B6 DE LA RÉSOLUTION

démonstration j et il y a même de fortes raisons de douter qu'elle soit vraie en général.

Dans les cas dont il s'agit , on en peut prouver la vérité ; car le système ( * -f a ) étant développé , donne

x* -f ( a + b) x + a b j donc m = a + b, n = a b , et par conséquent m % — 4 « = (a — b)% quantité toujours positive. De même le système

donne m — i o, n = a* •+■ b % , et m' — 4 « = — 4 A', quantité toujours négative. On peut démontrer de la même manière les autres conditions pour les diflérens systèmes des équations du second degré.

L'auteur a appliqué les mêmes principes et la même méthode aux équations du troisième et du quatrième degré, et il a donné pour ces degrés des tables semblables à celle que nous venons de rapporter. Ployez le Recueil de ses Mémoires , imprimé en i;64.

L'étendue de ces tables augmente en proportion du nombre des combinaisons des difTérens facteurs } et la recherche des conditions propres à chaque combinaison ou système devient d'autant plus difficile , qu'il arrive souvent que les conditions qui résultent de l'égalité de quelques-unes des quantités a , b , c , &c. qui sont censées former une série décroissante , ont Heu pour plus d'un système à la fois , et qu'il est alors nécessaire de trouver des conditions pour distinguer ces mêmes systèmes entre eux.

L'auteur ne donne aucune règle générale sur cet objet j il se contente d'essayer successivement les fonctions les plus simples des coefficiens m, n , p , &c. de l'équation , jusqu'à ce qu'il en trouve une qui soit nulle dans le cas commun à deux systèmes, et qui soit plus grande que zéro dans l'un , et plus petit© que zéro dans l'autre.

C'est ainsi , par exemple , qu'ayant trouvé pour l'équatioû *' + m x* + n x + p = o que les deux sy s tème s (x + a) (x -f b) (x + b)

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. i5 7

et ( x + a ) ( x + a ) ( x -j- b ) ont la même équation de condition

4(m t — 3n)(— 3mp + n 1 ) — ( "» /» — jp)' = o il cherche une fonction de la forme A m* + B n , ou Aro' + Bmn+,C/),ou &c, telle qu'elle soit = o dans le cas commun de a = b , et qu'elle soit > o pour le premier système , et < o pour le second ; il trouve celle-ci a m* — g m n + 2 7 p, qui satisfait à ces deux conditions.

Quoique l'auteur soit parvenu à trouver ces fonctions pour tous les cas des équations du troisième et du quatrième degré , on peut douter qu'il soit possible de les trouver en général dans les équations des degrés supérieurs ; du moins il n'est pas démontré qu'il existe toujours nécessairement des fonctions qui aient ces propriétés : ainsi la théorie peut être aussi en défaut de ce côté.

Au reste, on peut trouver directement les conditions précédentes 5 car, si on suppose que l'équation

« s + m x* + n x + p = o ait un facteur double ( * + « )' , il n'y aura qu'à diviser le polinome x' + m x* <+■ n x + p par x* + a « x + ** r on trouvera le quotient x + m — a * , et le reste

ainsi il faudra faire séparément

,, , ,, t m n — on

d'où l'on tire * *

Cette Valeur , substituée dans la première équation , donne

( m n — - 9 p y + (3»p-w) » oj

ee qui est la condition commune aux deux systèmes.

Maintenant , comme le quotient * + m — a « forme lé facteur inégal de l'équation , on fera t = i et m — a « ±= a pour le système (x + a) (x + (x + £), et* = a,m-^a* = ô

i53 DE LA RÉSOLUTION

pour le système (x + a) (x + a) (x + b); donc , puisque par l'hypothèse a > b , on aura pour le premier système m — i * > « , ou m — 3 * > o , et pour le second m — 5 * < o. Mais en substituant la valeur de * , on a

d'un autre côté , il est facile de s'assurer que , pour les deux systèmes, on a m* — 3 n> o; car le système (x + a) (x+b) (x + b) donne m — a -f 3i,n = û'+ ai, comme il résulte du développement : donc

m' — 3* = a' — a a b + b % — (a-*)'}, et comme pour l'autre sj'stême il n'y a qu'à changer a en i, on aura de même m" — 3n = (a. — £)\ Donc les conditions pour les deux systèmes seront simplement

2to s — g m n + 27 y? > o pour le premier, a m 1 — g m n 37 /> < o pour le second , comme Fontaine l'a trouvé.

