TAUX D INTERET

(Calculé semi-annuellement) réalisé sur une obligation (avec coupons semi-annuels) dite « cinq pour cent »

Années

de l'échéance

Prix

seule différence entre cette grande recette et les autres recettes moindres consiste en ce que, d'ordinaire, elle est employée d'une manière différente lorsqu'elle est reçue. Elle est habituellement replacée en autres titres à long terme, tandis que les petits articles de revenu, c'est-à-dire ce que l'on appelle les « intérêts » sont dépensée pour des articles de plus courte durée, et, par là même, sont bientôt convertis en véritable « revenu final ». C'est pourquoi le « principal » et « l'intérêt », en même temps que tous les deux sont du revenu par rapport à l'obligation considérée en elle-même,, peuvent conduire à des résultats différents, lorsqu'on les suit jusqu'aux transformations finales de vente et d'achat par les compensations de crédit et de débit précédemment exposées. Si nous supposons qu'une obligation cinq pour cent soit toujours vendue sur la base de cinq pour cent, et que le principal soit toujours replacé en la même sorte de titres, il est évident que, relativement à la série entière d'opérations, y compris le replacement, le principal, quoique revenu, est immédiatement compensé par le replacement comme dépense. En d'autres termes, toutes les' fois qu'il apparaît comme revenu d'une obligation, il disparaît aussitôt comme dépense d'une autre ; par conséquent, le propriétaire est virtuellement en possession d'une annuité perpétuelle de 5 $ par an. C'est en considération d'une semblable opération que le payement final de 100 S sur une obligation est instinctivement regardé comme différent des autres payements appelés « intérêt ». On l'appelle « principal » par cela même qu'il peut être replacé, afin de continuer à donner l'annuité de 5 $. Il représente donc en théorie du capital, tandis que les autres payements ne représentent que du revenu. Mais nous voyons maintenant qu'ils sont les uns et les autres du revenu provenant de l'obligation considérée comme source de revenu, quoique les uns et les autres puissent, au moyen d'un replacement, être transformés en capital. Que l'un d'eux soit habituellement replacé comme capital, tandis que jes autres ne le sont pas, c'est là un fait qui appartient à

l'histoire subséquente et qui n'affecte en rien l'étude immédiate de l'obligation elle-même.

Alors même que le « principal « reçu à l'échéance de l'obligation est replacé, il peut se faire qu'il ne soit pas égal au placement original, ni, par conséquent, à la valeur-capital de l'obligation à une époque quelconque avant l'échéance. Cette égalité ne subsiste que dans le cas où l'obligation est toujours maintenue au pair. Lorsqu'elle est au-dessus ou audessous du pair, la valeur-capital est au-dessus ou au-de?sous du « principal », et, pour cette raison^ si ce n'est pour d'autres, la valeur-capital ne doit pas être confondue avec le « principal ».

Afin d'examiner s'il est vrai ou s'il n'est pas vrai qu'une obligation qui est nominalement de cinq pour cent rapporte réellement cinq pour cent, nous devons nous référer au prix auquel elle se vend, et quoiqu'il ne soit pas nécessaire d'abandonner la terminologie dans laquelle « principal » et « intérêt » sont employés au sujet des obligations, ces termes sont incontestablement des désignations inexactes et ce sont eux qui ont provoqué cette grande confusion. Par exemple, des compagnies d'assurance ont tout récemment proposé aux détenteurs de leurs polices de choisir entre l'encaissement à la mort de Tassuré d'une assurance déterminée de 1.300 $, ou une « obligation cinq pour cent en or » de 1.000 $. L'obhgation en or a paru à bien des détenteurs de polices une forme tentante de placement à cause du taux élevé de l'intérêt cinq pour cent ; mais il est évident qu'une telle obligation, considérée comme l'équivalent de 1.300 $ en espèces, est émise sur une base inférieure à cinq pour cent.

Jusqu'ici nous n'avons considéré que quatre cas spéciaux de capitalisation de revenu, savoir : i° la valeur-capital d'un simple article de revenu ; 2° le valeur-capital d'une

FisH.'B. n

annuité perpétuelle ; 3» la valeur-capital d'une annuité temporaire finissant au bout d'un nombre déterminé d'années ; et 40 la valeur-capital d'une obligation. Mais il est clair que les articles de revenu d'une propriété quelconque peuvent revêtir diverses autres formes, peuvent avoir une durée quelconque et peuvent être distribués pendant ce temps d'une manière quelconque. Considérons donc le cas général où des séries d'articles de revenu prises au hasard, AB, A'B' A"B", A'"B"', sont reçues de la façon indiquée par la figure 4. La valeur capital de cette série à l'instant

précis 0 se trouve en additionnant la valeur présente des articles séparés.

