IO + &C
6.}. Telle est donc la fraction continue qui exprime la valeur de y/ -y-» mais si on veut trouver les fractions convergentes vers celte valeur , on fera dans les formules du n°. 6o , y. — i , v = 4 , et comme doit être < 4 , on fera successivement ir =0, 1,2,3.
On aura donc V = f = ( form. A , n*. 47 ) = 1 , /*-• = /= 1 ; f = = 3 , E" + ' = E" = 8 $ donc T 7 * = ( n°. 60 ) Jjl + 1 = Y J on trouvera de même L M = 1 , F* = Ensuite ou calculera les valeurs de H, H', &c. jus-
qu'à H' = R irr par les formules (C) du n°. 48 , et l'on trouvera
% . h" = a"' ir = 10
D'où H' = 32 , II' " ' = 1 1 , et de-là K' = H~ + " = aS.
Maintenant soit , i°. it — o , on aura H T =0 et H*~ 1 = 1 ; car il est facile de voir par la nature des formules (C) que le terme qui précéderoit H seroit nécessairement = 1 : en efTet,ondoit avoir par l'analogie H' = + 1 H + H" 1 ; on prouveroit de même que 1# terme qui précéderoit h seroit = o ; donc G' = E***" ' = 8. a 0 . Soit * = 1 , on aura H* = 1 , H* " 1 = o ; donc
3°. Soit w = 2 ; donc
H*=io, H'-'=i, G T =iot'' +3 +i.E' tt+3 = io £ "'+E"'=58. 4°. Soit v = 3, donc
H' = 1 1 , H' ~ ' = 10 , et G* = u f 9 + 1 o E r = 63.
Donc , substituant ces valeurs dans les expressions de et L ç du n°. 60 , et multipliant ensemble , pour plus de simplicité , les
deux facteurs/" ± , G* ± H* / B , comme aussi les
deux F" =fc , G* =±= rT y/ B , ce qui donne ces facteurs
simples
rG ' + ^ ± (/«H- + ^VB, I/ 4 H* B F" G*\ ,
go D E L A R É SOLUTION
on aura les formules suivantes : v
j tH - = g ± t/53)frS+4|/53)M 3 ~ \/3 5)(.5-f,/33)*
^, (.21 -fou/5") C2^-h4y/ô5)"-Ci a i-m y/53 ) (gg-j y/5.")' 7 " "~ 2 y/ 5:5
„^ (65 -4-ii y/55 )(23-f4y/5:-5) --(C5 -1 1 y/33) (-2.5-4 V 7 ^)"
IH ^(fi9 -H n / 33)(23+4y/35)- -(6 0 -i2y/55) ( 2 5-4y/55)'
au moyen desquelles on pourra trouver la valeur de chacune
des fractions j-, , jp; , j-777 , ccc. convergentes vers la racine de V-
Ainsi, faisant d'abord n = o, on aura les quatre premières fractions j faisant ensuite n = 1 , on aura les quatre suivantes , et ainsi de suite ; et ces fractions seront ^
T , 1 > n j uj £
9n $r>7 to.'7 «
Si on vouloit avoir, par exemple , le cinquantième terme de cette série, c'est-à-dire la fraction — , il n'y auroit qu'à diviser 5o par 4 , ce qui donne 12 de quotient et 2 de reste j et
l'on feroit n — 12 j de sorte qu'en développant la puissance
douzième
douzième de a3 =±= 4 \/ 33 , et faisant pour abréger
+ 9 38 (33)' (4)" (aSy + 4 9 5 (33)' (4) 8 (a3)<
+ 6G(33)' (4)" («3/ + (33)' (4)", Ns=ia (4) ( 2 3)" + fl Q0(33)(4) î (a3)« + 792 (53)»(4) 8 (23)'
+ 79 2 ( 53 )' (4T (»3) 5 + aao (33)' (*i) 9 (a3)' + 1 a (53) s (4)' ' (a3) on aura
donc y substituant cette valeur dans les expressions de l iH+ *. et L 4 ""*"* , on aura, pour la fraction cherchée ,
64. Je vais terminer celte remarque par une observation qui me paroît digne d'attention. Lorsque l'équation proposée a dos diviseurs commensurables du premier degré, alors les fractions continues qui représenteront les racines de ces diviseurs seront nécessairement terminées j et lorsque l'équation aura des diviseurs commensurables du second degré à racines réelles , alors les fractions continues qui exprimeront les racines de ces diviseurs seront nécessairement périodiques. Ainsi la méthode des fractions continues a non -seulement l'avantage de donner toujours les valeurs rationnelles les plus approchantes qu'il est possible de la racine cherchée , mais elle a encore celui de donner tous les diviseurs commensurables du premier et du second degré que l'équation proposée peut renfermer. Il seroit à souhaiter que l'on put trouver aussi quelque caractère qui pût servir à faire reconnoitre les diviseurs commensurables du troisième, quatrième, &c. degré, lorsqu'il y en a dans l'équation proposée ; c'est du moins une recherche qui me paroît trèsdigne d'occuper les Géomètres.
8a DE LA RESOLUT 1.0 N
