D E LA RÉSOLUTION

Donc , par ce qu on a vu dans la Note précédente ,/ * = o sera la condition pour que la racine * de l'équation fx + 0 = 0 soit double * = o sera la condition pour que cette racine soit triple , &c.

D'où il 6'ensuit qu'une racine ne peut passer du réel à l'imaginaire , sans devenir double ou quadruple , et en général multipliée d'un ordre pair.

On prouvera de la même manière , en faisant x — 0 + " dans l'équation f 'x + b — i — o , que la valeur de u ne pourra devenir imaginaire, à moins que l'on n'ait f (i = oet f /8 < o , et û. f" fi — o, il faudra de plus que l'on ait f" fi — o et f ir 0 < o , et ainsi de suite.* D'où l'on conclura que dans le passage de l'imaginaire au réel , la racine devient aussi double , ou quadruple , ou , &c.

Cette proposition n'avoit été démontrée jusqu'ici que par la théorie des courbes , ou comme une suite du théorème sur la forme des racines imaginaires.

Maintenant, puisque quand la valeur de V est très-près des limites a et b , une des racines imaginaires de l'équation f x -+■ V = o est nécessairement de la forme p ■+• q \/ — 1 , si cette racine n'est pas toujours de la même forme pour toutes les valeurs de Y comprises entre ces limites , soit c la plus grande valeur de V , pour laquelle x sera de cette forme ; de manière que , dans l'équation /x-f-c = o,onaitx — m + »v/ — 1, roetn étant des quantités réelles, et soit m + n s/ — 1 rf- u la valeur de * , lorsque V sera c + f , i étant une quantité positive et très-petite à volonté. On aura donc f(m + n \/— 1 ) -h c = o, et/"(m f -i + «) + c + « = o , développant la valeur

aura

Mais les fonctions dérivées

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 191 ne contenant que des puissances de m + n y/ — 1 , sont tontes réductibles à la. forme p -f q y/ — 1 : ainsi , en prenant des quantités réelles M , N , P , Q , &c. l'équation précédente deviendra

*(.M+Nt/—i)+ - (P + Q /— x) + &c. + i= o.

Donc la première valeur approchée de u sera

et par conséquent de la forme p + q \/ — 1 ; et on trouvera que tous les termes suivans de la série , qu'on peut rendre aussi convergente que l'on veut, en prenant i très -petite à volonté, seront aussi de la même forme j de sorte que la série entière le sera aussi. On aura donc, pour une valeur de i aussi petite qu'on voudra , w = r + s y/ — ij donc la valeur de x sera m + r + (n + s) y/ — 1, et par conséquent encore de la même forme p + ({ V — 1 j contre l'hypothèse. Donc il n'y a aucune valeur de V intermédiaire entre les limites a et h> pour laquelle la racine x ne soit pas de cette même forme.

Si la fonction /' (m + n ;/ — 1) dqvenoit nulle , alors l'équation en u seroit u* u*

— f (jti + 7»t/— \)-\ -f (m + ;z t/— 1) + &c.+i — o t

et on prouveroit de même que la valeur de u seroit toujours de la forme p + q \/ — 1 , et ainsi de suite.

Celte démonstration a l'avantage de pouvoir s'appliquer également aux équations qui renfermeroient des fonctions logarithmiques ou circulaires , et en général à toute ^équation de la forme F x = o, dans laquelle la fonction dérivée F' x sera rédnc tiblc'à la forme p + q y/— \ , en faisant x — m + n 1/— 1 ; car alors toutes les autres fonctions dérivées F' x , F'" x , &c. seront aussi réductibles à la même forme j mais ce détail nous écarteroit trop de notre objet.

Quoique la démonstration précédente soit suffisante pour

uiginze

*$â DE LA RÉSOLUTION

prouver la vérité de la proposition dont il s'agit , on ne peut disconvenir qu'elle ne soit indirecte , et qu'elle ne laisse encore à délirer une démonstration tirée uniquement des principes de la chose. En effet , nous avons déjà observé que toute racine imaginaire de la forme p + q \/ — i suppose le facteur réel du second degré x % — a p x + p % + q % i ainsi la question se réduit à prouver que toute équation est toujours divisible par des facteurs réels du premier et du second degré ; et comme les équations d'un degré impair ont toujours une racine réelle , et Bont par conséquent divisibles par un facteur réel du premier degré, ce qui les rabaisse à un degré moindre d'une unité , il s'ensuit qu'il suffit de considérer les équations des degréj pairs.