Le meilleur moyen de le prouver, c'est de commencer au <^er- 71 /er payement de B .

Immédiatement après ce dernier terme, la propriété est, bien entendu, sans valeur ; c'est-à-dire que sa valeur-capital est zéro. Immédiatement avant ce paiement la valeur-capital est égale à ce payement lui-même, et est représentée par A"B". A un moment quelconque de l'intervalle entre ce payement de revenu et le payement qui a précédé immédiatement, on trouvera évidemment la valeur en suivant la courbe d'escompte B C', G' étant perpendiculaire sur A". Par conséquent, la hauteur A"C est la valeurcapital de la propriété aussitôt après le payement A'B'. On trouve sa valeur-capital immédiatement avant ce payement, en additionnant la perpendiculaire CD, égale au payement de revenu A B". De D", à son tour, nous rétrogadons le long de la courbe d'escompte D C' jusqu'en C', point où A'C' représente la valeur-capital de la propriété

aussitôt après le payement A'B'. A ce payement vient s'ajouter, si nous remontons un instant, une quantité CD' égale au payement A B . Le résultat est A'D', c'est-à-dire la valeur-capital immédiatement avant ce même payement. De D', à son tour, la valeur-capital descend le long de la courbe d'escompte jusqu'en G, où CD, égal à AB, est additionné,et de D nous avançons enfin par la courbe d'escompte jusqu'en P, perpendiculaire sur 0. Par suite, OP est la valeur-capital de la propriété à l'instant « présent », et sa valeur à n'importe quel autre moment ultérieur apparaît en suivant la ligne brisée PDCDC D'C B"'A ' (1). Cette courbe doit descendre fina lement à zéro, lorsque le revenu est épuisé, et d'ordinaire elle témoigne d'une tendance à décroître avant que ce dernier payement soit atteint.

Si dans une série d'articles de revenu, il se présente un revenu négatif,il est simplement nécessaire de renverser la courbe de capital, comme on le voit dans la figure 5, ci-dessous, où le premier payement AB est une dépense au lieu d'être un revenu. La courbe PB' représente évidemment la tenue de la valeur-capital, qui s'élève tout à coup lorsque la dépense AB est dépassée, pourbaisser de nouveau lorsque le revenu A'B' est encaissé, et ainsi de suite jusqu'à la fin.

Nous pouvons, si nous voulons, suivre l'histoire de la valeur d'un titre depuis le temps qui précède immédiatement son achat et considérer son prix d'achat lui-même comme une dépense. Si ce prix est exactement égal à la valeur es-

(1) Pour la formule mathématique de la valeur-capital d'une série quelconque de payements de revenu, v. Appendice au chap. xiii, § 11.

comptée du revenu qui suit, il est évident que la valeur qui précède immédiatement son achat doit être exactement zéro. Ainsi, dans la figure 6, supposons que OMsoit le prix

d'achat et qu'il soit égale à OA, qui représente la valeur- capital immédiatement après l'achat. La valeur- capital immédiatement avant l'achat sera, par suite, zéro et la courbe entière de capital sera la ligne OABGDEFH Fig. 6 qui part de zéro

et finit à zéro, mais qui est au-dessus de la ligne de zéro sur tous les points intermédiaires. C'est là ce qui représente l'histoire normale d'un instrument-capital quelconque, s'il est acheté à un « prix loyal » [fair price).

Si l'afflux de revenu est continu, nous pouvons obtenir approximativement la valeur-capital en divisant le courant continu de revenu en parcelles arbitraires de payement et en escomptant séparément chaque payement (1).

Jusqu'ici la valeur du courant de revenu a été calculée avant que ce courant se produise, c'est-à-dire que nous avons escompté le revenu pour obtenir la valeur présente. Cependant, nous pouvons considérer un revenu comme acquis à la fin de la période où nous avons affaire à sa valeur « accumulée » ou « somme » (2).

