CHAPITRE PREMIER

Méthode pour trouver , dans une équation numérique quelconque , la valeur entière la plus approchée de chacune de ses racines réelles,

1 • Théorème i". S i l'on a une équation quelconque , et que l'on Irouve deux nombres tels qu'étant substitués successivement à la place de l'inconnue de cette équation , ils donnent des résultats de signe contraire , l'équalion aura nécessairement au moins une racine réelle dont la valeur sera entre ces deux nombres.

Ce théorème est connu depuis long-temps, et Ton a coutume de le démontrer par la théorie des ligues courbes ; mais on peut aussi le démontrer directement par la théorie des équations , en celte sorte : Soit x l'inconnue de l'équation , et « , fi , y , &.c. ses racines , l'équation se réduira , comme Ton sait , à cette forme

( X — * ) ( X — fi ) ( X — ? ) =: O. '

Or, soient p et q les nombres qui, substitués par x , donneront des résultats de signe contraire , il faudra donc qije ces deux quantités

soient de signes différens; par conséquent, il faudra qu'il y ait au moins deux facteurs correspondans, comme p — a et y — a, qui soient de signes contraires : donc il y aura au moins une des racines de l'équation , comme*, qui sera entre les nombres/? et q, c'est-à-dire plus petite que le plus grand de ces deux nombres, et plus grande que le plus petit d'entr'eux j donc cette racine sera nécessairement réelle.

1» Corollaire i. Donc, si les nombres p et q ne diff-renl l'un de l'autre que de l'unité , ou d'une quantité moindre que l'unité , le plus petit de ces nombres , s'il est entier , ou le nombre entier qui sera immédiatement moindre que le plus petit de ces deux nombres , s'il n'est pas entier , sera la valeur entière la plus approchée d'une des racines de l'équation. Si la différence entre p et q est plus grande que l'unité , alors nommant « , n i , n -f a , &c. les nombres entiers qui tombent entre p et q , il est clair que, si on substilue successivement à la place de l'inconnue les nombres p, n , n + i , n + s, &c. q , on trouvera nécessai- . rement deux substitutions consécutives qui donneront des résultats de signes differensj donc, puisque les nombres qui donneront ces deux résultats ne diffèrent enti'eux que de l'unité, on trouvera , comme ci-dessus , la valeur entière la plus approchée d'une des racines de l'équation.

3. Corollaire s. Toute équation dont le dernier terme est négatif, en supposant le premier positif, a nécessairement une racine réelle positive , dont on pourra trouver la valeur entière la plus approchée, en substituant à la placide l'inconnue lés nombres o, i , a , 3 , &c. jusqu'à ce que l'on rencontre deux substitutions qui donnent des résultats de signo contraire.

Car, en supposant le premier terme x n , et le dernier — H, ( II étant un nombre positif ) on aura , en faisant x = o , le résultat négatif — H , et en faisant x oo , le résultat positif oo'" ; donc on aura ici p — o, et q — oo ; donc les nombres entiers intermédiaires seront tous les nombres naturels l , 2*,' 'ô , &c. donc , &c. ( Coroll. pre'c. )

De-là on voit , i°. que toute équation d'un degré impair, dont le dernier terme est négatif, a nécessairement une racine réelle positive.

u°. Que toute équation d'un degré impair, dont le dernier terme est positif, a nécessairement une racine réelle négative ;

car , en changeant * en — x , le premier terme de l'équation deviendra négatif: donc, changeant tous les signes pour rendre de nouveau le premier terme positif, le dernier deviendra néga- • lif : donc l'équalion aura alors une racine réelle positive j par •conséquent , l'équation primitive aura une racine réelle négative.

'à°. Que toute équation d'un degré pair , dont le dernier terme est négatif, a nécessairement deux racines réelles, l'une positive et l'autre négative ; car , premièrement , elle aura une racine réelle positive*} ensuite , comme en changeant x en — x , le premier terme demeure positif, la transformée aura aussi une racine réelle positive : donc l'équation primitive en aura une réelle et négative.

