S8 DELA RÉSOLUTION

racine cherchée , on aura la quantité qu'il faudra ajouter à ce terme pour avoir le terme suivant.

La méthoiîe qui résulte de cette considération est , comme l'on voit , plus simple que celle de Newton ; c'est la méthode que Raphson a donnée dans l'ouvrage intitulé Analysis œquationum universalis , imprimé à Londres en 1690, et réimprimé en 1697. Comme la méthode de Newton avoit déjà paru dans l'édition anglaise de Y Algèbre de TVallis en ï685, et qu'elle a été ensuite expliquée en détail dans l'édition latine de 1793, on peut être surpris que Raphson n'en ait pas fait mention dans ton ouvrage j ce qui porteroit à croire qu'il la regardoit comme entièrement différente de la sienne : c'est pourquoi j'ai cru qu'il u'cloit pas inutile de faire remarquer que ces deux méthodes ne sont au fond que la même présentée différemment.

Maintenant il est clair que la bonté de la méthode dont il s'agit dépend de cette condition , que si a est une valeur approchée d'une des racines de l'équation proposée , a + p sera une valeur plus approchée de la même racine j c'est donc ce qu'il faut examiner.

Soient * , j9 , y , &c. les m racines de l'équation x m — A *— ' + B * ra — — &c. = o; cette équation , comme on l'a vu dans la Note seconde , peut toujours se mettre sous la forme

Mettons a + p à la place de x , et développons les termes suivant les puissances de p ; on trouvera pour les deux premiers termes X + Y p 9 ces valeurs de X et Y ,

d'où l'on tire

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. i3 9 et par conséquent

a — fi a — y

a. — a fi — a y — a

Supposons que * soit la racine que Ton cherche , et que a soit une valeur approchée en plus ou en moins , * — • a sera le défaut ou l'excès de la valeur a sur la véritable *, et * — a — p sera le défaut ou l'excès de la valeur corrigée a -f p ; et il faudra , pour la bonté de la méthode , que la quantité * — a — p soit toujours plus petite que la quantité * — a , abstraction faite des signes de ces quantités} et par conséquent que la quantité soit toujours plus grande que — — - , abstraction faite des signes.

Faisons pour abréger

fi — a y — a

on aura par la formule trouvée ci-dessus pour la valeur de p 9

donc

D'où je conclus, i°. que si la valeur de R est du même signe que celle de * — a , la valeur de « — a — p sera encore du même signe , et que la condition dont il s'agit aura nécessairement lieu.

i4o DE LA RÉSOLUTION

a°. Que si les deux quantités * — a et R sont de signe contraire , alors il faudra que l'on ait - >

mais l'équation précédente donne

donc il faudra que ; rr— + 7 — — soit une quan-

tité positive , et par conséquent que l'on ait la condition a ( * — a) R + 1 >o.

Comme la valeur de R dépend des autres racines & , > , &c. qui sont inconnues, il est difficile, peut- être même impossible de trouver à priori un caractère pour juger si la condition dont il s'agit est remplie ou non.

11 est aisé d'ailleurs de former à posteriori des équations où cette condition n'aura point lieu , en prenant les racines >, &c. de manière que quelques unes des différences 0 — a ,> — a, &c. soient fort petites et de signes différens ; et si j0 et > , par exemple , sont imaginaires et de la forme x -f p y/ — 1 et t — f |/ — 1 , il n'y aura qu'à prendre r peu différent de a et p fort petit. Alors la valeur corrigée a + p , au lieu d'ê\re plus près de la vraie valeur de la racine <* que la valeur de a , s'en éloignera au contraire davantage.

11 n'y a donc que le premier cas où l'on puisse établir un caractère certain pour le succès de la méthode j car il est visible que si la quantité a est à la fois plus petite que chacune des racines *, £, y, &c. de l'équation proposée , ou plus grande que chacune de ces racines, en regardant , comme on le doit, les quantités négatives comme plus petites que les positives, et les plus grandes négatives comme plus petites que les moins grandes ; alors la quantité R sera nécessairement de même signe que la quantité * — a j et si, parmi ces racines, il y en a d'imaginaires de la forme t + p \/ — 1 , v — t 1/ — 1 ,il en ré-

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. i4i

sultera dans R les termes - — 1 - — ,

* — a + fV^ — 1 *" — a — P V — 1

qui se réduisent à fl ( x ~~ a ) __ ^ q Uant i t ^ qu i sera auss i d e ( 7T — a ) + f

même signe que * — a , si a est en même temps plus petit ou plus grand que t.

D'où l'on peut conclure en général que l'usage de la méthode dont il s'agit n'est sûr que lorsque la valeur approchée a est à la fois ou plus grande ou plus petite que chacune des racines réelles de l'équation , et que chacune des parties réelles des racines imaginaires j et que par conséquent cette méthode ne peut être employée sans scrupule que pour trouver la plus grande ou la plus petite racine d'une équation qui n'a que des racines réelles , ou qui en a d'imaginaires , mais dont les parties réelles sont moindres que la plus grande racine réelle, ou plus grandes que la plus petite de ces racines.

