XX , — X , K , + 1 = X ' T

mettons au lieu de x* dans le second membre de celte équation,

sa valeur x" -f- —31 et multipliant par x" , on aura

xx'x" = (k«v + i)x° + r = i" x" + r-,

on trouvera de même , en substituant dans le second membre de cette équation x'" -f ~^ * la P lace de

xx'x"x"' = r'x"' + i\

et ainsi de suite.

Pareillement l'équation x' = x" -f -3 donnera x'** = x"*" + 1=L 'v + I/ .

6o DE LA RÉSOLUTION

ensuite substituant dans le second membre a'" + -L à la place

de x" , et multipliant par x" , on aura

*' x" x"' = (a" L" + L' ) + L" = L'" + L", et ainsi de suite.

D'où il s'ensuit qu'on aura en général, quelle que soit la fraction continue , soit périodique ou non ,

xx'x"x'"...;.x* = i< *<+ J

Il faudra bien se souvenir qu'ici et dans les calculs suivans les exposans des quantités /, L, représentent des indices, et non des puissances.

48. Cela posé, supposons que l'on ait trouvé , par exemple , = , c'est-à-dire que la racine de la (p + r)*— transformée soit égale à celle de la transformée alors on aura aussi ^ + » + I = ^ +, ,*^ + , + * = a^ + '&c. 4/* + " = ^ &c.

et en général ^ + " + * = ar At + *j donc aussi ^ + ? + 1 = k> ^ + » + » x'* "fe • &c. et en général .^±" !±* = ^±*j de sorte que l'on aura

Maintenant si on suppose en général e = p + n t -f- », il est facile de voir que ies deux équations (B) du numéro précédent deviendront

= /< + /«"•, et

DES EQUATIONS NUMÉRIQUES. 61 Or, en faisant dans les mêmes équations t = f*, on a **'*"....*>*= F s? + J""'

De plus , à cause de

il est clair que si on fait

h ir z= + < h'" + h" H"^*"** H"'-f H"

on aura en général

Donc on aura

et , à cause de + T — *f ( hyp.)

+ ' ^ + ^...« /^ * , = H , ^ + H , + , . De sorte qu'en faisant ces substitutions dans les deux équations ci-dessus , on aura

(fs* + (H* ** + ,,r + H*-') (H 1 ** + H f -')»

= /<x" + * + /<-'} et

(L"*" + L>*-') (rT**** + H*"') (H'** + H T — 1 )* = L*x /t + ft + L<-\

Dans ces formules et dans les suivantes, les exposons des quantités a , h , H , dénotent aussi des indices.

£9* Or, les équations (D) étant divisées Tune par l'autre, donnent

Sa DE LA RÉSOLUTION

d'où l'on tire *" + r =

Donc , faisant «r = t, on aura x" + * = — ,.. ' T1T — - — , et

h — ffr .?

de-là H* *" + * + H» " ■ = hTn *~'~^u* ~ i mais i! est facile

A — H te

de voir par la nature des quantités h , h' , A" , &c. H , H', H ', &c. que l'on a

H7i — A'H-i, H"/i' — A"H' =— i , H'"A'" — /»'"H'== i &c. d'où Ton aura en général

le signe supérieur ayant lieu lorsque * est un nombre pair , et l'inférieur lorsque w est impair.

Donc , faisant ces substitutions dans les deux dernières équations du numéro précédent , on aura

=i= (rV+l*-») (H'*" + H'-')" =

b*s (far + LT-') (H'*'* + II" 'T =

(L«H*-'-Le- 1 H*)^ + L<-'/ 4 * — L«A*-';

les signes ambigus dépendant du nombre w, comme nous l'avons vu ci-dessus.

Maintenant , si dans l'équation (E) on fait <r = r, on aura,

à cause de ** = *"{hyp. ) *" = n^ + H'"' ' d '° Ù ^ tire l'équation en jr*

laquelle donne

Soit pour abréger

p - nr ■ h'

en sorte que l'on ait as P + y/ Q } substituant cette

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 65 valeur dans les deux dernières équations , on aura

=t ( p p + p~ 1 + r V Q ) ( H' p + h t - 1 + hv Q)*

= /CH'-' /<-« H») (P + v/QJ + ZC-'V— /«A*-' j

=b (L"P + 1/*-' + L*y/Q) (H'P + H'"' +HVQ)" = L«H T -' — L«-'H') (P+ y Q) + Lf-'A T — L«A.*-'j

d'où , à cause de l'ambiguïté du radical y/ Q , on tirera quatre équations , par lesquelles on pourra déterminer / c , " * , L<,L<-\

5o. En effet , supposons pour abréger

L" P + |/-' = F M H' P + ff- = les exposans de/, F , K, dénotant des indices} on trouvera ces quatre équations :

i« H T ^' — H* = + P y/Q) HVQ) '— y/Q) (K T — HVQ)*

L« H'-' — L«- l H T = (F* + LVQ) (K'+HVQ)"-(F*-- LVQ) (K'-HVQ)"

L ,. y LCy ., ^ ± CP+v/Q)(F^-LVQ)(K'-HVQ)*

(P-y/Q)(F *-L* y /Q)(K'-HVQr

Donc, si on ajoute la première multipliée par A T à la seconde multipliée par H* , et de même la troisième multipliée par h w à la quatrième multipliée par IL" , et qu'on fasse , pour abréger, — H* P + A* = G*

on aura, à cause de A* H*"' — H* h"~ l = db i (n°. 4q ), (f+/YQ) (G* + RWQ) (K' + H'y/Q)*

ay/Q

(f-lWQ) (G»-tTy/Q) (K'-H-y/Q)'

ç (F^-t-L^y/Q) (G- + H-y/Q) (K' + HVQ)' .

(F*-L*y/Q) (G'-H'y/Q) (K* — tT y/Q)'

f étant = /* + n r + t.

Ainsi, lorsqu'à l'aide des quantités a'", &c.

on aura calculé, par les formules (A) et (C), les quantités/, /',/", &c. L, L', L", &c. jusqu'à F et L/* , elles quantités A, A', A», &c. H, H', H", &c. jusqu'à A T et H', on pourra ,

par les formules précédentes, trouver les valeurs de l* et de L*,

c'est-à-dire les termes de la fraction jj , quel que soit l'exposant

du quantième e ; car pour cela il n'y aura qu'à retrancher /* de t , et diviser la différence par r , lo quotient sera le nombre n qui entre dans les formules précédentes comme exposant, et le reste sera le nombre qui sera par conséquent toujours moindre que r.

Quoique les formules précédentes renferment le radical y/ Q, il est facile de voir que ce radical s'en ira après le développement; de sorte que les nombres / c etL« seront toujours rationnels et entiers.

5l. Au reste, si on vouloit trouver en général l'équation du second degré, par laquelle peut être déterminée la racine x de l'équation proposée lorsqu'on a/ + ' = /, comme dans le n°. 48, il n'y auroit qu'à remarquer que les équations (B) du n°. 47 , étant divisées l'une par l'autre , donnent en général /« + fi " «

d'où l'on tire, en faisant t = f*, x 1 * = — ■= fji — ; donc,

substituant cette valeur de x* 1 dans l'équation (E) du n 9 . 4g , on

aura

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 65 aura celle-ci :

H'CL^-'x— /"-•)■ — (A'— IT-OCI/*"'* — if»)

c'est-à-dire

(irCL"- 1 )* + (/*' — H'"') 1/"' W — A*""' (L")»)*'~ (îH , L'—r-+(A , +H , -)(L' , -r+r- | L' , j— a/»—

et celte équation sera nécessairement un diviseur de l'équation proposée.