A /BH
née «A | ^^ + «Al.
De même l'inclinaison ^'§"
de la sécante AG menée par des points correspondant à des temps éloignés d'une demi-année, considérée par rapport à ah, est le taux d'intérêt calculé semi-annuellement, et ainsi de suite. A la limite, l'inclinaison de la tangente AT (par rapport à ak) représente le taux d'intérêt calculé d'une manière continue.
De même, la sécante régressive, AB', représente le taux d'escompte, calculé annuellement (si ab' représente un intervalle d'une année), AC, le taux calculé semi-annuellement, et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'on ait atteint de nouveau la tangente Aï', ou Aï, où cesse la distinction entre l'intérêt et l'escompte. 11 est
facile de démontrer (par des triangles semblables) que la réciproque du taux d'intérêt calculé d'une manière continue, en d'autres termes, que 1' « achat de l'année » (j/ear's ]iurchase) est représenté par la sous-tangente aS.
(Chap. XII, § 6)
Un taux de prime de 4 '•/^ pour ime année, et de 3 " „ pour les autres années équivaut à un taux de prix de 3,03 Vo ^« V'^' mière année.
Nous avons supposé que 4 ";„ était le taux d'inlérêt (comme prime) pour la ])remière année, et que 3 " '(, était le taux pour chacune des années suivantes.
Supposons que 100 $ aujourd'hui soient placés pour 104 S l'année prochaine, et que, à la fin de l'année, sur ces 104 $, 100 $ soient replacés. Puisque, désormais, le taux d'intérêt sera toujours de 3 "/(, dans le sens de prime, il doit être aussi, comme il est démontré au texte, de 3 "/(, dans le sens de prix. Par conséquent, les 100 § replacés l'année suivante peuvent être employés h acheter 3 $ par an à perpétuité. Il en résulte que, pour les 100 S d'aujourd'hui, le rendement est de 4 $ la première année et de 3 S chacune des années suivantes. Celte série de payements est la même que 3 S par an à perpétuité, avec exceptionnellement un dollar à la fin de la première année. Ce dollar exceptionnel a une valeur présente (puisque la prime d'intérêt entre celte année
et l'année suivante est 4 '^/g) de x-jït ou 0,96 rô. Si nous déduisons cette valeur présente du dollar exceptionnel des 100 S (qui sont la valeur présente de la série entière de 4 $, 3 S, 3 $, ;') S, etc., ad infinitum), nous aurons la valeur présente de la série sans le dollar exceptionnel, c'est-à-dire de 3 S par an à perpétuité. Le reste est 99,03 rg $. Puisque donc ces 99,03 jg $
achèteront 3 S par an à perpétuité, le taux d'intérêt dans le sens
de prix sera 3 8 t 99,03 jg $. ou 3,03 '/(, approximativement.
C'est là le taux d'intérêt au début. Après la première année, ce taux sera évidemment toujours 3 "/u*
§4 (Chap. XII, § 6)
Un taujc de prix de 4 ° g pour celle année el 3 " /„ pour chaque année suivante équivaut à U7i taux de prime de '57 9 "/o ^^ la première année.
Nous avons supposé que 4 "/o était le (aux (dans le sens de prix) pour la première année, et que 3 % était le taux (dans le même sens) pour chaque année suivante.
1 00 $ achèteront aujourd'hui le droit à 4 $ par an à perpétuité, et dans un an d'ici, ce droit à 4 S annuels pourra être vendu sur la base de 3 %. Il atteindra donc 133,33 %. Le capitaliste
recevra par conséquent en tout, à la fin de celle première année,
une somme totale de 4 $ H- 133 0 $, ou 137 0 %• Par suite, le
taux d'intérêt dans le sens de prime sera pour cette année
37o"'o*^*"* les années suivantes, létaux d'intérêt, considéré
soit comme prime, soit comme prix, sera évidemment de 3 "/»•
(Chap. XII, § 6}
Rapports mathématiques entre les taux d'intérêt comme prime et comme prix.
En général, si nous supposons que ^'i représente le taux d'intérêt dans le sens de prime pour cette année, i> pour l'année suivante, i-i pour la troisième année, et ainsi de suite, tandis que^i, ji et J), etc., représentent les taux d'intérêt dans le sens de prix
pour les mêmes années successives, on pourra en déduire les rapports suivanls entre les taux de i et de J :
- ... ad inf. =
4 H-Js
... aa î/i/. =
, ad inf.
(1 ^ij (l 4-/3) (1 4-22)(» + »3)(1 +Î4)
(1 - H) (1 + 1 j + (t4-i3)(t + zj(i+g '^- • • '''^ ^'^/-
Ces équations peuvent être considérées comme déterminant 71, comme une sorte particulière de moyen des grandeurs z'i, L, r,... «rf inf., et ;.;, comme un moyen analogue de i^, i^, i^, ai inf. etc. La démonstration, qui est simple, est abandonnée aux lecteurs qui s'intéressent aux mathématiques.
