Or , si n et q sont tous deux pairs ou impairs , n — q

sera nécessairement impair , et si n et q sont , l'un pair , et

l'autre impair, n — q sera nécessairement impair j mais à

m ( m — 1 ) , cause de n = — , et de m = p + a q , on a

n — q — * — - + z </ \P + Ç — O) " e sorte q ue n — 9

sera toujours pair ou impair, suivant que ■ — le sera.

Donc le dernier terme de l'équation des difFérences sera nécessairement positif ou négatif, suivant que le nombre ** P ~

sera pair ou impair, c'est-à-dire suivant que le nombre des combinaisons des racines réelles de la proposée prises deux à deux sera pair ou impair.

55. Supposons, i°. que ce dernier terme soit positif, il fau-

P ip — 1 ) j P

dra , en ce cas , que — - soit pair ; donc ou = a x, et

p z= 4 ?, , ou = axet/> = 4* + 1 y d'où ^ s'ensuit que ,

dans ce cas, 1e nombre des racines réelles de la proposée sera nécessairement multiple de 4 si camombre est pair, c'est-à-dire si le degré de l'équation est pair, ou multiple de 4 p' us 1 si le degré de l'équation est impair. Ainsi il sera impossible que l'équation ait a , ou 3, ou 6, ou 7 , &c. racines réelles.

a°. Supposons que le dernier terme de l'équation des différences

soit négatif, il faudra alors que^-^^ — — soit impair, donc

P . P — 1 ou - = a a + 1 et /> = 4 * + a, ou - = a x + 1 ,

et p = 4 a + 3 j d'où il s'ensuit que , dans ce cas , le nombre

des racines réelles de la proposée sera nécessairement multiple

de 4 plus a si le degré de l'équation est pair , ou multiple de

4 plus 3 si ce degré est impair! De sorte qu'il sera impossible que

l'équation ait en ce cas 1 , ou 4 , ou 5 , ou 8 , ou 9 , &c. racines

réelles.

j6. Ainsi, par l'inspection seule des signes de l'équation

des

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 4g

des différences , on sera en état déjuger, i°. si toutes les racines de l'équation proposée sont réelles ou nonj a 0 , si le nombre des racines réelles est un de ceux-ci : 1,4,5, 8,9, 12 , i3, &c. ou bien s'il est un de ceux-ci :s, 3, 6, 7, 10,11, &c. ce qui suffira pour déterminer le nombre des racines réelles et des imaginaires dans les équations qui ne passent pas le cinquième degré , et dans toutes les équations où l'on saura d'avance que les racines imaginaires ne sauroient être plus de quatre.

Peut-être qn'en poussant plus loin celte théorie , on pourroit trouver des règles sûres pour déterminer le nombre des racines réelles dans les équations de degrés quelconques} les méthodes que l'on a proposées jusqu'à présent pour cet objet , étant ou insuffisantes , comme celles de Newton , Maclaurin , &c. ou impraticables , comme celles de Stirling et de De Gua , qui supposent la résolution des équations des degrés inférieurs.