4. Remarque. Comme on peut toujours changer les racines «égatives d'une équation quelconque en positives , en changeant seulement le signe de l'inconnue , nous ne considérerons dans la suite, pour plus de simplicité, que les racines positives ; ainsi , quand il s'agira d'examiner les racines d'une équation donnée, on considérera d'abord les racines positives de cette équation , ensuite on y changera les signes de tous les termes où l'inconnue se trouvera élevée à une puissance impaire , et on considérera de même les racines positives de cette nouvelle équation ; ces racines, prises en moins , seront les racines négatives de la proposée.

5, Théorème II. Si dans une équation quelconque qui a «ne ou plusieurs racines réelles et inégales , on substitue successivement â la' place de l'inconnue deux nombres , dont l'un soit plus grand et dont l'autre soit plus petit que l'une de ces racines, et qui diffèrent en même temps l'un de l'autre d'une quantité moindre que la différence entre cette racine et chacune des autres racines réelles de l'équation , ces deux substitutions donneront nécessairement deux résultats de signes contraires.

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 7 En effet , soit «une des racines réelles et inégales de l'équation ,. et .8, >, <T, &c. les autres racines quelconques ; soit de plus t la plus petite des différences entre la racine * et chacune des autres racines réelles de l'équation, il est clair qu'en prenant p > «, q < m , et p — q < t , les quantités p — <* , et q — a seront de signes contraires , et que les quantités p — j8 , p — y , &c. seront chacune de même signe que sa correspondante q — ç> , g — y , &c. car, si 77 — j3 , et q — j8 étoient de signes contraires, il faudroit que j8 fût aussi compris entre p et q , ce qui ne se peut. Donc les deux quantités

c'est-à-dire les résultats des substitutions de /> et y à la place

de l'inconnue * ( n°. 1 ) , seront nécessairement de signes

contraires.

6. Corollaire 1. Donc , si dans une équation quelconque on substitue successivement à la place de l'inconnue les nombres en progression arithmétique

les résultats correspondons formeront une suite , dans laquelle il y aura autant de variations de signes que l'équation proposé© aura de racines réelles positives et inégales, mais dont les différences ne seront pas moindres que la différence a de la progrf ssion. De sorte que si on prend a égale ou moindre que la plus petite des différences entre les différentes racines positives et inégales : de l'équation , la suite dont il s'agit aura nécessairement autant de variations de signe que l'équation contiendra de racines réelles positives et inégales.

Donc, si la différence a est en même temps égale ou moindre que l'unité , on trouvera aussi , par ce moyen , la valeur entière approchée de chacune des racines réelles positives et inégales de l'équation ( n°. 2 ).

Si l'équation ne peut avoir qu'une seule racine réelle et positive,

ou si elle en a plusieurs, mais dont les différences ne soient pas moindres que l'unité , il est clair qu'on pourra faire a = i , c'està-dire qu'on pourra prendre les nombres naturels o, i , 2, 3, &c. pour les substiLuer à la place de l'inconnue j mais , s'il y a dans l'équation des racines inégales dont les différences soient moindres que l'unité , alors il faudra prendre a moindre que l'unité , et telle qu'elle soit égale ou moindre que la plus petite des différences entre les racines dont il s'agit : ainsi la difficulté se réduit à trouver la valeur qu'on doit donner à a j en sorte qu'on soit assuré qu'elle ne surpasse pas la plus petite des différences entre les racines positives et inégales de l'équation proposée : c'est l'objet du problême suivant.

7« Corollaire 2. Toute équation qui n'a qu'un seul changement de signe, ne peut avoir qu'une seule racine réelle positive.

11 est d'abord clair que l'équation aura nécessairement une racine réelle positive , à cause que son dernier terme sera de signe différent du premier (n°. 3 ).

Or, soit (en supposant le premier terme positif, comme à l'ordinaire) X la somme de tous les termes positifs de l'équation , et Y la somme de tous les négatifs , en sorte que l'équation soit X — ■ Y = oj et puisqu'il n'y a , par l'hypothèse , qu'un seul changement de signe , il est clair que les puissances de l'inconnue x du pojynome X seront toujours plus hautes que celles du polynôme Y ; de sorte que si x' est la plus petite puissance de x dans Je polynôme X , et qu'on divise les deux polynômes X et Y par x' t

la quantité — ne contiendra que des puissances positives de x t

et la quantité — ne contiendra que des puissances négatives

de x ; d'où il s'ensuit que x croissant , la valeur de — devra

croître aussi , et x diminuant , — diminuera aussi , à moins

que

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 9 que le polynôme X ne contienne que le seul terme x' , auquel

