des variétés embarrassantes. Mais puisqu'il est facile de passer de l'une d'elles à toutes les autres, il est évident qu'en général il n'est pas nécessaire que nous en employions plus d'une. Celle qui est pratiquement la plus simple et celle, par conséquent, que nous emploierons désormais dans ce livre, c'est la suivante : le taux d'intérêt per annum calculé annuellement et considéré comme une prime sur les biens d'une année comparés à ceux de Vannée suivante.

(1) Pour ce qui concerne leurs « dimensions « mathématiques, V. Appendice au chap. xii, § 8.

Ayant vu ce qui constitue un taux d'intérêt, nous sommes maintenant en mesure de continuer notre étude du rapport entre le capital et le revenu. Nous avons vu au chapitre xi que ces rapports sont de quatre sortes, selon que le revenu et le capital sont mesurés en quantité ou en valeur. Le quatrième de ces rapports, à savoir le « rendement-valeur », nous a conduit au concept du taux d'intérêt.

Le taux d'intérêt est comme une sorte de chaînon entre la valeur-revenu et la valeur-capital, et, grâce à ce chaînon, il devient possible de tirer d'une valeur-revenu donnée sa valeur-capital, c'est-à-dire de « capitaliser » le revenu.

Pour cela, nous supposerons que le revenu attendu est connu avec certitude, et que le taux d'intérêt (dans le sens d'une prime annuelle) est aussi connu d'avance, et enfin qu'il est constant durant des années successives. Dans ces conditions, il devient très facile de tirer la valeur-capital du revenu fourni par un article de richesse ou par un article de propriété ; en d'autres termes, il est facile d'en tirer la valeur de cette richesse ou de cette propriété. Cette valeur n'est autre chose que la valeur présente du revenu futur du capital spécifié. Cela demeure vrai, soit que le

revenu s'aceroisse d'une manière continue ou qu'il s'accroisse d'une manière discontinue ; qu'il soit uniforme ou soumis à des fluctuations ; que les payements de revenu soient en petit nombre ou en nombre infini.

Examinons d'abord le cas le plus simple, c'est-à-dire celui où le revenu futur consiste en un simple article pror duit à une époque déterminée. Si, par exemple, une personne possède un droit de propriété en vertu duquel elle touchera, à la fin d'une année, la somme de 104 8, la valeur présente de ce droit, si le taux d'intérêt est de 4 pour cent, sera 100 $. Si le droit de propriété est le droit à 1 S dans un an d'ici, sa valeur présente sera évidemment 1/1,04 ou 0,962, et si la somme à laquelle a droit le propriétaire est une somme différente de 1 $, sa valeur présente sera simplement, cette somme divisée par 1.04 ou multipliée par 0,962. Ainsi la valeur présente de 432 | dus dans une année est de 432/1,04 ou 432 x 0,962 = 416 $ (1).

Si la somme future est due dans deux ans, et si le taux d'intérêt est encore 4 pour cent, il est évident que 1 S aujourd'hui est la valeur présente de 1,04 $ Tannée prochaine, ce qui, à son tour (par composition) sera la valeur présente de 1,04 x 1,04 [c'est-à-dire (1,04)' ou 1,082 |] à la fin de la deuxième année. La somme 1,082 est appelée le « montant » de 1 $ à la fin de deux années, et 1,04 $ est le montant de 1 S au bout d'une année.

De même, au bout de trois années (1,04)^' sera le « montant » ou la somme que vaudra 1 S en valeur présente, et ainsi de suite pour n'importe quel nombre d'années. Ces résultats nous montrent ce que vaut 1 $ à la fin d'un nombre quelconque d'années. Et réciproquement, il est aisé de voir par ces résultats ce que vaut aujourd'hui un dollar dû au bout d'un certain nombre d'années. Nous avons déjà vu que la valeur présente de 1 S dû au bout

(1) Pour la discussion mathématique générale, \'. Appendice au chap. XIII, § 1.