Mais les conditions mêmes qui résultent de l'égalité de quelques-unes des quantités a, b, c, &c. ne sont pas toujours particulières aux systèmes dans lesquels ces égalités ont lieu , comme Fontaine le suppose j ce qui détruit un des principaux fondemens de sa théorie.

Par exemple , il trouve dans le troisième degré que , pour . l'équation

la condition

2 m 3 — m n — p = q est particulière au système

(x — o) (x + a + b\/ 1 ) (* + a — — 1), et doit le distinguer de tous les autres. Mais j'ai reconnu que cette condition a lieu aussi pour tout système de la forme (x + a) (x — b) (ar + c), qui se rapporte à la même formule d'équation , lorsque a + c — a b j ce qu'on peut aussi prouver à priori.

Ainsi , si l'on a l'équation x* + 2 x' — 5i — 6 =s o , comme elle satisfait à la condition dont il s'agit , puisque en faisant m = 2 , n = 5 , p = 6, on a 2 . 8 — 2.5 — 6=0, on pourroit conclure de la table de la page 546 du Recueil des Mémoires de Fontaine , que cette équation a trois facteurs de la forme

(x — a) (x + a + b / — 1 ) ( x + a — b y/ — \) , et que , par conséquent , elle a deux racines imaginaires, tandis qu'elle a au contraire les trois facteurs réels (* + 3)(« — On doit dire la même chose de la condition a*. 3* n* q + a\3' J n? p % + a\3\5» n x q* + 2 4 . 3\ 5 . 7 n />• q — 3». 7 3 />♦ + 2 g . 5 V = o, que Fontaine trouve (page 558) pour le caractère commun des deux systèmes

(x + a) (x — b) (x — ô + c/ — 1) (i-i-c^-i), et(x-fa) (or — c) (x — c\b\/ — 1) (x-c-iy/-i)

appartenant à la formule

Cette condition n'est pas particulière à ces deux systèmes j elle a lieu aussi dans tout système de la forme

(x + a) (x — b) (x — c) ( x — d) appartenant à la même formule d'équations ( page 552 ) , pourvu que l'on ait b d — 2 c j c'est ce qu'on peut trouver à priori ; mais ce détail nous mèneroit trop loin. .

On peut conclure de ces observations , qu'il n'est pas toujours possible de trouver les conditions qui distinguent chaque système de facteurs de tous les autres , en ne considérant dans les quantités a , b , c , &c. qui entrent dans ces facteurs , d'autres rapports que ceux d'égalité ou d'inégalité , suivant la théorie de Fontaine. Mais , quand on le pourroit , le travail pour les trouver dans les degrés au-dessus du quatrième seroit immense , et ne seroit pas même utile pour la résolution nume-

ifo DE LA RÉSOLUTION

rique des équations , comme nous allons le montrer en examinant la seconde partie de la Méthode.

Dès qu'on aura trouvé , comme l'auteur le suppose , la forme de chaque facteur de l'équation proposée , il n'y aura plus qu'à déterminer les valeurs des quantités a, b, c, &c. qui entrent dans ces facteurs, et qu'on sait être toutes positives et inégales j et voici comment il s'y prend. Il développe le produit des facteurs, et le comparant à l'équation proposée, il a autant d'équations qu'il y a d'indéterminées a , b , c , &c. il élimine toutes ces quantités , hors deux , qu'il se propose de déterminer ; il a ainsi deux équations entre ces deux quantités ; il fait la plus grande de ces quantités = R «, et la plus petite = R d j et éliminant R , il a une équation homogène en « et 0 , dans laquelle il substitue x « + y pour *, et z • + u pour fi.

Il suppose d'abord * = i,y = o,z=no,tt=ii} il a une équation en ? , dans laquelle il fait successivement • = i , a , fl , &o. jusqu'à ce qu'il trouve deux résultats de signe contraire $ alors il fait t 5= A , A étant le plus petit des deux nombres qui ont donné des résultats de signe contraire : donc « — A , 0 ».