Pour que les valeurs corrigées successivement approchent toutes de plus en plus de la vraie valeur de la racine, il faudra prendre pour première valeur approchée une quantité plus grande que la plus grande des racines , si c'est celle-ci qu'on cherche , ou plus petite que la plus petite racine, si on cherche la plus petite j alors toutes les valeurs corrigées successivement seront aussi plus grandes que la plus grande , ou plus petites que la plus petite des racines , et la condition nécessaire pour la convergence aura constamment lieu pour toutes ces valeurs, puisque R et * — a seront toujours de même signe , en prenant pour a chacune de ces mêmes valeurs.

Lorsque toutes les racines de l'équation sont réelles, il est facile de reconnoître si la première valeur approchée a est plus grande ou plus petite que chacune des racines j car en mettant l'équation sous la forme

et substituant a + /? pour x y elle deviendra

i.{a DE LA RÉSOLUTION

ou a — A j « — j8 , a — y , &c. seront dans le premier cas des quantités toutes positives , et, dans le second toutes négatives j donc dans le premier cas on aura une transformée en p dont tous les termes seront positifs , et dans le second cas cette transformée aura ses termes alternativement positifs et négatif».

Réciproquement si les termes de la transformée en p sont tous positifs , il est évident qu'il n'y aura alors aucune valeur positive de p qui puisse satisfaire à l'équation} par conséquent les valeurs réelles de p seront nécessairement négatives : donc les racines de l'équation en p étant * — a, fi — a, y — a, &c. il faudra que ces quantités soient toutes négatives ou imaginaires j donc la quantité a sera nécessairement plus grande que chacune des racines réelles de l'équation , quand même elle auroit des racines imaginaires.

On prouvera de la même manière que si les termes de la transformée en p sont alternativement positifs et négatifs , la quantité a sera nécessairement plus petite que chacune des racines réelles , soit qu'il y ait des imaginaires on non.

Mais dans le cas où l'équation a des racines imaginaires , on ne pourra pas s'assurer de la même manière que la quantité a sera en même temps plus grande ou plus petite que chacune des parties réelles de ces racines j je ne vois pas même qu'on puisse s'en assurer autrement que par le moyen de l'équation dont ces parties réelles seroient racines. Or , si fi = *■ + f y/ — i ,

et p = * — ?Y — i , on a ît = — - — : ainsi l'équation dont

▼ sera une des racines , ne peut être que celle qui aura pour

racines les demi-sommes des racines de la proposée , prises

deux à deux , et qui , par la théorie des combinaisons , montera

, , m (m — i ) au degré — — - -.

Ayant formé cette équation par les formules qne nous avons indiquées plus haut (Note III), on y substituera à + x à la place de l'inconnue j et si la transformée a tous ses termes

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. i.p

positifs , ou alternativement positifs et négatifs , on sera assuré que le nombre a sera plus grand ou plus petit que chacune des valeurs de t , et par conséquent aussi que chacune des parties réelles des racines imaginaires.

Newton n'a appliqué sa méthode qu'à l'équation x 1 — a x — 5 = o que nous avons résolue (n°. a5). Il suppose d'abord a = a, et substituant a + p à la place de x , il a la transformée o = — 1 + 10 p + 6 />' + p\

d'où il tire p = ~ = o , 1 j il fait ensuite p ss o , 1 + q , il

a la nouvelle transformée

o = 0,061 4- ii,33 q + 6,3 q* + y',

d'où il tire q — — ° ,og ' — — 0 ,oo54 il continue en

xi, 20

faisant q — — • o, oo54 + r, il vient la transformée

o sas 0,000641708 + 11,16196 r 4- 6,3 r* + 1*1 11 »••«.<■• — 0,000541708

d ou il déduit r = — ---- — == — 0,00004853 , et

ainsi de suite.

Ainsi les valeurs convergentes de x sont a, a,i , 3,0916, 2, 00 455 147, dont la dernière est exacte à la dernière décimale près ( numéro cité ).

Dans ce cas , la série est, comme l'on voit , très-convergente. On peut , en effet , s'assurer à priori par ce que nous avons démontré , que cela doit être ainsi. "

Car nous avons vu ( numéro cité ) que les deux autres racines de cette équation sont imaginaires , et qu'en les représen-

tant par x d= f y/ — 1 , on a a tres-peu près P = - — = -,

i5 7.i5 io5 .

et " = - sTTl £Ti " - 76 ! donc ' pu,sque '

outre la racine * que l'on cherche , il n'y a que ces deux racines

imagine ires, on aura dans ce cas R — — -, Or a

étant — 2 , on a t — ; a

î mais * étant à très- peu

près 2,0945.... , on a * — a = 0,0945.... ; d'où l'on voit d'abord que R et * — a sont de signes diflerens , et qu'ainsi , pour que la première correction de a soit juste , il faut que la condition 2 ( * — a ) R + 1 > o ait lieu. Or on trouve R = — o,563o , et de-là 2 ( * — a) R = — • o, 1064 ; de sorte que la condition dont il s'agit est amplement satisfaite. Ainsi on est assuré que la première valeur corrigée 2, 1 approchera davantage de la vraie valeur de la racine. En prenant cette valeur pour a, on a* — a = — o,oo55. . .-. donc * — a et R étant maintenant de môme signe , les corrections suivantes approcheront toutes de plus en plus de la vraie valeur de la racine cherchée.