FlIHEB. 16

d'une année est de 1/1,04 ou 0,962. De même, la valeur présente de 1 $ dû à la fin de deux, de trois, etc., années sera respectivement de 1/(1,04)' 1/(1,04)^ etc. (1). Connaissant la valeur présente de 1 $, nous pourrons évidemment trouver celle de n'importe quelle autre somme au moyen d'une simple proportion.

Pour exposer ces résultats sous une forme géométrique, représentons le temps par des lignes horizontales et la valeur du capital par des lignes verticales ; alors la courbe

AA'A"A"', comme on peut le voir dans la fig. 1, nous fera connaître les valeurs relatives à n'importe lequel des deux moments, valeurs échangeables sur la base d'un taux d'intérêt donné, composé annuellement.

Le point B représente le moment présent ; B', le moment dans une année d'ici ; B', celui dans deux années; B", dans trois années, et B*, dans t années d'ici. AB représente une valeur présente ; AB , le « montant » de cette somme dans une année d'ici ; AB", le montant dans deux années, etc. Par conséquent, AB représente aussi la valeur présente de AB due dans une année d'ici, ou de A B due dans deux années, ou de A^B^ due dans t années d'ici. La courbe AA* est une*« courbe exponentielle », en désignant sous ce nom une courbe qui s'élève selon une progression géométrique, c'est-à-dire qui s'élève de telle façon que les lignes verticales successives, AB, AB', A" B ' et A" B " (ordonnées) prises à des intervalles égaux, augmentent de longueur selon une raison uniforme. Cependant, pour des

Fig. 1

(1) Pour une formule mathématique, v. Appendice au chap. xiii, §2.

motifs économiques, nous donnerons à cette courbe le nom de « courbe d'escompte ».

Les principes qui viennent d'être exposés pour arriver à déterminer la valeur présente d'une simple somme future s'appliquent à bien des transactions commerciales, en particulier à l'évaluation de l'actif de banque (bank assets), actif qui existe en grande partie sous forme de « papier d'escompte r, ou autres sortes de prêts à court terme. Les mêmes principes s'appliquent également, quoique associés à ceux qui concernent le risque et le change étranger, à la forme de propriété que l'on désigne sous le nohi de « lettre de change » {bill of exchangé). Ils s'appliquent encore à la richesse qui est dans le commerce et dont, par conséquent, le seul service pour son propriétaire consiste en la vente. C'est en vertu de ce principe qu'un marchand calcule la valeur de son stock en escomptant son prix de vente pour le temps qui, selon toute probabilité, s'écoulera avant qu'elle soit vendue — après en avoir déduit, bien entendu, les dépenses probables de vente escomptées de la même manière. De même, la valeur d'un article de richesse, si on la calcule lorsque cette richesse est en cours de fabrication, est la valeur présente de ce qu'elle rapportera lorsqu'elle sera achevée, moins la valeur présente du coût d'achèvement. Par exemple, le constructeur d'une automobile l'évaluera, à n'importe quel moment de sa construction, d'après la valeur escomptée de son rendement probable, lorsque, dans la suite, elle sera finie et vendue, déduction faite de la valeur escomptée des frais de construction et de vente qui restent encore à faire. Bien entendu, l'élément de risque ne peut pas, dans ce cas, être négligé, mais son examen fera l'objet d'un chapitre ultérieur. Une autre application de ces principes de capitalisation

c'est celle qui est relative aux marchandises en transit. Une cargaison partant de Sydney pour Liverpool vaut la valeur escomptée de ce qu'elle rapportera à Liverpool, déduction faite de la valeur escomptée du coût de transport jusque-là. D'autres exemples classiques sont ceux qui concernent, par exemple, le vin, dont la valeur est constituée par la valeur présente de ce qu'il sera lorsqu'il sera «moelleux » et prêt pour la consommation; et les jeunes forêts^ dont la valeur est la valeur escomptée du bois qu'on en retirera plus tard. En Allemagne, et dans quelques antres pays, une semblable évaluation des forêts est aujourd'hui effectuée avec une remarquable précision.

