CHAPITRE IV
Application des méthodes précédentes à quelques
exemples.
lô. Je prendrai pour premier exemple l'équation que Newton
a résolue par sa méthode , savoir:
Je commence par chercher par les formules du n°. 8 l'équation en h qui résulte de cette équation ; je fais donc m = 3, A = o ,
B=— a, C =5 j j'aurai n = -^- = 3,A, =o, A 4 = 4, A,= j5,
A 4 =8,A î «=5o,A«=9Mdonca l =i9,a > =7a,« î =— M97» et de-là a = ia , b = 36 , c = — 6*3 } de sorte que l'équation cherchée sera
„' ia «» + 36 v + 643 = o.
Comme celte équation n'a pas les signes alternativement positifs et négatifs, j'en conclus sur-le-champ que l'équation proposée a nécessairement deux racines imaginaires , et par conséquent une seule réelle ( n°. 16 ).
Ainsi les nombres à substituer à la place de x seront les nombres naturels o, 1 , a , 3, &c. ( n\ 6 )
Je suppose d'abord x positif, et je cherche la limite des valeurs
de * par les méthodes du n°. 12 , je trouve y/ a + y/ 5 < 3 ; ainsi 3 sera la limite cherchée en nombres entiers j de sorte qu'il suffira de faire successivement * = 0, 1 , a , 3; ce qui donnera ces résultats : - 5 , - 6 , — i , 16} d'où l'on voit que la racine réelle de l'équation proposée sera entre les nombres a et 3} et qu'ainsi a sera la valeur entière la plus approchée de cette racine
Je fais maintenant, suivant la méthode du chapitre III,
* = i + - , j'ai , en substituant et ordonnant les termes par
rapport à j, l'équation
y^ — 10 y* — 6 y — î — o dans laquelle j'ai changé les signes pour rendre le premier terme positif.
Cette équation aura donc nécessairement une seule racine plus grande que l'unité ( n°. 19) j de sorte que , pour en trouver la valeur approchée , il n'y aura qu'à substituer les nombres 0,1,2,3, &c. jusqu'à ce que l'on trouve deux substitutions consécutives qui donnent des résultats de signe contraire.
Pour ne pas faire beaucoup de substitutionsinutiles, je remarque qu'en faisant y = o, j'ai un résultat négatif, et qu'en faisant y =■ 10, le résultat est encore négatif} je commence donc par le nombre 1 o , et je fais successivement^ =10, 1 1 , &c. je trouve d'abord les résultats — 61 , 54 , &c. d'où je conclus que la valeur approchée de y est 10 } donc q =■ 10.
Je fais àoncy = 10 + -, j'aurai l'équation
et supposant successivement z = 1,2, &c. j'aurai les résultats — 5-4 , 71, &x. donc r = 1 .
Je fais encore.* = 1 + - , j'aurai
54 u s + 75 u* — 89 u — 61 = oj et supposant u = 1 , a , &c. j'aurai les résultats — 71 , 295, &c. donc s = 1 , et ainsi de suite.
En continuant de cette manière , on trouvera les nombres 2,10,1,1,2,1,3,1,1,12, &c. de sorte que la racine cherchée sera exprimée par cette fraction continue
d'où l'on lirera les fractions ( n°. a3 )
a y. iî 44 111 iSS 576 7-Si 1V7 s- c 1, io-, il) 21) a5 , 74, 273» 3.9» Cj* , 7637
lesquelles seront alternativement plus petites et plus grandes que la valeur de x.
La dernière fraction ^— — estpîusgrandequelaracinecherchéei
mais l'erreur sera moindre que (n°. a3, 2 0 . ) c'est-à-
di$e moindre que 0,00000001 63 j donc , si on réduit la fraction ViVf en fraction décimale , elle sera exacte jusqu'à la septième décimale : or , en faisant la division , on trouve 2,oo,455i48(55. . . ainsi la racine cherchée sera entre les nombres 2,og455i<fg et 2,o()i55i47.
Newton a trouvé par sa méthode la fraction 2,oo455i47 ( Voyez sa Méthode des suites infinies ) ; d'où ^l'on voit que cette méthode donne dans ce cas un résultat fort exact : mais on auroit tort de se promettre toujours une pareille exactitude.
2,6. Quant aux deux antres racines de la même équation , nous avons déjà vu qu'elles doivent être imaginaires: néanmoins, si on vouloit en trouver la valeur, on le pourroit par la méthode du n°. 17.
