REMARQUE IL

Où Von donne des règles pour déterminer dans certains cas le nombre des racines imaginaires des équations.

01. Soient a, b f c,d, &c. les racines réelles d'une équation quelconque , et « + 0 |/ — I , « — & y/ — i , > + i V — I » y — f \/ — i | &c. les racines imaginaires; les carrés des différences de ces racines seront

lesquels seront , par conséquent , les racines de l'équation des différences.

Soit m le degré de l'équation proposée , qui est égal au nombre des racines a , b , c , &c. u + 0 y/ — i , * — /S y/ — i, y + * |/ — 1 > > — * V' — 1 ce î u ^ de l'équation des différences sera t 1LLHL il — n ( n ° t 8 ) : soit p le nombre des

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 47 racines réelles a , b , c, &c. et 2 q celui des racines imaginaires — 1,* — & \/ — i,> + JV — — * V — 1 &c « en sorte que m = p + a y, il est facile Je voir par la table précédente que , parmi les n racines de l'équation des différences ,

il y en aura nécessairement — — de réelles et positives r

q de réelles et négatives , et 2 q (p + q — 1 ) d'imaginaires.

53. Qu'on fasse maintenant le produit de toutes ces racines r

et il est visible que le produit des P ^ P ^ * - racines positives

sera toujours positif, que celai des q racines négatives sera positif ou négatif, suivant que le nombre q sera pair ou impair,, qu'enfin le produit des iq{p + q — 1) racines imaginaires sera toujours positif; en elTet , ces dernières racines étant deux à deux de la forme ( A -H B y/ — i )' , (A — B \/ — 1 )' , leurs produits deux à deux seront de la forme (A* + B* )* , et par conséquent positifs : donc le produit de toutes ces racines ensemble sera toujours aussi positif.

Doncls produit total sera nécessairement positif ou négatif , suivant que q sera pair ou impair.

Mais le dernier terme d'une équation èst , comme l'on sait égal au produit de toutes ses racines avec le signe + ou — suivant que le nombre de ces racines ett pair ou impair.

Donc le dernier terme de l'équation des différences , dont le degré est n , sera nécessairement positif, si n et q sont tons deux pairs ou tous deux impairs , et négatif si l'un de ces nombres est pair et l'autre impair.