Les équations précédentes expriment les valeurs Aqj en termes de i. Les équations suivantes donnent le taux de i en termes de,/.
h — Ji
j — Jz h — /;
etc.
Donc si, comme dans noire exemple :
La résolution de ces formules est encore abandonnée au lecteur mathématicien. Il ne manquera pas de remarquer que les deux groupes d'équations peuvent être résolus d'une manière indépendante, ou que l'un des groupes peut être résolu et l'autre tiré
de lui. Pour démontrer que l'un des groupes peut être tiré de l'autre, on verra qu'il est utile de substituer aux membres de gaucho du premier groupe leurs valeurs plus simples, telles qu'elles sont déduites par l'algèbre. Ces valeurs sonf^ , ^^ "^,etc. Une preuve facile résulte de la division effective de 1 par /i, etc. De ces formules il résulte que que si ?, = i^ = i^ = etc. J\ = Ji =i:j = etc. et que, alors, tous les taux de i = les taux dej. La réciproque est également évidente.
(Chap. XII, § 7)
Rapports mathématiques entre les taux d'intérêt et Vescom/ite
Supposons que V, dû depuis une année, soit l'équivalent de V utilisable au moment présent. Les taux d'intérêt et d'escompte seront alors exprimés respectivement par les formules :
De là, en multipliant les deux équations l'une par l'autre, nous tirons (1 H- î) (1 — d) ^= \, ce qui nous ramène a d = i — id. Cest-à-dire que le nombre représentant le taux d'escompte est égal au nombre représentant le taux équivalent d'intérêt moins une légère correction, égale au produit des taux d'intérêt et d'escompte.
Le rapport entre les taux d'escompte et d'intérêt lorsqu'ils sont calculés semi-annuellement est analogue au rapport que nous trouvons entre ceux qui sont calculés annuellement. Nous avons
V d' alors les équations ^^ = l — ^
d'où
En opérant la inulliplicalion el en réduisant
Nous pouvons appliquer le même raisonnement à l'inlérêl el aux taux d'escompte calculés trimestriellement.
Il en résulte que (1 + 7-) (1 ^) = i
ou d' = ï' r~ .
Le même raisonnement peut évidemment être appliqué aux calculs de n fois par an. Nous avons alors
7'"fJ" dn = i" — L^ .
Il est évident que si n, nombre de parties en lesquelles l'année
i"d" est divisée, est suffisamment auormenlé, le terme devient
infiniment petit, de telle sorte que, à la limite," le taux d'intérêt et le taux d'escompte deviennent égaux. Ce taux, pour le calcul continu, étant le même que le taux d'intérêt pour lecalculcontinu, est aussi appelé 0.
Ditlerent en cela du taux d'intérêt, le taux d'escompte est toujours considéré comme associé à l'échange de biens présents contre des biens futurs, et non à l'échange entre le capital et le revenu, c'est-à-dire qu'il est considéré, non dans le sens de prix, mais dans le sens de « prime » (la prime étant, dans ce cas, négative). Cependant, pour compléter notre tableau de concepts, uou& pouvons établir pour nous-mêmes un « taux d'escompte » dans le sens de prix du capital en revenu. Nous nous rapportons à ce fait, à savoir que le taux d'intérêt, dans le sens de prix, fut défini comme étant le rapport du revenu au capital, lorsque le premier terme de revenu est dû à la fin du premier intervalle de temps.
-Mais si le premier lerme esl dû au commencement le rapport du revenu au capital n'est plus le laux d'intérêt, mais il peut être appelé une sorte de taux d'escompte.
Ainsi, si 100 S'achètent une annuité perpétuelle de 4 S par an, le premier terme étant dû dans un an d'ici, 104 $ achèteront une annuité perpétuelle, le premier terme étant dû immédiatement. Dans le premier cas, le rapport du revenu au capital, j^^, esl a])pelé le « taux d'intérêt dans le sens de prix. » Dans le second <as, le rapport du revenu au capital, r-çy , peut être appelé « le (aux d'escompte dans le sens de prix ». Le taux d'escompte dans le sens de prix et le taux d'escompte dans le sens de prime sont dans un rapport analogue au rapport existant entre le laux d'inlérèt pris respectivement dans ces deux sens.
Comme on le sait très bien, les obligations, juste avant qu'un lerme d'intérêt soit dû, sont vendues sous l'une ou l'aulre de ces deux formes : elles peuvent être vendues sans payement d'intélél (ex-coupon) ou ave3 le payement d'intérêt (avec coupon) ( /lat). Ces deux méthodes s'associent respeclivement au taux d'intérêt et au taux d'escompte, tels que nous venons de les décrire.