cas — sera toujours une quantité constante ; au contraire ,

* croissant , la valeur de -7 diminuera nécessairement, et x di« Y

minuant , — ira en augmentant. Soit a la racine réelle et

positive de l'équation , on aura donc , lorsque * = a , X = Y 5 X Y

donc aussi — - = — : donc , en substituant au lieu de x des x x

nombres quelconques plus grands que a , on aura toujours X Y

— > — , et par conséquent X — Y égal à un nombre positif j

et en substituant au lieu de * des nombres moindres que a, on X Y

aura toujours — < — , et par conséquent X — Y égal à un x x

nombre négatif : donc il sera impossible que l'équation ait des racines réelles positives plus grandes ou plus petites que a.

O. Problème. Une équation quelconque étant donnée , trouver une autre équation dont les racines soient les différences entre les racines de l'équation donnée.

Soit donnée l'équation

x m — Ax m - > + Bx"-- Car"" 3 + &c. = o .... (B) on sait que x peut être indifféremment égal à une quelconque de ses racines : soit x' une autre racine quelconque de la même équation , en sorte que l'on ait aussi

x' m — Ax' m - 1 + Br'-'-Ci'-' + &c. =0, et soit u la différence entre les deux racines x et ar*, de manière que l'on ait x' = x + u; substituant cette valeur de x' dans la dernière équation , et ordonnant les termes par rapport à u , on aura une équation en u du même degré m , laquelle , en commençant par les derniers termes, sera de cette forme

X + Ytf+Za' + V» , + &c. + «- = o

,o DE LA RÉSOLUTION

les coefliciens X, Y, Z, &c. étant des fonctions de * telles que X—x m — A x n " +B.r"'' — Cx m ~ 3 + &c. Y i)Ar"-'+ ( m o)Bi"- s -&c.

Z x- » - ^T-'ii^l A + &c.

e'est-à-dire suivant la notation du calcul différentiel >

dx adr" a.ddar

Donc , puisque par l'équation donnée (B)onaX = o, Téquatioa précédente étant divisée par m, deviendra celle-ci :

Y + lu + Vu* +, &c. -f u'-' = o (C).

Cette équation, si on y substitue pour x une quelconque de» racines de l'équation ( B ) , aura pour racines les différences entre celte racine et toutes les autres de la même équation (B): donc, si on combine les équations (B) et (C) en éliminant x, on aura une équation en u, dont les racines seront les différences entre chacune des racines de l'équation (B) et toutes les autres racines de la même équation j ce sera l'équation cherchée. . Mais sans exécuter cette élimination , qui seroit souvent fort laborieuse , il suffira de considérer :

i°. Que «,.3,7, &c. étant les racines de l'équation en*, celles de l'équation en u seront « — fi , <* — y , &c. fi — s , 0 — 7 , &c. y — *, > — fi y &c. &c. d'où l'on voit que ces racines seront au nombre de m (m — r), et que de plus elles seront égales deux à deux, et de signes contraires; de sorte que l'équation en u manquera nécessairement de toutes les puissances impaires de i/.

Donc, en faisant ^ m — = n et u* — v , l'équation dont U

«'agit sera de cette forme :

v'-aw-' + Au'-' — ow— s + &c. = o (D).

a 0 . Que ( a — fi )% ( * — y )% ( fi — y )», & c . étant les différentes valeurs de v dans l'équation (D), le coefficient a sera égal à la somme de toutes ces valeurs , le coefficient b sera la somme

DES EQUATIONS NUMÉRIQUES. n

de tous leurs produits deux à deux, &c. Or, il est facile de voir que ( « — | )*+(* — y y + ( (i — y y + &c.

= (771—1) («' + 0* + / + &c.) — 2(<)8+*> + J3> + &c.)î mais on sait que a 0 + «y + j3> + &c.=B; et«* + j8' + >• + &c = A* — aB: donc on aura a = {m — i) (A* — a B) — aB, savoir : a — (m — i)A* — a mBjeton pourra , de la même manière , trouver la valeur des autres coefficiens b, c, &c Pour y parvenir plus facilement , supposons

A, = « 3 + fi + + &c &c.

et l'on aura , comme Ton sait , A, = A

A, = AA, — a B