Il fait ensuite x = A t y — i , t = t , <* = o ; et dans l'équation résultante en f , il cherche de même deux substitutions qui donnent des résultats de signe contraire : nommant B le plus petit des deux nombres , il fait e = B } donc « = AB + i T j8 = B.

Il continue de la même manière , en faisant x = à la dernière valeur de « ,y à l'avant-dernière , x = à la dernière valeur de <3, et u à l'avant-dernière.

Substituant ensuite successivement ces valeurs de * et 0 dans l'expression rationnelle de R qui résulte des deux équations , on a celles de a et b , d'autant plus exactement , que les opérations sur * et fi ont été poussées plus loin. t Pour en donner un exemple , je vais rapporter celui que l'on trouve dans les Mémoires de l'Académie de 1747 , page 67a.

Soit

Soit l'équation x % — 3 x + \ = o , comme elle se rapporte à la formule x* — m x + « , en faisant m — 3 , n = i , si on examine les conditions relatives à cette formule dans la table donnée ci-dessus , on trouve que celle-ci m* — 4/1=0 a lieu j d'où Ton conclut que les deux facteurs sont de la forme {x — a) (x — b). On a donc en développant a + b = 3 et a b ss 1.

Soit a = «R, b = /8R, on auraR(« + /3) = 3,R**/3 = 1 }

donc R = — ■ — - etg*)8 = (*- r -/8) i : savoir, * + fi

où Ton fera * = x p -f et fi = z ? -f u.

Soit , i°. x = 1 , ^ = o , z = o y u = 1 • donc «t = p , 0 = 1 ;

substituant ces valeurs , on a 1' — y p + 1=0: faisant

? sa 1 , a , &c. jusqu'à p = 6 , on a des résultats négatifs ;

mais 9 = 7 donne le résultat 1 : donc p = 6 , donc <* = 6 ,

2°. .r ssa 6 , ^ = 1 , z = 1 , u = o; donc * — 6 î -f 1 , fi = 9 , et l'on a l'équation 5 — 5 <p — 1 =0.

Ici p = 1 donne le résultat — 1 , p = a donne 9 : donc ? = 1 j

et de-là * = 7,/8 = i,R = ?.

3°. a? = 7,^ = 6,z = i,w = 1 ; donc $ = 7» 4" 6, Ê = # + 1 j et substituant, on a l'équalion p* — 09 — 5 = o. Faisant 9 = 1 , a , &c. jusqu'à f = 5 , on a des iesultats négatifs j mais 9 = 6 donne le résultat 1 : donc ? = 5 j et de-là * = 4 1 , fi = 6 ,

et R = —, et ainsi de suite.

Telle est la méthode d'approximation que Fontaine a donnée sans démonstration dans son Mémoire de 1747 , et qu'il a redonnée de même dans le Recueil de ses Mémoires. Elle suppose , comme l'on voit , que l'on peut toujours , par la substitution des nombres 1 , 2 , 3, &c. au lieu de p dans les différentes

16a DE LA RÉSOLUTION

équations en ? , trouver deux nombres qui donnent des résultats de signe différent ; ce qui , par ce que nous avons démontré ( n°. 5 et suiv. ) , n'a lieu qu'autant que ces équations ont des racines positives dont la moindre différence est plus grande que l'unité. D'après cette considération , il est facile de trouver des exemples où la méthode de Fontaine sera en défaut. Soit , par exemple , l'équation

qui se rapporte à la formule x 1 — m x* — n x + p , en faisant m = a , n = a3 , p = 6o. La table de la page du Recueil des Mémoires de Fontaine , donne ces trois conditions 4 ( i» m + 3 »•) ( n' + 3 m p) — ( — m n + 9 p )' > o ,

m n — p < o> #»' — » < o , pour le système (x + a) (x — b) (x — c), lesquelles se trouvant remplies ici , il s'ensuit que ce système est celui de l'équation proposée.