Descartes a trouvé que l'équation du quatrième degré x* + p x* + y j + r = o a ces deux facteurs du second degré

la quantité y étant donnée par l'équation

Donc, comme cette équation a son dernier terme négatif, elle a toujours nécessairement une racine réelle ( n°. 3 ) $ par conséquent les deux facteurs seront réels en employant cette racine.

lludde a considéré ensuite l'équation du sixième degré dans son Traité de reduclione œquationum , imprimé à la suite du Commentaire de Schoten sur la Géométrie de Descartes, et il a trouvé que cette équation est divisible par une équation du second degré, comme x* + y x + u — o, dans laquelle le coefficient^ est donné par une équation du quinzième degré , et le coefficient u est une fonction rationnelle de y. Or l'équation du quinzième degré ayant nécessairement une racine réelle , il s'ensuit, que le diviseur du second degré pourra toujours être réel eA employant cette racine j de sorte que l'équation se , trouvant

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. i 9 3

trouvant ensuite abaissée au quatrième degré, aura encore deux autres diviseurs réels.

Hudde n'a pas été plus loin ; et comme i! n'avoit trouvé l'équation en y du quinzième degré , qu'en faisant le calcul tout au long , il a dû sentir qu'il tomberoit dans des calculs impraticables par leur longueur , s'il vouloit traiter de même les équations des degrés plus élevés.

On trouve à la fin de l'Algèbre de Saunderson , imprimée en •1740, après sa mort, cette remarque importante, que dans le diviseur ** — y x' + w = o de l'équation du quatrième degré, le coefficient y est donné par une équation du sixième degré , parce que ce coefficient devant être la somme de deux dea racines de l'équation du quatrième degré , l'équation en y doit avoir pour racines toutes les différentes sommes qu'on peut faire des quatre racines de la proposée , prises deux à deux ; et comme «es combinaisons sont au nombre de six, l'équation en y doit être du sixième degré , comme Descartes l'a trouvé ; mais l'auteur n'applique cette remarque qu'à un exemple particulier, et n'en tire d'ailleurs aucune autre conséquence.

Le Seur , l'un des commentateurs des principes de Newton r a généralisé ce résultat dans un petit ouvrage sur le calcul intégral, imprimé à Rome en 1748. Il prouve par la théorie de» combinaisons , que quand on cherche à diviser une équation du degré m par une équation d'un degré moindre n , les coefficiens de celle-ci sont donnés nécessairement par des équations

, , ,m(m — 1) (ai — a). .(m — n + 1)

du degré = '—^ 1 - , parce

que le diviseur devant avoir , ce qui est évident , n racines communes avec l'équation proposée , on peut former autant de diviseurs différens qu'il y a de manières de prendre n choses sur m choses; et de-là il conclut que toute équation du degré 4 m + a est toujours divisible par un facteur réel du second degré, par^e que ce facteur dépend d'une équation qui se trouve d'un degré impair , et qui aura par conséquent une racine réelle } mais ou

i 9 4 DE LA RÉSOLUTION

n'en peut rien conclure pour la réalité des diviseurs du second degré des équations dont le degré est un nombre qui n'est pas de la forme 4 n + 2 , parce que ces diviseurs dépendent alors d'équations de dpgrés pairs.

Euler a approfondi cette théorie dans un Mémoire imprimé eu 1751 dans le Recueil de ceux de l'Académie de Berlin pour l'année 1749 > et M s ' est attaché principalement à prouver que toute équation d'un degré exprimé par une puissance de 2 , est décomposable en deux équations réelles d'un degré moindre de la moitié j pour cela, il suppose que l'équation proposée est privée de son second terme ; ce qui fait que le coefficient du second terme est le même avec des signes contraires dans les deux équations dont elle est le produit; et il trouve, par la théorie des combinaisons , que ce coefficient est donné par une équation d'un degré impairement pair , qui manque de toutes les puissances impaires , et dont le dernier terme est le carré d'une fonction des racines de la proposée , précédé du signe moins.

Euler suppose que cette fonction des racines peut toujours être déterminée sans irrationnalité par les coefficiens de l'équation proposée , et il en conclut que son carré est nécessairement une quantité positive , et que , par conséquent , l'équation qui détermine le coefficient dont il s'agit a deux racines réelles j il arrive , en effet , que cela a lieu lorsque l'équation proposée n'est que du quatrième degré , comme on le voit par les formules de Descaries , rapportées ci-dessus j mais pour les équations des degrés plus élevés, il faut une démonstration à priori, qu'Euler n'a point donnée , et qui est même d'autant plus nécessaire que cette fonction ne contenant pas toutes les racines de la même manière , ne paroît pas délerminable par une fonction rationnelle des coefficiens , qui sont eux - mêmes , comme l'on sait, des fonctions où toutes les racines entrent également.