ïl est rare cependant qu'un article d« capital ne rapportiequ'un seul article de revenu ou de dépense. D'ordinaire, les articles sont nombreux. Les annuités perpétuelles, par exemple, constituent une classe importante dans laquelle ces articles se présentent à perpétuité en quantités égales. Nous avons déjà vu, au chapitre précédent, que si une personne a droit à un dollar par an payable à perpétuité et annuellement, sa valeur présente calculée à 4 pour cent est 1/0,04 ou 25 $. Si son annuité est de 2 ^ par an, sa valeur présente sera évidemment le double ou 50 $ ; et si son annuité est toute autre somme, on trouvera sa valeur présente en multipliant de la même façon. Ainsi, une annuité de 17 $ vaut 17/0,04. En d'autres termes, la valeur d'une annuité perpétuelle s'obtient en divisant le revenu annuel par le taux d'intérêt (1), ou ce qui revient au même, en multipliant le revenu par le taux de capitalisation, que l'on appelle aussi le denier des années {niimher of years^purchasé). Cependant, cette proposition sert à d'éterminer seu-^

(1) Pour un exposé mathématique, v. Appendice au chap. xiii, §3.

lement la valeur-capital que possède une annuité au moment où elle prend naissance (c'est-à-dire wne année avant le premier payement) ou à tout autre moment pris une année avant le premier des payements qui entrent en compte. La valeur de l'annuité prise immédiatement avant qu'un terme quelconque de revenu soit dû, est évidemment plus grande que la précédente de tout le montant de ce terme. Ainsi, si le taux d'intérêt est de 4 pour cent, une annuité perpétuelle de 4 $ par an, dont le premier terme sera dû dans un an d'ici, vaut aujourd'hui 100 $, et elle vaudra encore cette mêfne somme à n'importe quel moment qui suivra immédiatement le payement d'un terme. Mais l'année suivante, immédiatement avant que le premier terme soit dû, elle vaudra 104 $. A n'importe quel moment intermédiaire entre le moment présent, où elle vaut 100 $, et le moment qui se trouvera dans une année d'ici, où elle vaudra 104 $, elle aura une valeur intermédiaire, déterminée par la courbe d'escompte. Sa valeur, en effet, sera toujours la valeur escomptée de 104 $, qui pourra être réalisée sur cette annuité au moment du prochain payement d'intérêt. Aussitôt que ce payement sera effectué, la valeur tombera de nouveau à 100 $, après quoi elle remontera de nouveau comme avant, et ainsi de suite, en suivant une série de courbes ressemblant aux dents d'une scie, comme on peut le voir par la fig. 2. Dans ce diagramme, la valeur de l'annuité est représentée par des lignes verticales successives de quatre unités de hauteur, chacune d'elles représentant 4 .f, et distante de l'autre d'une unité de temps (2).

Si l'annuité est « différée », c'est-à-dire ne commence qu'à une certaine époque future, sa valeur présente sera la valeur escomptée de la valeur qu'elle |X)ssède lorsqu'elle commence. Ainsi l'intérêt étant de 4 pour cent, tandis que

(2) Pour une discussion plus étendue de l'effet du calcul d'intérêt pour différents intervalles de temps, v. Appendice au cha,p.xm,^4.

100 $ est la valeur d'une annuité de 4 $ commençant aujourd'hui |(ce <jui veut dire, comme nous l'avons vu, que son premier terme sera dû dans un an à partir d'aujourd'hui), la valeur pré- A ^

sente d'une annuité différée d'un an plus tard ne sera que de 100/1,04, ou 96,15 S, et la valeur présente d'une annuité différée de cinq ans sera f 1^ I* 14 14 14 . 100/(1,04)' ou 92,46 t Fig. 2 La valeur d'une an-

nuité à n'importe quel moment avant l'époque où elle prend naissance au point A résulte de la hauteur à un point quelcon(^ue de la courbe d'escompte passant par le point A.