(1) Pour plus de détails, v. Appendice au chap. xiii, § 12.

(2) Pour la discussion et les formules relatives à la valeur-capital d'un revenu, continu ou discontinu, v. Appendice au chap. xiii, § 13.

Jusqu'ici nous n'avons considéré que la possibilité d'un seul courant de revenu provenant d'une richesse-capital déterminée. Mais il arrive souvent qu'avec un seul instrument-capital, on a le choix entre divers courants de revenu. La terre peut être employée pour le pâturage, pour l'agriculture, pour les constructions ou pour l'agrément. Des outils peuvent être employés d'une foule de façons, et nous pouvons en dire autant d'une quantité innombrable d'articles de richesse, en particulier lorsqu'on les considère comme associés à d'autres articles. Comment déterminer le choix de la série d'usages auxquels on peut employer un instrument donné ? Il est évident que la série d'usages, ou courant de revenu, que l'on choisira sera celle qui produira le maximum de valeur présente. Ainsi, si la terre employée au pâturage fournit un service net de 1.000 $ par an à perpétuité, et si l'intérêt est compté à quatre pour cent, sa valeur pour le pâturage sera évidemment de 25.000 $. De même, si la valeur capital pour quelque autre usage, par exemple pour la culture du blé, est de 20.000 $, il est clair que la terre sera employée pour le pâturage plutôt que pour la culture du blé.

Parfois les deux séries d'usage auxquelles la terre ou toute autre richesse peuvent être employées diffèrent non seulement par leur quantité, mais par l'époque où elles commencent ou finissent. Par exemple, dans une ville, la terre peut être employée, soit pour l'habitation présente, soit pour un but commercial, et souvent il est permis de se demander quel sera l'usage le plus avantageux. Dans le cas où la ville s'accroît rapidement, il peut arriver que» dans certains quartiers, quoique l'emploi pour l'habitation ait une plus grande importance, la localité cesse dans quelques années d'être un quartier de résidence et que la terre soit nécessaire pour des besoins industriels. Dans ces cas, il peut être « avantageux » de soustraire entièrement la

terre à l'usage présent et de la réserver pour le jour où la ville se sera développée au point de rendre cette terre avantageuse pour y construire des établissements commerciaux. Si la terre était maintenant encombrée d'habitations, il ne serait pas possible de l'employer plus tard à des usages industriels, ou bien le profit de sa transformation en vue de ces usages serait amoindri par les frais de démolition préalable et par la perte des maisons d'habitation. Dans ces conditions, il arriverait d'ordinaire que des spéculateurs achèteraient la terre et la garderaient. La manière dont le bénéfice s'offre à eux n'est autre chose que l'espoir d'une augmentation de valeur à la suite du développement de la ville. Ils achèteront donc la terre pour la revendre plus tard a un meilleur prix. Un semblable spéculateur est ordinairement regardé comme détenant la terre « sans en faire usage ». Cependant, il ne fait qu'en différer l'usage, et s'il a fait preuve de prévoyance, il ne doit pas plus être blâmé par le spéculateur prudent de la Bourse des blés, dont tout le travail contribue, comme on sait, à conserver l'approvisionnement de blé. C'est ainsi que le spéculateur tend à réaliser la meilleure utilisation de la terre dans ce sens que, sur les différents courants alternatifs de revenu que la terre est appelée à fournir, il a choisi le seul qui lui offre le maximum de valeur présente. Et il est probable qu'en général, les meilleurs emplois de la terre pour le public doivent être cherchés dans ce procédé. Cependant, cette dernière conséquence ne découle pas absolument de la première, puisque les « meilleurs » usages ne sont pas nécessairement ceux qui offrent la plus grande valeur de marché ; mais ceux qui voudraient empêcher toute spéculation au sujet de la terre auraient au moins besoin, pour justifier leur opinion, d'invoquer de meilleurs arguments que celui-ci, à savoir que la spéculation «met la terre hors d'usage «. En effet, la spéculation prudente relative à la terre consiste simplement en un choix éclairé, exercé parmi un certain nombre d'usages, de l'usage ou de la série

d'usages qui offre aujourd'hui la plus grande valeur présente. Il faudrait faire observer que si le taux d'intérêt s'élève, les avantages relatifs des deux usages indiqués dans l'exemple qui précède pourront être tout à fait différents. Dans ce cas, il peut être avantageux de construire la maison au lieu d'attendre la construction des bâtiments industriels. En effet, le détenteur de la terre, comme il s'appelle, peut n'avoir pas assez de ressources pour « perdre son in térêt », lorsque celui-ci est à un taux si élevé.

