C8 DE LA RÉSOLUTION
et que le dernier sera a. Or , puisque la vraie valeur de u dans la transformée précédente tombe entre ces deux-ci : « = * et u — oo , entre lesquelles il ne se trouve aucune autre valeur de u ( hyp. ) , il s'ensuit qu'en faisant ces deux substitutions dans l'équation en u , on aura nécessairement des résultats de signe contraire j car il est facile de concevoir qu'il n'y aura , en ce cas , qu'un seul des facteurs de cette équation qui pourra changer de signe en passant d'une valeur de u à l'autre (n°. 5 ). Mais la supposition de u — oo donne le résultat a u m ( tous les autres termes devenant nuls vis-à-vis de celui-ci ) , lequel est de même signe que le coefficient a ; donc il faudra que la supposition de u = s donne un résultat de signe contraire à a,mais ce résultat est égal à ,
donc , puisque cette quantité est en même temps le coefficient du premier terme de l'équation transformée en w , dont le dernier terme est a , il s'ensuit que cette transformée aura nécessairement ses deux termes extrêmes du même signe.
Et on peut prouver de la même manière que cela aura lieu à plus forte raison dans toutes les transformées suivantes.
Cela posé, puisque l'équation proposée
donne les transformées ( n°. 5a )
E" *" — i t! x — E' = o E'" x" % — 3 t"x"— E"at o - &c.
il s'ensuit de ce que nous venons de ^montrer qu'on parviendra nécessairement à des transformées , comme + . ( x yy 2 f y x y £V — 0
dont les premiers et derniers termes seront de même figne5
de sorte que les nombres E>, E> +1 , E> + *, &c. seront tous de même signe. Or, on a (n°. 5a )
donc , puisque E>, E>+', E> + », &c. sont de même signe , les produits E> E> + ' , E>+ ' E> + *, &c. seront nécessairement positifs ; d'où il s'ensuit, i°. que l'on aura(i*)'<B,(»> +, ) m <B,&c. c'est - à- dire ( en faisant abstraction du signe ) «> < y/ B , i>+ ' < ^/ B, et ainsi de suite à l'infini j 2°. qne l'on aura aussi , à cause que les nombres E , E', E", &c. sont tous entiers , K* < B , E>+' < B, E> +i < B, et ainsi de suite. Donc, comme B est donné , il est clair qu'il n'y aura qu'un certain nombre de nombres entiers qui pourront être moindres que B et que y/ B ; de sorte que les nombres E* # E* + ' , E>+\ &c. i>, *> + ', & c . ne
pourront avoir qu'un certain nombre de valeurs différentes , et qu'ainsi dans Tune et l'autre de ces séries , si on les pousse à l'infini , il faudra nécessairement que les mêmes termes reviennent une infinité de fois j et , par la même raison , il faudra aussi qu'une même combinaison de termes correspondans dans les deux séries revienne une infinité de fois ; d'où il s'ensuit qu'on aura nécessairemant , par exemple ,
ou bien, en faisant y -f f = (*,
et
E M+1 = E**, donc , à cause de
B = (S y + E" E" + ' = (•*«")• + E* 4 *' E iU+ on aura aussi V*'* 1 = E'" 4 "'} mais on a
et *" + ' =
donc** + ' = donc la fraction continue sera nécessairement périodique (n?. 48).
54. En effet , on voit par les formules du n°. 5a que si 1 ! BT+' = ET , et f+* = S, on aura
on a
7 o DE LA RÉ SOLUTION
et ainsi de suite j de sorte qu'en général les termes des trois séries E , E' , E" , &c. i , •' , «" , &c. a' , a" , & c . qui auront pour exposant ^ + n r + v , seront les mêmes que les termes précédens , dont les exposans seront n + v , en prenant pour n un nombre quelconque entier positif.
Ainsi chacune de ces trois séries deviendra périodique , à commencer par les termes E' 1 , *** et a/**', et leurs périodes seront de v termes , après lesquels les mêmes termes reviendront dans le même ordre , à l'infini.
55» Nous venons de démontrer qu'en continuant la série des nombres E, E', E", &c. on doit nécessairement trouver des termes consécutifs qui soient de même signe , et qu'ensuite la série doit nécessairement devenir périodique : or , je dis que dès que , dans la même série , on sera parvenu à deux termes consécutifs, comme E> , E> + ' , de même signe, on sera assuré que l'un de ces deux termes sera déjà un des termes périodiques, lequel reparoîtra nécessairement dans chaque période.