Dans la discussion qui précède, le revenu, qui est supposé s'accroître par termes, est représenté par des lignes verticales successives et séparées. Mais, si l'on suppose que le revenu afflue d'une manière continue, il devient nécessaire de le représenter par une surface. Dans la méthode de « surface », le temps est encore représenté par des lignes horizontales, et on emploie des lignes verticales ou ordonnées, non pour représenter le revenu, mais comme taux de revenu. Ainsi, dans la fig. 3, AC est le taux de revenu

affluant au mo-

ment A, et BD est le taux affluant au moment B. Comme conséquence, le revenu qui af flue

Fig. 3

pendant une certaine période de temps, c'est-à-dire AB, est représenté parla surface ABCD. Il est, par conséquent, un produit du temps AB multiplié par le taux moijen. Lorsqu'il s'agit d'un afflux uniforme de revenu, CD se

ramène à une ligne droite horizontale. La méthode des surfaces sera désormais employée partout où il sera question du revenu continu (1).

On ne peut pas dire qu'il existe des exemples réels de véritables annuités perpétuelles ; mais, certaines rentes d'Etat sont, en fait, des annuités perpétuelles, comme aussi les concessions de chemins de fer pour 999 ans. Tandis que la valeur-capital d'une annuité perpétuelle de 4 $ par an capitalisée à 4 pour cent est de 100 $, celle d'une annuité de 4 S par an pour 50 ans est de 85 $ ; pour 75 ans, elle est de 94 S ; pour 100 ans, elle est de 98 $ et pour 200 ans, elle est de 99,96 $. 11 sera donc facile de voir que pour n'importe quel taux ordinaire d'intérêt, une annuité qui s'étend sur un siècle ou plus est, en fait, égale en valeur à une annuité perpétuelle.

Parmi les exemples non monétaires, on peut citer comme annuités perpétuelles les droits d'eau dans l'Ouest, que nous avons mentionnés plus haut. Ces droits sont souvent vendus par pouce de mineur, c'est-à-dire par un afflux théoriquement perpétuel de 1 1 /5 jîied cube par minute, ce qui suppose être le taux auquel l'eau coulera par une ouverture d'un pouce carré avec une « source principale » (head) de six pouces. Les « premiers » pouces sonL souvent si sûrs de continuer qu'ils peuvent être garantis. De même si nous faisons abstraction de l'élément de risque, les parts des sociétés anonymes nous fournissent souvent un exemple d'annuités perpétuelles.

Revenant du capital proprement dit à la richesse-capital, nous trouvons que la terre nous fournit un assez bon

(1) Pour un exposé plus complet de la méthode des surfaces, comparée à la méthode des lignes, v. Appendice au chap. xiii, § 5.

exemple du capital produisant une annuité perpétuelle. La terre est souvent capitalisée sur la base d'un revenu uniforme et perpétuel sous forme de Tëcoltes ou autres produits. Elle est alors évaluée d'après un certain denier {years' purchase). Cependant, ce que l'on appelle les « pouvoirs naturels et indestructibles du sol », pouvoirs que suppose un semblable calcul, n'existent pas toujours, et, lorsqu'ils existent, ils ne produisent pas toujours une annuité perpétuelle. Les mines et les carrières s'épuisent, et bien des terres produisent un courant de revenu irrégulier, croissant ou décroissant.