Jusqu'ici nous n'avons considéré que la valeur-capital d'articles individuels de richesse. Le même raisonnement s'applique à un groupe d'articles de richesse. Un cas remarquable, c'est celui où il s'agit du stock d'un marchand. Dans ce cas, nous pouvons préférer capitaliser le stock dans son ensemble que de recevoir la somme des capitalisations de ses éléments séparés. On obtient le revenu net provenant du stock en retranchant du revenu brut toutes les dépenses, y compris, outre le coût de la reconstitution du stock, les autres frais commerciaux, — salaire de l'employé, rente, et même l'estimation du travail du marchand lui-même, à moins qu'il ne soit un pur associé commanditaire, ou « associé muet » {silent partner). Si l'on suppose que le revenu net reste constant à perpétuité, la valeur-capital du stock s'obtiendra, bien entendu, en divisant le revenu net par le taux d'intérêt. Dans ce cas, le taux d'intérêt doit être calculé pour la période de payement proprement dite. Si l'on suppose que les marchandises sont constamment achetées et vendues, le taux dont on devra se servir sera le « taux d'intérêt » per annum calculé d'une manière continue (1).

(1) Voir l'exposé mathématique à l'Appendice au chap. xiii, § 14.

§ li

Nous conclurons donc en disant que la valeur d'un bien-capital quelconque, que ce soit de la richesse ou de& droits de propriété, en supposant que tout le revenu futur est connu, est la valeur escomptée de ce revenu, et, par conséquent, que, à mesure que le temps marche, la valeur de ce capital oscillera, s'élevant graduellement, pendant les intervalles qui séparent les payements, le long d'une « courbe d'escompte », lorsque le revenu futur approche, baissant tout à coup lorsque les termes de payements ont successivement passé et se comportant en sens inverse avant et après une dépense. Cette oscillation de la valeur-capital s'arrête enfin à zéro, lorsque la vie, ou service, de l'article ou du groupe a pris fin. Cette oscillation commence souvent aussi à zéro^ lorsque l'instrument, ou le groupe, a été nouvellement acquis ou produit. Ces changements constituent, pour ainsi dire, une sorte d'histoire de la valeur-capital (1),

Certains lecteurs peuvent croire que la règle d'après laquelle la valeur du capital est la valeur escomptée du revenu qu'on en attend comporte une exception dans le cas où le revenu que Ton pourrait retirer du capital est indéfiniment différé. C'est là le cas où le « principal » s'accumule à intérêts composés, de telle sorte qu'il n'est retiré aucun « intérêt );. Si une personne a un dépôt de 1.000 S à une Caisse d'épargne {Saving Bank) et laisse cette somme s'accumuler à 4 pour cent jusqu'à ce que la somme s'élève au double de son montant primitif, ce qui arrivera au bout d'environ dixhuit ans, ces 1.000 % ne semblent pas à cette personne constituer la valeur escomptée d'un revenu. Si cette même personne veut absolument les considérer comme la valeur escomptée de quelque chose, ce sera des 2.000 S qu'elle espère

(1) Pour ce qui concerne le cas où le taux d'intérêt change et où ses changements sont connus, v. Appendice au chap. xiii, § 15.