Pour cela, on reprendra l'équation en v trouvée ci -dessus, et en y changeant u en — , on aura
- -f* 12 iv % — 36 u> — 645 = o,
et il ne s'agira plus que de chercher une racine réelle et positive de cette équation. Or, puisqu'elle à son dernier terme négatif, elle aura nécessairement une telle racine , dont on pourra trouver la valeur entière la plus approchée par la substitution successive des nombres naturels o , 1,2, ô , &c. (n°. 3). En effet, en faisant w = 6 , on aura le résultat — 211, et en faisant w = 7 , on aura -f 40 ; ainsi la valeur entière la plus approchée de la racine positive de cette équation sera G.
On fera donc maintenant w — 6 + - , et en substituant . ou
aura , après avoir changé les signes ,
211 — ai6 u* — 3o u — î =o.
Faisant successivement « = 0,1,1, &c. on aura les résultats — 1 , — 56, + 53 3 donc 1 sera la valeur entière approchée de u.
On fera donc u = 1 -f -, et l'on aura en substituant et
changeant les signes,
En faisant successivement x = 0, 1 , 2, &c. on trouvera des résultats négatifs jusqu'à la supposition de x — 7, qui donne 9218 pour résultatj de sorte que 6 sera la valeur entière approchée de x.
On fera donc x = 6 + - &c.
De cette manière , on approchera de plus en plus de la valeur de w , laquelle sera exprimée par cette fraction continue :
d'où l'on tire les fractions particulières
Connoissant ainsi w , on aura ( n°. 17 ) fi = — — j ainsi on connoîtra 0.
On substituera maintenant « + 0 •/ — 1 , à la place de x dans l'équation proposée} et faisant deux équations séparées des termes tout réels , et de -ceux qui sont affectés de y/ — 1 , on aura les deux équations
« 3 — (3 jB» + a) « — 5 = o
3 et» — £ s — 2 — O.
On cherchera le plus grand commun diviseur de ces deux équations , et on poussera seulement la division jusqu'à ce que
DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 3g l'on arrive à uu reste où * ne se trouve qu'à la première puis-
sance ( numéro cité ) $ ce reste sera * — 5 , lequel
étant fait = o , donnera
4 (a jB* + i )"
Ainsi on aura la valeur des deux racines imaginaires « + 0 / — 1 > et * — 0 y/ — î de l'équation proposée.
27. Prenons pour second exemple l'équation ,r 3 — 7 x + 7 = o.
On aura encore ici m = 3, et par conséquent n = 3 j ensuite A = o,B = — 7,C = — 7;d'oùA, = o,A, = i4,A, = — 21, A 4 = 98 , A, = — 245 , A, = 333 j et de-là , a, = 42 , a t = 882 , a, = 18669 , et enfin a = 4? , b = 44i , c = 49 5 de sorte que l'équation en u sera
Puisque les signes de cette équation sont alternatifs , c'est une marque que la proposée peut 8Voir toutes ses racines réelles (n°. 16) jet comme d'ailleurs cette équation n'est point divisible par v , il s'ensuit que l'équation en * n'aura point de racines égales (n°. i5).
On fera maintenant (n°. 1 1 ) v = - , et ordonnant l'équation
par rapport à y , on aura
y — 9 y' + tt y — il = °-
Le plus grand coefficient négatif étant 9 , on pourroit prendre l = 10 (n°. 12 ) i mais on peut trouver une limite plus proche , en cherchant le plus petit nombre entier qui rendra positives ce* trois quantités
et on trouvera que / = 9 satisfait à ces conditions ; de sorte qu'on aura i = 5 (n°. 11 ) , et par conséquent 4 a»j»
io DE LA RÉSOLUTION
On mettra donc (n°. i3, 2°. ) dans l'équation proposée - à la
place de x , ce qui la réduira à celle-ci :
ar 1 — fi3 jc + 189 = o dans laquelle il n'y aura plus qu'à substituer les nombres naturels o , 1', 2 , &c. à la place de x. Or, suivant la méthode du n°. i3 (5°,) , on trouve que la série des résultats ne contient que deux variations de signes , lesquelles répondent-à x = 4 , 5, 6; de sorte que lVquation proposée n'aura que deux racines positives , lesquelles tomberont , l'une entre les nombres y et y, et l'autre entre les nombres } et j; d'où l'on voit que la valeur entière la plus approchée de l'une et de l'autre sera 1 ( n°. 1 ).