Des annuités perpétuelles revenons maintenant aux annuités temporaires. Supposez qu'un homme possède ime annuité pour dix ans de IGO | par an. Cela signifie qu'il a le droit de recevoir dix payements annuels de 100 | chacun, le premier venant à échéance dans un an à partir de ce jour. Il est clair qu'une semblable annuité diffère d'une annuité perpétuelle, en ce qu'elle ne présente pas cette succession indéfinie de payement, après les dix années passées. En un mot, l'annuité temporaire est tout simplement une annuité datée d'aujourd'hui, moins une annuité perpétHelle différée dix ans. Par suite, la valeur présente de l'annuité temporaire n'est autre chose que la différence entre la valeui' présente des deux annuités perpétuelles. Sur ces deux annuités perpétuelles, la valeur présente de l'une, qui commence immédiatement, l'intérêt étant de quatre pour cent, est de 2.500 $ et celle de l'autre, qui est différée dix ans, est de 2.500 ou 1.689 |. Leur différence est donc de 2.500/(1,04)"' - 1.689 = 811. Or une semblable différence, c'est-à-dire la différence entre une somme particulière (comme 2.500 $) et la valeur escomptée pour un certain temps^ est désignée sous le nom d'escompte total de cette somme. Nous pouvons donc exprimer le résultat

CHAP. Xni. — VALEUR DU CAPITAL 249

auquel nous sommes arrivés en disant que la valeur présente d'une annuité temporaire est l'escompte total sur un€ annuité perpétuelle de la même somme annuelle commençant lorsque finit l'annuité temporaire (1).

Si l'annuité temporaire est elle-même différée, sa valeur présente sera la valeur escomptée de «a valeur calculée au moment où elle prend naiseanee.

Les annuités temporaires sont parfois employées par les compagnies d'a-ssurance et par les Etats, mais, à ces exceptions près, elles sont relativement rares comme formes spécifiques des droits de propriété. Cependant des exemples qui se rapprochent assez d'une semblable revenu nous sont fournis par un grand nombre, sinon par la plupart des articles de richesse. Ainsi, une machine fournit une série de services d'une valeur à peu près uniforme pour un nombre à peu près fixe d'années, et il peut en être de même pour une maison ou tout autre édifice, pour un navire, pour le matériel roulant ou pour tout auti'e outillage d'une voie ferrée, etc. Un exemple d'un semiblable revenu temporaire nous est encore fourni par plusieurs sortes de terrain, 'lorsqu'il s'agit de mines et de carrières, de tourbières et autres fonds qui s'épuisent par la production. L'Etat de Nevada nous offre l'exemple d'une vaste contrée qui autrefois produisait d'immenses revenus, mais qui aujourd'hui est presque ou tout à fait improductive. Cependant, il est évident que, dans tous ces cas, le risque constitue un facteur importan't dans la détermination de la A'^aleur- capital. Pour le moment nous ne considérerons pas ce facteur.

Lorsque approche la date à laquelle finit l'annuité, l'es-

(1) Pour un exposé mathématique de cette proposition, v. Appendice au chap. xiii, §§ 6, 7.

compte total diminue, et, par suite, la valeur-capital de l'annuité temporaire diminue aussi. La diminutuion de la valeur-capital est ce que l'on désigne parfois sous le nom if d'usure » {wear and ^ear), c'est-à-dire la dépréciation d'un article par le fait que les services qu'il doit encore rendre diminuent graduellement. L'approche de la cessation des services peut être ou ne pas être dû à l'usure physique, de telle sorte que l'expression « usure » est une désignation inexacte. Nous pouvons nous représenter un article qui n'éprouve aucun changement matériel et dont les services ne dureront néanmoins que pendant une période limitée. Sur les côtes de l'Atlantique, les pêcheurs construisent parfois des quais temporaires qui sont à peu près sûrement appelés à disparaître à la suite des tempêtes de septembre. Il est évident que la valeur d'une semblable propriété diminuera rapidement aux approches de la fin de la saison de pêche, sans que cette diminution soit en aucune façon due à une détérioration physique quelconque. Les édifices de la « Foire Universelle » {Worîd''s Pair) à Saint-Louis subirent, pendant la courte période de la foire, une dépréciation qui alla de 15.000.000 S, qui furent dépensés à leur construction, à 386.000 S, prix pour lequel ils furent vendus après qu'ils eurent atteint le but en vue duquel ils avaient été construits. De même, un petit pont en bois, qui est appelé à être remplacé par un pont plus vaste et mieux construit sur un point très rapproché, diminuera rapidement de valeur à mesure qu'on approchera du temps où l'autre construction fera dévier sa circulation, sans qu'il soit survenu une détérioration physique quelconque. Il n'est pas rare que des instruments de production perdent de leur valeur parce que l'on sait qu'ils ne tarderont pas à être remplacés par de meilleurs systèmes. « Usure » est donc une expression qui ne doit être employée qu'en métaphore. Alors même que l'usure se produit par suite de détérioration physique, cette détérioration n'agit sur la valeur qu'en tant qu'elle diminue ou fait cesser l'afflux de revenu, et non parce qu'elle amène un change-