avoir en sa possession au bout des dix-huit ans. Il est parfaitement vrai que la valeur-capital de 1.000 $ est la valeur escomptée de la future valeur-capital de 2.000 $ ; mais cette dernière valeur-capital est elle-même la valeur-escomptée, soit d'un certain reç>enu subséquent, ou, de nouveau, d'un capital encore différé, et ainsi de suite indéfiniment. Le revenu réel est espéré pour un certain temps, serait-ce pour un million d'années. Les 1.000 8 qui existent présentement sont la valeur-escomptée de ce revenu final, pour aussi éloigné qu'il soit. Humainement parlant, il ne saurait être question d'accumulation perpétuelle. Mais si, pour la circonstance, on voulait regarder une semblable accumulation comme possible, il faudrait encore l'interpréter comme un perpétuel ajournement de revenu possible ; de sorte que, dans ce cas, les 1.000 S peuvent encore être regardés comme la valeur escomptée d'un revenu qui est indéfiniment différé, mais qui est indéfiniment grand. Bien entendu, un semblable exemple n'offre qu'un intérêt purement théorique. Les sommes prodigieuses qui résultent du calcul de l'intérêt composé, surprennent toujours ceux qui ne se sont jamais livrés à de semblables calculs. Un dollar placé à intérêts composés à 4 pour cent s'élèverait à la somme de 50 $ au bout d'un siècle, à 2.500 S au bout du deuxième, à 125.000 $ au bout du troisième, à 6.500.000 S à la fin du quatrième ; à 325.000.000 S à la fin du cinquième, et, enfin, à la fin du sixième, à 16.000.000.000 S. Au-delà de ce chiffre, ce sont des nombres dont la grandeur échappe à toute pensée (1).

Cependant nous n'avons guère d'exemple que quelqu'un ait cherché à mettre de côté un dollar au profit delà postérité qui naîtra dans six siècles 1 On éprouve trop de répugnance à bâtir pour un avenir éloigné, même lorsque l'on sait que les résultats en seraient énormes. Benjamin

(1)V. une représentation géométrique à TAppendice au cliap. xiii^ § 16.

Franklin, au moment de sa mort, en 1790, légua 1.000 S à la ville de Boston et même somme à la ville de Philadelphie, sous cette condition que cette somme s'accumulerait pendant cent ans, au bout desquels cette somme devait, d'après ses calculs, s'élever à 131.000 $. En ce qui concerne Boston, ce don s'élevait, en réalité à la fin du siècle, Ji 400.000 $ et, depuis lors, elle s'est accumulée jusqu'à 600.000 $. La somme reçue par la ville de Philadelphie ne s'est pas accrue tout à fait aussi vite.

Un autre exemple intéressant d'accumulation, c'est celui du Lowell Institute, à Boston, qui fut fondé au moyen d'un legs de 200.000 $, en 1838, sous la condition que 10 pour cent du revenu qui en proviendrait serait replacé et ajouté au principal. Une particularité de cette disposition c'est qu'elle est applicable à perpétuité. Il n'y a donc théoriquement aucune limite à l'accumulation future rendue ainsi possible. Ce fonds, après soixante-sept ans, s'élève déjà à 1.100.000 $.

Cependant, il ne faut pas oublier que, en fait, une petite somme comme 1.000 |, si on la laissait s'accumuler, par exemple, à 4 pour cent pendant mille ans, n'atteindrait jamais, en réalité, la grandeur qu'elle devrait avoir d'après la théorie. Cela résulte évidemment de ce que la somme théorique s'élèverait à 100.000.000.000.000.000 S, ce qui dépasse tellement la valeur du capital qui se trouve sur la terre que toute possibilité se trouve ainsi exclue. Si la somme ne s'accumule pas aussi rapidement que le voudrait la théorie c'est, abstraction faite des pertes fortuites, à cause de la réduction du taux d'intérêt, réduction qui résulterait de l'accumulation elle-même. Les administrateurs d'un tel fonds, lorsque des siècles se seraient écoulés, auraient de plus en plus de difficultés à placer ce capital et les efforts qu'ils feraient pour y parvenir auraient pour effet de réduire le taux d'intérêt de ces placements, tout comme cela arrive aujourd'hui pour les banques nationales dans leur empressement à acheter des valeurs d'Etat.

Nous avons montré dans le chapitre précédent que, sous l'hypothèse de prévoir exactement les événements, la valeur d'un bien capital provient de son revenu futur en escomptant la valeur de ce revenu. Il nous reste maintenant à comparer la valeur-capital ainsi produite avec la valeurrevenu que l'on espère et dont elle dépend.

Il est évident, tout d'abord, que la valeur-capital est moindre que le revenu total qu'on espère en retirer. En effet, la valeur escomptée d'une somme future est toujours nécessairement inférieure à cette somme elle-même. Ce fait apparaît clairement dans la troisième et dans la quatrième colonne du tableau suivant du capital et du revenu au sujet de cinq articles typiques :

V'aleur-eapilal

Valeur-capital

CapiUl

Revenu net par an

[Revenu total

(Intérêt à 5 O/o)

(Intérêt à 2 1/2 O/o)

Terre . . .