V -h v^ -h v^ -h ad inf

ou v{\ -^ V- -\- ad inf.)

Puisqu'il est évident que la série converge, la parenthèse est ^jj.^le à — — ce qu'il est facile de voir rien qu'en divisant 1

par 1 — V.

D"où il résulte que la valeur di' l'annuité est »L \y ce qui

id réduit à -. si nous remplaçons v par sa va'eur orrginaie ^ ^ ^. .

Celte somme, - dollars, esl donc la valeur capital d'une unilé de

1 $. Toute proportion gardée, la valeur-capital de toute autre an-

nuite a est -.

(Chap. XIII, § 3)

Formules et Diagrammes po^cr la valeur- cftfi lai d'annuités payables an?wellei7ietU, setni-annueUem,ent , Irimestriellement , cTune manière continue.

Dans le sens où l'annuité vient s'ajouter semi-annuellemeni, les dents seront plus minces, mais deux fois plus nombreuses. Dans la figure 34, nous v^oyons comment se comporte l'annuité capitalisée, si l'annuité est payable annuellement, semi-annuellement ou trimestriellement. Si l'annuité esl de 4 $ par an, les dents descendront à 4 $ si l'annuité est payable annuellement; à

2 S, si elle est paya-

J4 ble semi-annuelle- 4 ment et à 1 $, jm" elle est payable par trimestre. Si la fréquence du payement est in défi nitnent augmentée, nous arriverons au cas limite d'un revenu continu, lorsque les dents disparaîtront entièrement et que la valeur de l'annuité restera à un niveau constant. Dans ce cas, la valeur de l'annuité de 4 $, aussitôt après qu'un terme de revenu est perçu, sera de 100 $ si le taux d'inlérél est 4 " ^ pourvu que le taux soit respectivement « calculé annuellement», semi-annuellement et trimestriellement dans ces divers cas. Lorsqu'il s'agit de revenu continu, la valeur de l'annuité de 4 $ sera

^^u-nj

'diements trimestriels Fig. 34

toujours 100 s si le laux d'inténU est à 4 "/g, calculé « d'une manière conlinue ». Bien entendu, la même remarque s'applique à une annuité d'un nombre quelconque do dollars. Sa valeur après chaque terme est égaie au revenu annuel divisé par le taux d'intérêt, ou au revenu annuel multiplié par la période d'achat.

Afin d'obtenir les formules pour la valeur d'une rente perpétuelle payable semi-annuellement, trimestriellement ou d'une manière continue, en termes de i, le taux d'intérêt étant calculé

annuellement, il nous suffit de transformer ^, ^, ^ au moyen

des équations contenues au chapitre précédent. C'est ainsi que la valeur d'une annuité de a dollars per a7iman payable semiannuellement est -,, qui, en remplaçant i' par sa valeur telle qu'on

la déduit du rapport entre i et i' , à savoir 1 + ^■ = M + - j ,

ou i' = , devient -.De même, l'an-

nuilé trimesirieile devient — - — , et l'annuité conti-

nue, puisque 1 -+- ï =p e'"' ou o = log. 1 — i) devient

0 log. (1 + {}'

Dans chaque cas, la valeur qui [irécède immédiatement un

terme depayeuient se trouve en ajoutant ce payement aux résultats qui en découlent ; et la valeur aux points intermédiaires, en appliquant la courbe d'escompte, c'est-à-dire en divisant la valeur imminente {impejidùig value) (juste avant le prochain payement) par ; 1 H- i)', où t représente le temps qui sépare le moment préfenl de l'époque du prochain payement.

(Chai>. xin, .^ 3)

Diagrammes pour reveiiu disco7itinu et pour reve?iu continu

Si les payements de revenu se produisent annuellement et sont

Fif?. 35

chacun de 4 $, ces payements seront représentés par a, a, a dans la figure 35. S'ils se produisent semi-annuel lement, comme payements de 2 $ chacun, ils seront représentés par 5, b, h. S'ils se présentent trimestriellement, comme payements de 1 $ chacun, ils seront représentés par c, c, c, et ainsi de suite indéfiniment, dans chaque cas les lignes devenant plus courtes mais plus nombreuses. Si cette marche se poursuit indéfiniment, il est clair que

lereveuu continu sera simplement représenté par un nombre infini de lignes infinitésimales — représontalion qui serait inintelligible. C'est pour celle raison qu'il devient nécessaire d'appliquer la méthode des aires. Pour montrer de quelle manière on peut s'en servir, même pour le revenu continu, supposons qu'une série de payements annuels, a, soit représentée dans la figure 36 par des reciangles dont les bases sont égales à l'unité et dont, par corsrquent, les hauteurs sont égales à a. Le moment précis auquel eA rapporté chaque rectangle, est regardé, pour la commodité, comme la fin de chaque an née pendant laquelle il se produit.

Ainsi le rectangle OV serapporteau moment précis P et PW à Q.

Si les payements sont semi-annuels, nous les représenterons par les aires des rectangles OT, YV, etc. de la même manière. Mais comme les rectangles sont chacun égau.x à un demi, les hauteurs ne représenteront plus les payements individuels, mais le double de ces payements semi-annuels, c'est-à-dire le Imix per annum. Ainsi, si l'annuité est de 4 $ j^er a;z;2?<m payables annuellement, le rectangle OT vaut 2 S, sa ba>e est un demi.

Fio. 36

«l sa Iiauleur YT, sera non i)as 2, mais 4, taux per annum.

De même, les payements Irimestriels sont représenlés par des rectangles OS, XT, YU, etc. dont les hauteurs représenteront encore le taux per anninn de chaque payement trimestriel.

Enfin, pour les payements continus nous aurons un nombre infini de rectangles infinitésimaux, dont l'ensemble formera la totalité de la figure que nous avons tracée, et dont la hauteur à un point quelconque sera le laux: per annum auquel le revenu afflue à ce même point.

En établissant des limites, nous pouvons passer d'un revenu qui afflue à un taux uniforme à n'importe quel courant de revenu. Il est do- c évidenlque toulcourant de revenu continu peut être représenté par une courbe {flg. 37) dont l'ordonnée représente le taux per anrnim d'afflux à un moment précis quelconque, et

l'aire EC entre deux or-

Fig. 37

données quelconque BE et CF représente le revenu total qui afflue pendant le temps compris entre ces ordonnées.

Lorsqu'il s'agit d'un afflux uniforme, le courant de revenu continu est re-

^Q présenté dans la figure 38

-i — par l'aire OB. OA représente le tauc de revenu, et OC représente la valeur-capital, comme nous l'avons montré par la ligne horizontale CD, et le laux d'intérêt (calculé d'une OA

Fitr. 38

inanière continue^ est