REMARQUE P R E M 1 E R E

Sur la manière de reconnaître quand toutes les racines d'une

équation sont réelles.

iR. J'ai donné dans le n°. 8 des formules générales pour déduire d'une équation quelconque , une autre équation dont les racines soient les carrés dts différences entre les racines de l'équation proposée. Or, si toutes les racines d'une équation sont réelles , il est évident que les carrés de leurs différences seront tous positifs j par conséquent, l'équation dont ces carrés seront les racines, et que nous appellerons dorénavant, pour abréger, équation des différences , cette équation, dis-je , n'ayant que des racines positives , aura nécessairement les signes de ses termes , alternativement positifs et négatifs ; de sorte que , si cette condition n'a pas lieu, ce sera une marque sûre que l'équation primitive a nécessairement des racines imaginaires.

29. De plus, comme on sait (voyez les Mémoires de l'Académie des sciences de Berlin pour l'année «746, et le premier volume des MUcellanea de Turin ) que les racines imaginaires vont toujours deux à deux, et qu'elles peuvent se mettre sous la forme » + f f/ — — %V — 1 , * et g étant des quantités réelles, il s'ensuit que la différence de deux ratiues imaginaires correspondantes sera nécessairement de la forme a j3 y/ — 1 3 de

sorte que le carré de cette différence sera — 4-** c'est-à-dire une quantité réelle et négative. Donc, si l'équation proposée a des ratines imaginaires , il faudra nécessairement que l'équation des différences ait au moins autant de racines réelles négatives qu'il y aura de couples -de racines imaginaires dans la proposée.

C'est ce que j'avois déjà remarque dans le chapitre II; mais voici une conséquence qui m'avoit. échappé alors, et qui peut être d'une grande utilité dans la recherche des racines imaginaires.

3o. Nous venons de voir que chaque couple de racines imaginaires de la proposée doit donner au moins une racine réelle négative dans l'équation des différences. Or , il est démontré ( voyez les Mémoires de l'Académie des sciences de Paris pour l'année 174^ ) qu'une équation quelconque ne sairroit avoir plus de racines positives qu'elle n'a de changemens de signes , ni plus de racines négatives qu'elle n'a de successions du même signe. Donc , le nombre des racines imaginaires dans une équation quelconque ne pourra jamais être plus grand que le double de celui des successions do signe dans l'équation des différences.

5 1 . De-là , et de ce que nous avons dit ci-dessus , il s'ensuit que si l'équation des différences a tous ses termes alternativement positifs et négatifs , l'équation primitive aura nécessairement toutes ses racines réelles, sinon elle aura nécessairement des racines imaginaires. Ainsi on pourra toujours juger , par cemoyen , s'il y a ou non des racines imaginaires dans une équation quelconque donnée.