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Considérons encore un circuit formé de trois fils. Soient AB (ha), BC(Æ'm'), CA (k"a") les trois conducteurs de longueur l, ï, 1". S’il y a aux sommets A, B, C, des forces électromotrices et si l’on admet qu’elles sont respectivement égales aux différences constantes a, a', a" des tensions de deux molécules situées de part et d’autre de chaque sommet, on aura, quand l’état du circuit sera devenu permanent :

dx

„ du"

ïFx

Dans chacun des fils, la distribution des tensions satisfait à la relation u = m h- nx, de sorte que, à l’extrémité B du fil AB, la tension sera m 4 - ni ; au commencement du fil B/ elle sera a 4- m 4 - ni, et à l’extrémité C du même fil a -t- m 4- ni 4- ni' ; de même à l’extrémité A du fil CA elle sera :

ÿ ^ f « f si -t- 4/' -f- u"l'', et au commencement du fil A :

a +. a' + a" + m -f ni -j— n'I' + n"l" Cette quantité devant être égale à m, il vient :.

n + «' + a" + ni + n't -f n"l" = 0.

Et comme, en vertu de (3), nous avons :

A*» = k'win' — U'J'n" = — J,

on trouve finalement :

ou bien, en désignant par l, X, /" les résistances des trois fils :

En généralisant cette formule, on trouve, pour un circuit fermé que parcourt le même courant I :

points de concours. — Lorsque plusieurs fils se croisent en un même point P, il est clair que la quantité totale d’électricité qui part de ce point doit être égale à celle qui arrive au même point ; par conséquent, la somme des intensités des courants qui aboutissent à P doit être égale à la somme des intensités des courants qui parlent de P, quel que soit d’ailleurs le nombre des uns et des autres. Supposons, par exemple, qu’un seul courant I arrive en P et s’y divise en deux courants I„ I 2 , on aura:

Si donc on convient de prendre avec le signe positif les intensités des courants qui arrivent en P, et avec le signe négatif celles des couranls qui partent de P, on aura, pour le point de concours :

Ce théorème de Kirchhoff est complété par le suivant, qui est relatif aux courants fermés.

Figures fermées. — Lorsque plusieurs fils de longueur /,, /,, dont les résistances sont).,, ).,, ).„..., et dans lesquels passent les courants I„ I„, I 3 ..., constituent un circuit fermé (qui peut faire partie d’un système plus compliqué), on a toujours :

en désignant par A„ A„..., les forces électromotrices qui peuvent exister en divers points du circuit en question.

Pour démontrer ce théorème, il suffit de remarquer que les tensions <>, 11 %, qui existent aux deux extrémités de chaque fil ). m satisfont à la relation :

ti« - «£! = l m A m

et que les différences des tensions de part et d’autre des points de jonction sont égales aux forces électromotrices, d’où :

«2? + i - al? = a*.

En ajoutant ces équations, on trouve :

Vi.> =

Il faut ici prendre 'avec le signe positif les forces et les intensités des courants qui marchent dans le sens où l’on compte les points 1, 2, 3..., et avec le signe négatif les courants qui marchent en sens contraire.

courants dérivés. — Les deux formules que nous venons d’établir :

y I = 0 . pour les points de concours,

Vu, — ^A..., pour les circuits fermés,

permettent de résoudre très-simplement beaucoup de problème s qui se présentent dans l’étude des courants des piles, et en particulier les problèmes •relatifs aux courants dérivés.

Ouvrons le circuit d’une pile, dont la résistance est X et la force électromotrice A, et mettons les extrémités libres des fils X en communication avec les extrémités respectives de n fils dont les résistances sont X,, X„... X n ; nous aurons n courants dérivés dont les intensités seront I„ I s ,... I n . Pour chacun des deux points de jonction des n fils dérivés avec le fil principal, la formule V I — O donne (en attribuant le signe négatif à l’intensité I du courant principal) :

(1)... I = h + h + ... + In.

Pour chacun des circuits fermés que forme le fil principal avec l’un quelconque des fils dérivés, la seconde formule donne :