ment physique dans le capital qui produit de revenu (1). La valeur du capital dépend exclusivement du revenu qui en découle, et non pas directement de sa condition physique.

Après avoir examiné le cas d'une annuité temporaire, nous revenons au cas où il s'agit d'une obligation qui fait que le porteur a droit non seulement à une annuité temporaire, mais encore à une somme simplement différée, qu'on appelle le « principal ». C'est ainsi que ce que l'on appelle « une obligation de 100 $, à cinq pour cent, pour dix ans » n'est autre chose que le droit de recevoir une annuité de 5 $ par an pendant dix ans, et, en oi^tre, 100 $ à la fin de cette période de dix ans.

Si le taux d'intérêt est de cinq pour cent et que l'on achète une obligation qui donne droit à un revenu annuel de 5 $ pendant dix ans et à 100 $ remboursables à la fin de cette période, il est évident que le prix d'achat de l'obligation doit être de 100 $. Dans ce cas, les 5 $ de revenu annuel sont l'intérêt du prix d'achat, et la somme de 100 | que l'on doit recevoir à l'échéance de dix ans est égale au capital, ou « prin* pal » originairement placé. C'est pour ces raisons qu'unetelle obhgation est appelée une obligation à cinq pour cent, les termes annuels de revenu sont appelés « intérêt », et le payement final de 100 $ est appelé « principal ».

Mais la plupart du temps l'obligation n'est pas vendue au pair ; par conséquent, les trois désignations dont nous venons de nous servir sont inexactes. Si l'obligation est vendue au-dessus du pair, le taux d'intérêt n'est pas de cinq pour cent, mais moins de cinq pour cent, de telle sorte que l'obligation n'est que nominalement une « obligation à

(1) Gpr. Boehm-Bawerk, Positive Theory of Capital, traduction anglaise, 1891, p. 387.

cinq pour cent » ; les 5 S reçus annuellement ne sont que nominalement un « intérêt » ; et les 100 $ remboursables ■à la fin de la période ne sont que nominalement le « principal ».

Si l'on veut obtenir la valeur-capital d'une prétendue obligation à cinq pour cent, lorsque le taux de bourse de l'intérêt est de quatre pour cent (c'est-à-dire lorsque l'obligation est vendue sur la base de quatre pour cent), il faut tout simiplement additionner les valeurs présentes (calculées à quatre pour oent) ides dix payement* de 5 S et le .payement final.de .100 $ .Nous pouvons considérer ces. articles comme consistant 1° en une annuité de dix ans de 5 $ par an, et 2° en ■une somme de 100 S différée dix ans. Il nous est facile de Tetrouver ces deux choses au moyen des explications que nous avons données plus haut.

11 a été expliqué (1) que la valeur présente d'une.annuité de dix ans est « l'escompte total » de la valeur capitalisée -d'une annuité perpétuelle correspondante commençant lorsque 'Cesse l'annuité temporaire. Or, une annuité perpé- .tueUe de 5 S vaut, si l'intérêt est à quatre pour oent, 5/0,04 DU 125 S,(2). Une annuité perpétuelle commençant dans dix ans vaudra donc 125 $ — en dix ans. Par suite aujourd'hui elle vaut, en l'escomptant à quatre pour cent 125/(1,04)^'' ou 84,45$. L' « escompte total » est donc 125 ^, moins 84,45 3, ou 40,55 $. 11 nous faut à cet élément ajouter l'autre élément de l'obligation, à savoir, la valeur .présente du prétendu «principal "de 100$ dus dans dix ans. Escomptée quatre pour cent, «e principal vaut 101/0,04^" ou 6.7,56 $. Additionnant ces -deux nombres, nous avons pour la valeur de l'obligation 40.55 $+ 67,56 $ - 108,11 $.