Pour trouver les trois quantités positives et inégales a, b , c , «x c. on comparera le produit des facteurs

s 1 + (a — b — c) x* + ( — a b — ac + ic) « + abc avec l'équation donnée , on aura ces trois équations a — b — c = — a, — ab — ac + bc = — 23 et a 6 c = 60. Eliminant c , on aura c — a — b — a , et les deux autres équations deviendront

a* — a b + b* + a ( a — b) — 23, (a — b) a b + 2 a b = 60 $ et faisant a = «R,£ = |0R,on aura

R* + Y" )4raR(* — 0) = 2 3

Enfin, éliminant R, on aura une équation homogène du sixième degré en « et /3, réductible à cette forme (ao(**+^)— 4n*)(i5(«*+r)— 34*f)(i9(*+**)+a5«*)=rQ«

Maintenant on fera , suivant Fontaine , * = x 9 + y , 0 ss z • + u , et on supposera dans la première opération

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. i63 x = 1 , y = o , z — o , u = 1 j ce qui donne * = 9 , /3 = 1 : l'équation sera donc

(ao(**+ 1) — 4i e) (i5 (»'+») — 34?) (i2(? l + i) + i5?) = o,

et il faudra faire successivement 9 = î , 2,3, &c. jusqu'à ce que l'on trouve deux valeurs de 9 qui donnent des résultats de signe contraire, ce qui n'arrivera jamais , les résultats étant toujours positifs , comme il est facile de s'en convaincre par la simple inspection de l'équation. Ainsi la méthode sera en défaut dès la première opération.

11 est aisé de Voir qu'on ne peut avoir de résultats négatifs qu'en donnant à 9 une valeur intermédiaire entre î et a. Par

exemple . en faisant ? = - , on trouve le résultat — :

2 ib

mais cela est contraire à l'esprit de la méthode de Fontaine , qui suppose que * et /3 sont toujours des nombres entiers. D'ailleurs, si on vouloit admettre pour 9 des nombres fractionnaires , U seroit bien plus simple d'opérer immédiatement sur l'équation proposée , en cherchant deux valeurs de l'inconnue qui donnent des résultats de signe contraire $ mais la connoissance de la forme des facteurs , qui est l'objet des tables de Fontaine, devient inutile pour cette recherche , et la difficulté du problême demeure en son entier.

Nous remarquerons encore que , puisque dans la première

opération on fait 9 = j = g , l'équation en 9 sera toujours ,

généralement parlant, d'un degré plus haut que l'équation proposée } car si a et b sont deux racines réelles , les racines de l'équation en 9 seront tous les quoliens qu'on peut former en divisant une racine par l'autre - y de sorte que si m est le degré de la proposée , m ( m — î ) sera celui de l'équation en 9 , laquelle sera d'ailleurs nécessairement du genre des réciproques.

Mais si a étant une racine réelle , b étoit la partie réelle de

deux racines imaginaires , alors - seroit le quotient d'une racine

divisée par la demi-somme de deux autres racines, et l'équation

. , , , m (m — i ) (m — 2) en s> seroit du degré S 2

Au reste , comme l'équation en * et £ , que l'on trouve pfir le procédé de Fontaine, est nécessairement une équation homo-

gène , elle n'a , à proprement parler, qu'une seule inconnue -,

et la substitution de x t + y â la place de * , et de z t + u à

la place de j8 , revient à substituer immédiatement — à

la place de l'inconnue de cette équation j or celte formule est l'expression générale des fractions convergentes qui résultent d'une fraction continue , dans laquelle 9 représente successi-

vementles dénominateurs de cette fraction, et-, - , sont les

deux fractions successives qui précèdent la fraction ,

comme il résulte de la théorie connue des fractions continues.

Ainsi il paroît que Fontaine a cherché à exprimer le rapport

entre les quantités * et j8, qui est le même que celui entre les

quantités a et b , par les fractions convergentes dépendantes

des fractions continues ; mais la difficulté consiste à déterminer

les valeurs de p lorsque la fraction - n'est donnée que par une

équation. V oyez ci-dessus la Remarque IV ( n°. 78 ).

Je me suis un peu étendu sur l'analyse de la méthode de Fontaine , parce que je ne connois jusqu'à présent que deux Auteurs qui en aient parlé , d'Alembert dans l'Encyclopédie , au mot Equation , et Condorcet dans l'Histoire de l'Académie des Sciences pour les années 1771 et 1772 , et que l'un et l'autre se sont contentés de jeter des doutes sur cette méthode, sans donner les moyens de l'apprécier.

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. i65