Faisons maintenant x négatif pour avoir aussi les racines négatives (n°. 4 ) > et l'équation se changera en
* J — 7 x — 7 as o'j laquelle ayant son dernier terme négatif, aura sûrement une racine positive (n°. 3), et il est clair qu'elle n'en aura qu'une seule , puisque nous avons déjà trouvé les deux autres } ainsi on pourra d'abord trouver la valeur entière approchée de cette racine , en substituant à la place de x les nombres o , 1 , a , &c. jusqu'à ce que l'on rencontre deux substitutions qui donnent des . résultats de signe contraire (n°. S ): or, on trouve que ces substitutions sont x = 3 et x = 4 j de sorte que 3 sera la valeur entière la plus approchée de x dans l'équation précédente, et par conséquent de — x dans, la proposée.
Ayant ainsi trouvé que l'équation a trois racines réelles , deux positives et une négative, et ayant trouvé en même temps leurs valeurs entières approchées , on pourra approcher autant qu'on voudra de la vraie valeur de chacune d'elles par la méthode du chapitre III.
Considérons d'abord les racines positives , et faisons dans
l'équation x 3, — 7*4-7=0,*=! + -, elle de viendra celle-ci:
laquelle, à cause que 1 est la valeur approchée de deux racines, aura
nécessairement
nécessairement ( n°. 1 g , 2°. ) deux racines plus grandes que l'unité.
J'essaie d'abord si je peux trouver les valeurs approchées de ces deux racines par la substitution des nombres entiers o, 1 , a , & c. et comme il n'y a que le terme 4y* de négatif, il suffira (n°. i3, i 0 .)' de pousser les substitutions jusqu'à ce que l'on ait y 3 = ou > 4j 9 j c'est-à-dire jusqu'à y = 4 ' or , en faisant ^=0,1, 2,3,4, j'ai les résultats î , î , — î, i, i3jd'où je conclus que les racines cherchées sont , l'une entre les nombres î et a , et l'autre entre les nombres i et 3 j de sorte que les valeurs approchées de .y seront î et a.
On fera donc, = i + * , etl'onauraz 3 — as* — z -f i =o
JE
équation qui n'aura plus qu'une racine réelle plus grande quel'unité ( n°. 19, 2 0 . ) j ainsi on supposera successivement z — 1 , 2 , &c. jusqu'à ce que l'on trouve deux substitutions consécutives qui donnent des résultats de signe contraire : or, on trouve que x = 2 donne — 1 , et x — 3 donne 7 } donc 2 sera la valeur entière approchée de x.
On fera donc x = 2 + - , et substituant , l'on aura , en chan-
géant les signes , w* + 3 «* — 4 u — 1=0.
On supposera de même u — 1,2, &c. et l'on trouvera que la
valeur entière approchée de u sera 1.
On fera u — 1 + — , et ainsi de suite.
tu
2 0 . On fera y — 2 + - , et substituant dans l'équation précédente, en y , on aura, après avoir changé les signes,
x* + x' — 2 z — 1=0 cette équation n'aura, comme la précédente en x , qu'une seule racine réelle plus grande que l'unité j de sorte qu'il n'y aura qu'à faire x = 1 , 2 , &c. ce qui donne les résultats — 1 , 5 j d'où l'on conclut que 1 est la valeur entière approchée de x.
On fera donc x = 1 + ^, et l'on aura , en changeant les signes , w 3 — 3 «• — 4 u — 1 = o
0 DE LA RÉSOLUTION, &c.
d'où l'on trouvera , de la même manière que ci-dessus , que la valeur entière approchée de u sera 4.
Ainsi on fera u = 4 H , et ainsi de suite.
Donc les deux racines positives de l'équation proposée seront
D'où l'on tirera , si l'on veut , des fractions convergentes , comme dans l'exemple précédent (n 0 \ 23 et 24 ).
Pour trouver maintenant la valeur approchée de la racine négative, on reprendra l'équation x* — 7 x — 7 = 0
danslaquelle on a déjà trouvé que la valeur entière approchée est 3 j
ainsi on fera x = 3 + - , ce qui donnera , en changeant les signes ,
y — 20 y — 9 y — 1 = o et comme cette équation ne peut avoir qu'une seule racine réelle plus grande que 1 ( n°. 19 , a°. ) , on en trouvera la valeur approchée en faisant^ =1,2, &c. jusqu'à ce que l'on rem ontre deux résultats consécutifs de signe contraire , ce qui arrivera lorsque y = 20, 21 ; de sorte que la valeur dont il s'agit sera 20.
On fera donc y = 20 + - &c.
De cette manière , la racine négative de l'équation proposée sera
