PROPAGATION BE L’ÉLECTRICITÉ DANS L’ÉTAT PERMANENT
Nous prendrons d’abord le cas des corps assez bons conducteurs et d’épaisseur assez petite pour que l’on puisse négliger la perte de l’électricité par la surface ; ce cas comprend celui des fils télégraphiques. Nous aurons alors
Ii = o. l)e plus, nous supposons que l’état est permanent, c’est-à-dire que la tranche moyenne (x) transmet à la tranche (x -+- a) autant d’électricité qu’elle
enreçoit de la tranche (x — «) : l’accroissement ^ dt d’électricitédansletemps
dl
dt est nul, et l’équation fondamentale se réduit à :
dx-
Mais ici se présente une difficulté qu’il faut résoudre tout d’abord, comme l’a fait Kirchhoff, et qui pendant longtemps a fait rejeter la théorie de Ohm. Puisque nous sommes en présence d’un corps bon conducteur, il faut bien admettre que l’électricité libre se trouve à la surface du conducteur et non dans l’intérieur de celui-ci. Les expériences de M. Gaugain ne laissent pas de doute à ce sujet, et c’est là une objection très-sérieuse que soulève l’hypothèse qui est le point de départ de la théorie de Ohm. Heureusement elle ne crée pas une difficulté insurmontable, car Kirchhoff a montré qu’il était possible de concilier les lois de Ohm avec les principes de l’électricité statique.
Considérons deux conducteurs de nature différente mis en contact; parexemple, un morceau de cuivre et un morceau de zinc. Par suite du contact, il y a séparation des fluides électriques, le zinc se chargeant de fluide positif et le cuivre de fluide négatif. Des quantités égales de ces deux fluides demeurent accumulées sur la surface de contact, de façon que leurs actions sur un point extérieur se détruisent; le reste se distribue à la surface. Pour l’équilibre, il est nécessaire et suffisant que la résultante des actions des fluides libres sur un point quelconque de l’intérieur des conducteurs soit nulle.
Si l’on suppose un système chargé d'électricité, dont la densité p varie d’un point à un autre, et si l’on considère une molécule électrique (a, /3, y ) ayant une charge électrique p, les composantes de l’action du système sur cette molécule seront, en tenant compte des lois de Coulomb :
V étant la fonction potentielle. Les propriétés de cette fonction sont les suivantes :
Si le point p ne fait pas partie du système électrisé, on a :
dtd
. . tPV
+ ctp + df
S’il fait partie du système, on peut le comprendre dans une sphère de rayon infiniment plus petit et de densité constante, et l’on a :
( - ) --- 17 %*dp + 1/ ~ ~ hbip '
Or, la condition pour qu’un corps bon conducteur demeure dans un état électrique permanent est, d’après Poisson, que la résultante des forces qui agissent sur un point quelconque pris à l’intérieur soit égale à zéro, de sorte que l’on a pour un point intérieur :
dV
tfV
dp
dV
dy
c'est-à-dire que la fonction potentielle conserve une valeur constante dans toute l’étendue du corps. Si l’on différentie une seconde fois ces dernières équations et qu’on les ajoute, on retombe sur la relation (1). Or cette relation n’a lieu que si le point y. ne fait pas partie du système chargé d’électricité. Donc il ne peut exister d’électricité libre en aucun point de l’intérieur du corps ; car, s’il y en avait, la relation (2) aurait lieu. L’électricité libre ne peut donc exister que dans la couche d’air qui enveloppe le corps et non sur le conducteur.
C’est là, comme nous l’avons déjà dit plus haut, l’objection que soulève l’hypothèse de Ohm, qui suppose que le mouvement des fluides a lieu dans l’intérieur du conducteur.
Voyons donc avec Kirchhoff comment on peut interpréter les courants dans les conducteurs. Si nous considérons toujours le cuivre et le zinc en contact, nous venons de voir que, dans l’état d’équilibre, la fonction potentielle est constante pour l’un comme pour l’autre. De plus, elle doit changer de valeur quand on passe d’un conducteur à l’autre, sans quoi, comme on peut le reconnaître facilement, il n’existerait pas d’électricité libre. Soient donc V t , V 2 les fonctions potentielles pour les deux conducteurs, et posons V t — V, = V, „ en désignant par V,, une constante donnée. Si l’on dispose un nombre quelconque de conducteurs en série, sans faire toucher les deux conducteurs extrêmes, l’équilibre sera toujours possible et les équations suivantes seront satisfaites.
V n i — V„ = Vn-i.n
Mais si l’on met en contact les deux conducteurs extrêmes, il faut remplacer l’équation V, = A par V n — V, = V n>1 , et l’équilibre ne sera possible que si l’on a, entre les constantes V,, , V,, „... la relation :
Cette condition sera satisfaite si tous les métaux sont à la même température ; sinon, dans chacun des conducteurs la fonction potentielle de l’électricité cessera d’être constante, et il y aura mouvement. On peut conclure ainsi, d’après Kirchhoff, le mouvement de l’électricité dans les conducteurs.
L’électricité libre agit sur l’électricité dissimulée (±) des conducteurs conformément aux lois de Coulomb. Soit R la résultante de ces actions sur une molécule (±); dans un temps infiniment petit dt, par la surface « normale à la direction de cette force, il passera des quantités égales de fluides de nature contraire qui marchent en sens opposé et qui sont proportionnelles à la force R, à la surface w et au temps dt ; on pourra donc les exprimer par : kRudt,
h étant un coefficient physique qui dépend de la nature des conducteurs. Si la résultante est une force qui varie en raison inverse du carré de la distance, que l’on nomme V la fonction potentielle et qu’on désigne par N la normale à l’élément <u, on aura :
par conséquent le flux d’électricité pendant un temps infiniment court sera représenté par :
Si le flux est constant, comme cela a lieu dans l’état permanent, cette expression sera indépendante du temps et l’on aura :
d'où
en supposant toujours la section du conducteur constante.
Or, cette relation coïncide avec celle que l’on déduisait des théories de Ohm :
Si l’on convient de regarder la tension comme n’étant autre chose que la fonction potentielle, tous les résultats auxquels Ohm et, plus tard, Kirchhoff et Smaasen sont arrivés en partant des mêmes hypothèses, se trouvent désormais en accord parfait avec les principes connus de l’électricité statique, et notamment avec les lois de Coulomb. Toute difficulté est levée par une nou-
velle définition de la tension, c’est-à-dire que tout se réduit à une question de mots.
Dans la suite de cette étude, nous emploierons donc indifféremment la tension n ou la fonction potentielle V dans nos formules, suivant la commodité des démonstrations.