(Chap. XII, § 7)
Rapports mathématiques entre les taux d'escompte pour les calculs de temps différents
Les taux d'escompte pour les calculs de temps çlifferents sont dans un rapport tout à fait analogue à celui des taux d'intérêt correspondants, comme nous l'avons montré dans cet appendice, § 2. Ainsi, si V aujourd'hui achète W dans une demi-année,
V . cT VV ~ 2 '
414 APPE>DICE
et si W achète V dans une autre demi-année dans les mêmes conditions,
d'où, en multipliant,
^=('-fr-
Mais
par conséquent 1
et
D'où nous voyons que le taux d'escompte calculé annuellement est moindre que son équivalent calculé semi-annuellement. Des raisonnements analogues s'appliquent aux taux trimestriels et autres.
(Chap. XII, § 8)
Dimensions des taux d'mlérét, d'escompte et de capitalisation
Le taux d'intérêt dans le sens de prix a la forme ^, où l' représente la portion du courant de revenu perpétuel qui afflue dans le temps t, et V représente sa valeur-capital. Puisque, dans cette fraction, v et V ont la même dimension, tous les deux étant mesurés en dollars, ou en bushels ou en quelque autre unité ayant
la même dénomination, la dimensionnalité de la fraction p- se ra-
mène à - où à t~^ (1). De même, le rapport de capitalisation,
étant laréciproque de celte fraction, ou -, a la dimensionnalité ^
1) Il est intéressant de remarquer que la dimensionnalité de ce <( prix du capital » diffère entièrement de la dimensionnalité *du prix d'une sorte de biens en termes d'une autre, comme nous l'avons montré dans l'Appendice au chapitre premier.
Ce sonl là des résultats qui sont parfailernent admis par l'usage courant, en tant que le laux d'inlérèt est de tant per anniim elle rapport de capitalisation en achat de tant d'années.
La mêntie dimensionnaîité peut être obtenue du taux d'intérêt
considéré comme prime. Le taux d'intérêt comme prime est donné
par l'équation ^ = (1 + ti), ou V et V sont deux sommes échangeables séparées par l'intervalle t, qui est d'ordinaire une fraclion d'année, pour lequel le taux d'intérêt doit être calculé. Ainsi,
s'il s'agit d'un calcul trimestriel, i est 7. Puisque V et V ont la
même dimension, ^ est un nombre pur et simple. D'où il résulte
que son égal 1 — ti est aussi un nombre pur et simple. Puisque,
dans cette somme, le terme 1 est un nombre pur, le terme ti est
aussi un nombre pur. D'où i doit être une dimension réciproque
ht, c'est-à-dire - ou <~'. Il est évident que le laux d'escompte a
la même dimensionnaîité que le taux d'intérêt.
APPENDICE AU CHAPITRE Xllf
§ I (CllAP. XIII, § 1)
Formule pour la valeur présente de la somme due dans une année
Si le taux d'intérêt est indiqué par t, il est évident que \ ^- i dû l'année suivante vaut 1 $ aujourd'hui
d'où 1 $ dû l'année prochaine vaut . . . -. : aujourd'hui
et toute somme V due l'année prochaine
vaut ■ aujourd'hui,
ce qui est la formule générale pour la valeur présente d'une simple somme due à la fin d'une année.
§ 2 (Chap. XIII, § \)
Formule pour la valeur présente de la somvie V due à la fin d'un temps \
En général, il est évident que (l + iy est la somme qui, dans deux ans d'ici aura une valeur présente de 1 $, d'où celle de l $
due au bout de 2 ans vaut aujourd'hui ....
et la somme V due au bout de deux ans vaut aujourd'hui
De même, V dû au bout de trois ans vaut aujourd'hui
+ if
et V dû à la fin de t années vaut aujourd'hui . . ,. .y .
Cette dernière formule est générale. 11 n'est même pas nécessaire que l soit un entier. Le lecteiir qui a l'esprit porté aux mathématiques, démontrera sans peine que la même formule est encore applicable si la période de temps est de trois années et demie ou d'une autre durée quelconque.
(Chap. XIII, § .3)
Formule pour la valeur présente d'une annuité perpétuelle
La prnposilion que la v.ileur pn-senle d'une rente perpétuelle est - a été démontrée dans îechapilre précédent. Une preuve alternative, qui e^l aussi la seule qui soit habituellement donnée dans les lrait>''S, c'est la suivante : Considérons une annuité perpétuelle de l S par an ; on demande de trouver la valeur-capital. Il ressort évidemment de ce qui précède, que le premier payement, 1 S, étant dû à la fin d'une année, a une valeur escomptée au temps
actuel de^ ;; le second a une valeur actuelle de^i t^,; le Iroi-
sième, d .-j — ;- — r—-, et ainsi indéfiniment. C'est pourquoi la va-
leur présente de la série entière sera :
Si, par brièveté, nous remplaçons , par [v, celte formule
briè
peut s'écrire :
