A, = AA. — BA, + 3C

A 4 = AA, — BA, + CA, — 4 D &c.

Supposons de plus

il est facile de voir que l'on aura

c , = (.- 0 A.-a(iAirA.)

fl .^(m-i)A 4 -4(A,A,-A 4 ) + 6( (A ' ) ' 3 -^ ) a, = (m — i) A 6 — 6 (A, A, — A 6 ) + i5 (A.A 4 — A 6 )

la DE LA RÉSOLUTION

ou bien

a± = m A 6 — 6 A, A 5 + i5 A, A 4 — so v % '

et en général

<*m — mAt/u — a M A, A (iM 7 }

+ A, A {tA , t j — &c.

rt= s . — ,-. .

Les quantités a,, a, , a,, &c. étant ainsi connues, on aura sur-le-champ les valeurs des coelEciens a , b t c, &c. de l'équation ( D ) par les formules a = a,

c a, — i a, + flfl, — a 4

Ainsi on pourra déterminer directement les coefli ciens a , b y c, &c. de l'équation (C) par ceux de l'équation donnée (B). Pour cela on cherchera d'abord par les formules ci-dessus les valeurs des quantités A, , A, , A , &c. jusqu'à A» R ; ensuite , à l'aide de cellesci , on cherchera celles des quantités a, , a, , , &c. jusqu'à a„ , et enfin , par ces dernières , on trouvera les valeurs cherchées des coefïiciens a , b , c, &c.

Remarque. 11 est bon de remarquer que l'équation (D) exprime également les différences entre les racines positives et

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. i3

négatives de l'équation ( B ) j de sorte que la même équation aura lieu aussi lorsqu'on changera x en — x pour avoir les racines négatives ( n°. 4 ).

De plus , il est clair que l'équation ( D ) sera toujours la même , «oit qu'on augmente ou qu'on diminue toutes les racines de l'équation proposée d'une même quantité quelconque : donc , si cette équation a son second terme , on pourra le faire disparoître j et cherchant ensuite l'équation en u qui en résultera , on aura la même équation qu'on auroit eue si on n'avoit pas fait évanouir le second terme ; mais l'évanouissement de ce terme rendra toujours la recherche des coeiEciens a , 6 , c , &c. un peu plus facile , parce qu'on aura A = o , et par conséquent aussi A, = o j de sorte que les formules du numéro précédent

deviendront

A, = o A.= — aB

Aj= 3C