REMARQUE IL
Où Von donne une manière très-simple de réduire en fractions continues les racines des équations du second degré.
5a. Considérons l'équation générale du second degré E'x* — a • x — E = o dans laquelle E, E' et • sont supposés des nombres entiers, tels que ** + E E' > o , pour que les racines soient réelles 5 cette équation étant résolue , donne
«+ y/Ç.'+EE') * — E' où le radical peut être pris positivement ou négativement. Supposons que la racine cherchée soit positive , et soit a' le
nombre entier , qui sera immédiatement plus petit que la valeur
de * , on fera donc x — a' 4- — j et substituant cette valeur '
dans l'équation proposée , on aura une équation transformée , dont l'inconnue sera x' : or , si après avoir fait la substitution , on multiplie toute l'équation par x'* , qu'ensuite on change le» signes , et qu'on suppose pour abréger
= k' E' — • E"= E + 2 « — E'x'% on aura la transformée E" x' 1 — 2 1' x' — E' = o ,
laquelle donnera x = — - : on cherchera
té
donc le nombre entier , qui sera immédiatement plus petit
que celte valeur de x' , et on fera x' = a." 4- , et ainsi de suite.
Maintenant je remarque que la quantité *'* + E' E", qui est sous le signe dans l'expression de x' > devient, en substituant les valeurs de t'etdeE", et étant ce qui se détruit, celle-ci »* + E'E , qui est la même que celle qui est sous le signe dans l'expression de X' t d'où il est facile de conclure que la quantité radicale sera toujours la même dans les expressions de x , x', **, &c.
Donc , si on suppose pour abréger
B = + E E', et qu'on fasse ( le signe < dénote qu'il faut prendre le nombre entier , qui est immédiatement moindre )
E" =E + a ix'— E' a", k" < 4 •*
E"'='E" + 2 — E"'*"", A fr < < ." r = *"'E"'— 1"'
DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 67 d'où x = a' + -i— 1
Quant au radical v/ B , il faudra toujours lui donner le môme signe qu'on lui a supposé dans la valeur de la racine cherchée x. On pent observer encore que , comme l'on a trouvé 1" + E' E" = + E E' = B, B —
on aura E'' = — — — , et de même
Ainsi on pourra , si on le juge plus commode , employer ces formules à la place de celles qu'on a données plus haut , pour avoir les valeurs de E", E'" , &c.
53. Maintenant je dis que la fraction continue qui exprime la valeur de x , sera toujours nécessairement périodique.
Pour pouvoir démontrer ce théorème, nous commencerons par démontrer en général que , quelle que soit l'équation proposée ^.on doit toujours nécessairement, arriver à des équations transformées , dont le premier et le dernier terme soient de signes difterens. En effet , nous avons vu dans le n°. 19 qu'on doit toujours nécessairement arriver à une équation transformée qui n'ait qu'une seule racine plus grande que l'unité , après quoi chacune des transformées suivantes n'aura aussi qu'une seule racine plus grande que l'unité ; soit donc
a ÙT + b u m ~' + c u m ~ % + &c. + k — o, une de ces transformées qui n'ont qu'une seule racine plus grande que l'unité, et soit 5 la valeur entière approchée de «,
on fera , pour avoir la transformée suivante , u = * H ce
Uf
qui , étant substitué , donnera cette transformée , dans laquelle il est aisé de voir que le premier terme sera
(a «"* + b J"-* + c sT-* + &c. + k)
