DE L’INTENSITÉ DU COURANT DANS UN CONDUCTEUR LINÉAIRE

L’équation différentielle du mouvement électrique dans l’état permanent étant, d’après Ohm, dans un conducteur linéaire de section constante :

on en déduit :

et cette équation nous dit que l’intensité du courant est constante. En effet, Y intensité du courant n’est autre chose que la quantité d’électricité qui passe dans l’unité de temps à travers la section du conducteur, et il est facile d’en donner l’expression théorique. Si l’on prend de part et d’autre d’une section du conducteur deux molécules m, m\ dont les tensions sont u, u\ on aura, en désignant par ax la différence de leurs abscisses :

~ u + Tt Ax + 7TY^ Ax Ÿ'

Or le dernier terme s’annule en vertu de (1) ; on aura donc simplement :

du .

Maintenant, dans l’hypothèse de Ohm, la quantité d’électricité qui va de m à m' est proportionnelle à la différence des tensions u — u', et en raison inverse de la distance à des deux molécules, elle est donc proportionnelle

à — — or \x étant la projection de â sur l’axe des x, le rapport ^

représente une constante qui dépend de la situation relative des points m , m', et si l’on fait la somme des quantités d’électricité qui, dans un temps trèscourt, passent d’une molécule quelconque à une autre située du côté opposé de la section &>, on trouve une expression de la forme :

C’est l’expression de l’intensité i du courant, et l’équation (2) nous apprend

qu’elle est égale à une constante, c’est-à-dire que l’intensité du courant est la même dans tous les points de circuit.

La loi de la distribution des tensions se déduit facilement de ce qui précède. En effet, l’intégration de l’équation différentielle (3) donne immédiatement :

ou bien :

u = — ~ i A- const.

u — m -(- nx

en désignant par m, n, deux constantes. On voit que la courbe des tensions est une ligne droite, et que m représente la tension n 0 qui existe à l’origine des coordonnées (x = 0). La tension augmente en raison directe de la longueur x.

Si l’on pose -j— = ?, ? étant la résistance dit fil de longueur x, il vient : u — — h + a 0 ,

et comme d’ailleurs l’intensité d’un courant, d’après les lois expérimentales

de Pouillet, est égale à —, A étant la force électromotrice et L la longueur totale du circuit, on a:

Si l’on suppose que le point à partir duquel on commence à compter la longueur du fil communique avec le sol, on a n 0 = 0, d’où :

de sorte que les tensions croissent en progression arithmétique dont la raison est la résistance de l’unité de longueur du fil. Cette loi a été complètement vérifiée par Kohlrausch.

L’équation (4) s'écrira dans la théorie de Kirchhoff:

et l’intensité du courant peut se représenter par la formule ;

V, V 0 étant les valeurs du potentiel aux deux extrémités du fil de résista ico ?..

circuits complexes. — Considérons un circuit hétérogène formé de deux fils, AB C (k, «a, X) et A D C (k\ ri, X), dont les extrémités sont réunies en A et en B. Supposons qu’il n’y ait de force électromotrice qu’en A. Dans le premier fil A C B, on a :

du

dx

le courant étant supposé se propager de A vers B, et la distance x étant comptée à partir de A. Dans le second fil B D A, on a de même :

Si l’on considère une tranche infiniment petite B, on voit qu’elle reçoit du fil A CB dans le temps dt la quantité d’électricité :

- ku dt = C dt ; dx

elle envoie dans le même temps au fil BD A la quantité :

AV ~ dt z= C 'dt.

La distribution étant uniforme de part et d’autre de B, on a C dl = C 'dt, d’où C = C'.

D’un autre côté, dans le premier fil A CB, on a la relation u = m -+- nx, qui donne pour la tension en B... « = m h- ni en faisant AB = l. Il s’ensuit que la tension près de A sur le fil B D A est m -+- ni -+- ri ï en prenant B A = Or la différence des tensions de part et d’autre de A représente la force électromotrice a qui existe en A, on a donc par hypothèse :

m — (m + ni -f riï) = a,

ou bien :

(!) - {ni + n’V) = a.

Dans le premier fil, on a — = n; dans le second ~ = ri ; il s’en- L dx dx

suit que les intensités dans les deux fils sont — kuii, — k'(riri ) et puisqu’elles sont égales (C = C'), on a :

et en vertu de la relation (1)

— it¬

ou bien en désignant par /., X les résistances des deux fils :