Maintenant , si on réduit les fractions continues

en fractions ordinaires , on aura en faisant * = /, , «'si

on aura , dis- je , celte suite de fractions particulières :

*" jF' "7* T 7 '

lesquelles seront nécessairement convergentes vers la vraie valeur de x , et dont la première sera plus petite que. cette valeur , la seconde sera plus grande , la troisième plus petite , et ainsi de suite; de sorte que la valeur cherchée se trouvera toujours entre deux fractions consécutives quelconques : c'est ce qu'il est aisé de déduire de la nature même de la fraction continue , d'où celles-ci sont tirées.

Or , il est facile de voir que les valeurs de « , 0 , y , &c. et *' | & , y , &c. sont toujours telles que # *' — « = i , g y' — y#= i,JV — yf = i, &c. d'où il s'ensuit ,

i°. Que ces fractions sont déjà réduites à leurs moindres termes j car si y et y' , par exemple , avoient un commun diviseur autre que l'unité , ilfaudroit, en vertu de l'équation — >/3'= i, que l'unité fût aussi divisible par ce même diviseur.

a 0 . Qu'on aura

$t y' ~~ t'y" F~V 888 yT* Kc *

* js y

de sorte que les fractions — , —, -y , &c. ne peuvent jamais

différer de la vraie valeur de x que d'une quantité respectivement

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. Si

moindre que -777» 77— 7 y -7-77» ^ sera f ac »' e de

* & fi y y à

juger de la quantité de l'approximation.

En général , puisque jB' >*',>'> fi' , &c. on aura

d'oùj l'on voit que l'erreur de chaque fraction sera toujours moindre que l'unité divisée par le carré du dénominateur de la même fraction.

5°. Que chaque fraction approchera de la valeur de x , nonseulement plus que ne fait aucune des fractions précédentes, mais aussi plus que ne pourroit faire aucune autre fraction quelconque qui auroit un moindre dénominateur. En effet, si la frac-

lion — , par exemple , approchoit plus que la fraction -7 , y étant > , il faudroit que la quantité — se trouvât entre ces

deux 7 et 7"> donc 7-7 <7~7 < 7ï> el>0 '

donc fi y — /x 7 < — ■ < 1 , et > o ; ce qui ne se peut.

2 4. Les fractions — , —, — &c. peuvent être appe-

tt ' (6 y

\èes fractions principales , parce qu'elles convergent le plus qu'il est possible vers la valeur cherchée j mais , quand les nombres p, q , r, &c. diffèrent de l'unité, on peut encore trouver d'autres fractions convergentes vers la même valeur, et qu'on appellera, si l'on veut, fractions secondaires.

Par exemple , si r est > 1 , on peut entre les fractions — et —

qui sont toutes deux moindres que la valeur de x , insérer autant de fractions secondaires qu'il y a d'unités dans r — 1 , on mettant successivement 1 , 2 , 3, &c. r — . 1 , au lieu de r. De

ïn DE LA RÉSOLUTION

celle manière , à cause de y = r ,3 + *, et y = r 0' + on aura celle suile de fractions

on trouvera 7 — — - , „ . , — de sorte que cette diffé-

*" 0' + *'' 2jS' + *" 3 0' + *' * r0' + *'

dontles deux extrêmes sont les deux ïtblqIxoxis principales — ^ —,

et dont les intermédiaires sont des fractions secondaires.

Or, si on prend la différence entre deux fractions consécutives

, .. 20 + * 30 + * quelconques de cette suite , comme entre , et ■— ; ,

rence sera toujours positive , et ira en diminuant d'une fraction

à l'autre j d'où il s'ensuit que , comme la dernière fraction — est

moindre que la vraie valeur de la fraction continue , les fractions dont il s'agit seront toutes plus petites que cette valeur, et seront en même temps convergentes vers cette même valeur.

On fera le même raisonnement par rapport à toutes les autres fractions principales j et si on ajoute à ces fractions les deux fractions 7 et dont la première est toujours plus petite, et dont la seconde est plus grande que toute quantité donnée , on pourra former deux séries de fractions convergentes vers la valeur cherchée , dont l'une contiendra toutes les fractions plus petites que cette valeur j et dont l'autre contiendra toutes les fractions plus grandes que la même valeur.

Fractions plus petites.

» » ïf

0' + *" 2/8' 4-*" 5/8' + V rl' + *'"%'/

FT7» ^T7' 3 r + >' &c ' /^ + y'-'Kï)

Fractions

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 33 Fractions plus grandes.

°> ^VT"!' 3 + i y + W

Quant à la nature de ces fractions , il est facile de prouver , comme nous l'avons fait par rapport aux fractions principales, i°. que chacune de ces fractions sera déjà réduite à ses moindres termes j d'où il s'énsuit que comme les numérateurs et les dénominateurs vont en augmentant, ces fractions se trouveront toujours exprimées par des termes plus grands à mesure qu'elles s'éloigneront du commencement de la série. a°. Que chaque fraction de la première série approchera de la valeur de x plu» qu'aucune autre fraction quelconque , qui seroit moindre que cette valeur, et qui auroit un dénominateur plus petit que celui de la même fraction ; et que , de même , chaque fraction de la seconde série approchera plus de la valeur de x que ne pourroit faire toute autre fraction qui seroit plus grande que cette valeur et qui auroit un dénominateur plus petit que celui de la même fraction.

En effet , s'il y avoit une fraction comme plus petite que la valeur de x , et en même temps plus approchante de cette valeur que la fraction —, , , par exemple , en supposant 3 /S' + *' > pt ,

fi

il faudroit ( à cause que la fraction -jp est plus grande que la

valeur dont il s'agit ) que la quantité y se trouvât entre les deux

411131111163 W+l Ct T quanute - — devroit

etrC < /S' 3/1' + «' < *'(3lB' + *') /r(3/3' + *') 5 donc il faudroit que ft ( 3 + «')—/*'( 3 /S + * ) fût

- < î j ce qui ne se peut.

Au reste , il peut arriver qu'une fraction d'une série n'approche pas si près qu'une autre de l'autre série , quoique conçue en termes moins simples j mais cela n'arrive jamais quand la fraction qui a le plus grand dénominateur est une fraction principale (n°.23).

DES EQUATIONS NUMÉRIQUES. 35