En effet, comme E*, E v+ * , sont de même signe, il est clair que la transformée
( x*y — 2 i> x> — E> = o aura nécessairement une racine positive et l'autre négative j de sorte qu'elle n'en pourra avoir qu'une seule qui soit plus grande que l'unité j donc toutes les transformées suivantes auront nécessairement leurs termes extrêmes de signes diflerens (n°. 53) , par conséquent tous les nombres E*, E* + *, E***, &c. seront de même signe j de sorte que chacun d'eux sera moindre que B , et chacun des nombres , &c. sera moindre
que y/ B ( numéro cité ).
56. Or , comme on a B = (t>)* + E> E>+' , il est visible que les nombres E>, E* +1 seront ou tous les deux moindres
que y/ B , ou que si l'un est plus grand , l'aulre en sera nécessairement moindre j de sorte qu'il y en aura au moins toujours un qui sera moindre que y/B.
Supposons que ce soit E>, je vais prouver que les nombres E>, E> + ' , E* +â , &c. &c. seront tous nécessai-
rement de même signe que le radical y/ B. En effet , puisque les racines x' , x" , x'" , &.c. des équations transformées doivent être toutes plus grandes que l'unité par la nature de la fraction continue , on aura donc aussi x"> > 1 , x> + ' > 1 , et ainsi de suite} donc
— J7>+^ — > 1 » ÎTT^I > 1 > &c -
et comme
B = («»)' -t- E> E> +1 = (* >4 *')' + E> +1 + ' = &c. on aura
et ainsi des autres j donc aussi
Or , comme »> , i> 1 , &c. sont plus petits que y/ B , il est clair que quel que soit le signe de ces nombres i* + ' , &c. les dénominateurs v/B — i y , y/ B — t> + ', &c. seront nécessairement du même signe que y/ B j donc il faudra que les numérateurs E> , E > + ' , &c. soient aussi tous du même signe que y/ B.
Maintenant supposons pour plus de simplicité y/ B positif, en sorte que E*,E* + ', &c. doivent être aussi tous positifs; je dis que »>, + <> + ', &c. le seront aussi. Car, soit, s'il est possible , 1* = — s ( n étant un nombre positif) , comme E* < y/ B ( hy p.) , on aura à plus forte raison E*< y/ B -f » j
donc — — — — - , sera < 1 , au heu que celte
quantité doit être > 1 } donc « v doit être positif. Soit ensuite ,
•'il est possible , »> + ' = — »' , comme Ton a, par les formules
dun«.52, •> + ■ = \> + 'E> + ' — »>,on aura^'E**' = t*— •'$ donc , à cause que t* et «' sont des nombres positifs moindres que v/ B , et que est aussi un nombre entier positif, il est clair que E*"**' devra être moindre que y/ B i et dans ce cas on prouvera, comme ci- devant , que *> + 1 devra être positif, et ainsi de suite.
Si v/ B étoit pris négativement , on prouveroit de la même manière que t* , , &c. devroient être négatifs j et même, sans faire un nouveau calcul , il n'y aura qu'à remarquer que les formules du numéro cité demeurent les mêmes , en y changeant les signes de toutes les quantités E , E', E" , &c. • , t', f ", &c. et du radical {/ B j de sorte qu'on pourra toujours regarder ce radical comme positif, en prenant les quantités E, E', E', &c. « , f 7 , *", &c. avec des signes contraires,
5"j. Cela posé, je dis que si deux termes correspondans quelconques des suites E>, E"' + ' , E> + *, &c. »>, t> + « , t> + », &c. sont donnés , tous les précédens dans les mêmes suites seront nécessairement donnés aussi.