Nous voyons donc qu'une obligation dite à cinq pour cent rapporte quatre pour cent au prêteur si elle est achetée 108 11/100 $. De la même manière, nous pouvons montrer

(l) V. supra, § 5.

'(2) V. supra, § 3.

CHAP. Xlir. — VALEUR DU CAPITAL 255"

qu'elle rapportera six pour cent si elle est achetée 92,50 $ (1), En général une obligation se vend au pair lorsque le revenu annuel, ou « intérêt » nominal, est égal à l'intérêt réel du principal ; elle se vend au-dessus du pair si le revenu annuel (intérêt nominal) est supérieur à l'intérêt du principal ; et elle se vend au-dessous du pair s'il est moindre.

C'est d'une manière analogue que nous pouvons calculer la valeur d'une obligation dans le cas où les payements de revenu, ou intérêt nominal, sont semi-annuels et où le taux d'intérêt est calculé semi-annuellement, et encore dans le cas de périodes plus courtes, aussi bien que dans le cas d:e payements continus (2).

Il a été dressé des tables spéciales appelés « livres des valeurs d'obligations » calculées d'après les principes précédents ; ces tables sont employées par les courtiers de' bourse pour montrer la valeur des obligations dans différentes circonstances. Cependant, ces tables sont souvent employées pour la solution du problème inverse, c'est-àdire pour trouver le taux de d'intérêt « réalisé », lorsqu'une obligation est achetée à un prix donné. Les tableaux suivants en sont un abrégé, pour ce que l'on appelle les obligations trois pour cent, quatre pour cent et cinq pour cent. Dans tous les cas les prix des obligations sont les prix considérés immédiatement après un terme de payement de revenu. Ces prix sont ce que les hommes d'affaires nomment des prix « ex-coupon » {ex-interest)^ c'est-à-dire qu'ils ne comprennent pas l'intérêt qui s'y ajoute. Pour se servir des tables lorsque nous avons donné le prix à n'importe quel moment entre deux termes, il est nécessaire d'abord de « dépouiller » ce

(1) Pour une démonstration mathématique, v. Appendice au chap. XIII, § 8 ; pour une méthode alternative de calculer la valeur d'une obligation et pour une méthode qui donne la « prime » séparément, V. Appendice au chap. xiii, § 9.

(2) V. la démonstration mathématique, à l'Appendice au chap, xiii, § 10.

prix de l'intérêt qui s'y est ajouté depuis le dernier payement de revenu.

On peut se demander : Où est la ligne de démarcation entre ce qui est nominalement le « principal » et 1' « intérêt » ? Voici la réponse : Aucun d'eux n'a d'importance logique. Dans nos calculs tous les articles que l'on reçoit de l'obligation, y compris le principal lorsqu'il est payé, ont été traités sur le même pied. Ils constituent, relativement à l'obligation,son véritable « revenu ». Ce que l'on appelle « principal » est ordinairement regardé comme un remboursement du placement original. Mais que ces deux choses soient égales ou ne soient pas égales, elles sont au moins distinctes. Le placement original est la valeur escomptée des recettes attendues ; le principal finalement « remboursé » n'est tout simplement qu'une (la plus grande) de ces recettes. La

TAUX d'intérêt

(Calculé semi-annuellement) réalisé sur une obligation

(avec coupons semi-annuels)

désignée sous le nom de « obligation trois pour cent »

Années de l'échéance

Prix

iOl

D° pour une « obligation quatre pour cent »

Années

de l'échéance

Prix

SO