Supposons, par exemple, que E> + 3 et t> + 3 soient donnés ( on verra aisément que la démonstration est générale , quels que soient les termes donnés ) , et voyons quels doivent être les termes qui précèdent ceux-ci , en vertu des formules du n°. 52 , et des conditions du numéro précédent. On aura d'abord
donc f> + * = ** + s E** 3 — f> + 3 i
mais on doit avoir + * < \/ Bj donc il faudra que l'on ait
On aura de même
d'où , à cause de t* + • < j/ B , on tirera
mais
DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 7 3 mais il faut , par la nature de la fraction continue , que x> + • soit un nombre entier positif} donc il faudra que Ton ait
or on a aussi
— B — ( û+*y s (|/B + + ( v/B — + donc v/ B — + i < E> + 3 , savoir: en mettant pour t> + * sa valeur ci-dessus, y/ B = *> + 3 E> + 5 + »»+ s < E> +3 } d'où
Donc, puisque le nombre *> +î doit être entier, il est clair qu'il ne pourra être égal qu'au nombre entier , qui sera immédiatement j> + s t. i/ B
plus petit que ■ +3 j ainsi k> +i sera donné, et de-là î >+ *
le sera aussi ; et comme E> + » = E> + J — , il est clair
que E> + * sera aussi donné. Maintenant on aura
fT = E> + ' — +
et par conséquent , à cause de < y/ B ,
Donc, pour que soit entier positif, tel qu'il doit être , il faudra que t> + ' + y/ B > E*"*" 1 ; par conséquent, à cause deE> + ' E^ 4 = B — (^ v " , ■ , )^ il faudra que /B — <E> +t , ou bien , en mettant pour t y * 1 sa valeur ci-dessus , y/ B — + » E> + * + « > + * < E> +1 j
De sorte que le nothbre a> + * ne pourra être que le nombre entier , qui sera immédiatement plus petit que la quantité don- >■+■ s -4- i/ B
née \f~- — } donc ce nombre sera donné , et par-là les
nombres et E> + ' le seront aussi.
Enfin , puisque E> est (hyp. ) < y/ B , on aura à plus font
d'où l'on tire *v + * > i.
7f DE LA RÉSOLUTION
raison «> + V B > E> } et de-là , à cause de E> E> + ' = B — (»>)', on aura 1/ B — i> < E> , ou bien , en substituant pour O sa valeur trouvée ci-dessus ,
ce qui donne
Donc le nombre a> +1 ne pourra être que le nombre entier , qui est
immédiatement moindre que la quantité donnée £> + ■ . — >
par conséquent ce nombre sera entièrement donné, et les nombres 1* et E* le seront aussi.
Or, nous avons vu (n°. 53) qu'en continuant les séries I>, E> + ', &c. t>, t> + ', &c. il arrivera nécessairement que deux termes correspondans , comme E> +/ , t> + ,r , reparoîtront après un certain nombre d'autres termes j en sorte que l'on aura, par exemple ,
, Donc , par ce que nous venons de démontrer, on aura aussi en remontant
58. De-là , je conclus en général que lorsque dans la série des nombres E, E', E', &c. on en trouvera deux consécutifs de même signe, celui des deux qui sera moindre que \/ B sera déjà nécessairement périodique.
Ainsi , si dans l'équation proposée
E'jp* — 2 « x — E = o
les coefficiens E et E' étoient de même signe, la série seroit périodique dès le premier ou le second terme.
Si Ton a t = o , en sorte que x = y/ — , alors on
aura B = EE'j d'où l'on voit que des deux nombres E , E' , le
plus petit sera moindre que \/ B , et le plus grand sera néces-
sairement plus grand que \/ B j donc , dans ce cas , si le nombre —
hà
dont il s'agit d'extraire la racine carrée est plus petit que l'unité, la série sera périodique dès le premier terme Ej et s'il est plus grand que l'unité , la période ne pourra pas commencer plus bas qu'au second terme.
5 9* On avoit remarqué depuis long-temps que toute fraction continue périodique pouvoit toujours se ramener à une équation du second degré j mais personne , que je sache , n'avoit encore démontré l'inverse de cette proposition , savoir : que. toute racine d'une équation du second degré se réduit toujours nécessairement en une fraction continue périodique. Il est vrai que M. Euler, dans un excellent Mémoire imprimé au tome XI des nouveaux Commentaires de Pétersbourg, a observé que la ■ racine carrée d'un nombre entier se réduisoit toujours en une fraction continue périodique ; mais ce théorème, qui n'est qu'un cas particulier du nôtre , n'a pas été démontré par M. Euler , et ne peut l'être, ce me semble, que par le moyen des principes que nous avons établis plus haut.
60. Nous avons donné plus haut des formules générales pour trouver aisément tous les termes des fractions convergentes vers la racine d'une équation donnée , lorsqu'on a reconnu que la fraction continue qui exprime cette racine est périodique.
Or , dans le cas où l'équation est du second degré , et où l'on se sert de la méthode du n°. 5a , on pourra , si Ton veut , simplifier beaucoup les calculs des n 0 '. 48 et suivans , pour trouver les termes /* et U de chacune des fractions convergentes vers x.