Euler considère de plus les équations dont lès degrés sont

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. i 9 5

exprimés par les nombres 2 t, 4 i , 8t, &c. t" étant un nombre impair quelconque , et il trouve qu'elles admettent des diviseurs réels des degrés 2,4,8, &c. parce que les équations dont ces diviseurs dépendent sont toutes de degrés impairs j de sorte que , par ce moyen , toute équation peut se décomposer eu équations réelles de degrés exprimés par des puissances de 2 ; mais la difficulté de décomposer ensuite celles-ci , lorsqu'elles passent le quatrième degré , reste en son entier dans la théorie d'Euler.

Ou peut éviter cette difficulté, comme Foncenex l'a fait dans le premier volume des Misccllanea de Turin , imprimé en 1759, en ne considérant que des diviseurs du second degré. Car soit a^r le degré de l'équation proposée , v étant un nombre impair , si on cherche à la diviser par une équation du second degré *• — 11 # + V = o , on trouve par la théorie des combinaisons , que le coefficient u est déterminé par une équation du degré fl *,(y,i) r ( 2 «, ^ w 9 étant commo

l'on voit un nombre impair.

Donc si ft = 1 , cette équation sera d'un degré impair et aura nécessairement une racine réelle j de sorte que comme le dernier terme V est exprimé généralement par une fonction rationnelle de u , l'équation proposée aura un diviseur rationnel du second degré , et s'abaissera par-là à un degré moindre de deux unités.

Si /* est plus grand que l'unité , on cherchera à diviser pareillement l'équation en «, par une équation du second degré, comme u % — / u + T = o j et le coefficient t sera donné par une équation du degré

f étant comme l'on voit un nombre impair ; et le terme T sera exprimé généralement par une fonction rationnelle de /. Donc si f* = 3, celte équation sera d'un degré impair, et

Bb 2

aura une racine Téelle ; donc t et T auront des valeurs réelles , et l'équation u % — ut + T = o donnera pour u une valeurréelle ou imaginaire de la forme p ■+- q {/ — I. Dans le premier cas, u .et V seront des quantités réelles; dans le second , ces quantités seront imaginaires de la même forme , puisque V est une fonction rationnelle de u. Mais l'équation x x — ux + V = o

donne x — ~db y/ (^""~* V) j donc , par la réduction des radicaux imaginaires , cette valeur deviendra aussi de la forme

Si (a est un nombre plus grand que a , on continuera le même calcul, et on divisera l'équation en t du degré a i "~ , p, par une équation du second degré, comme t % — et 4- S— o, on aura pour la détermination de * une équation du degré

P K - P 1=,2»-> (a^-p— i) = a* 4 " 3 <r, * étant

comme l'on voit un nombre impair , et la quantité S sera généralement une fonction rationnelle de s.

Donc , si ft sa 3 , cette équation étant d'un degré impair , aura une racine réelle j donc « et S auront des valeurs réelles j donc l'équation t* — * * + S = o donnera pour t une valeur réelle ou imaginaire de la forme p + q \/ — 1. Donc, dans l'équation u* — u t + T = o , les coefiieiens t et T auront des valeurs réelles ou imaginaires de la même forme ; et de-là résultera aussi pour u une valeur réelle ou imaginaire de la même forme p + q y/ — 1 , comme nous l'avons vu cidessus , parce que « = ^ =fc ^/ T ^ ; donc enfin l'équation x* — u x + V = o , donnera aussi pour x une valeur réelle ou imaginaire de la même forme.

Si p est plus grand que 3 , on continuera le calcul de la même manière , et on parviendra nécessairement à un diviseur du second degré, dont les coefiieiens seront réels; et de-là, en remontant successivement aux diviseurs précédées du se-

rond degré , on trouvera que leurs coefficiens seront réels ou imaginaires de la forme p ■+■ q {/ — i , jusqu'au diviseur x* — u x + V = o de l'équation proposée , lequel donnera aussi pour x une valeur réelle ou imaginaire de la même forme.

Telle est la démonstration donnée par Foncenex j et on voit qu'elle est très-rigoureuse en admettant le principe , que les cocfliriens de l'équation du second degré , qui est un diviseur d'une équation du degré n , ne dépendent que d'une seule racine d'une équation du degré ïJ. Ce principe est

vrai généralement ; mais j'ai remarqué depuis qu'il étoit sujet à des exceptions qui pouvoient mettre la démonstration précédente en défaut. En effet, lorsqu'on cherche à rendre un polynôme d'un degré quelconque m , divisible par un autre potynome d'un degré moindre n , soit qu'on fasse la division à la manière ordinaire , et qu'on égale ensuite à zéro chaque terme du reste , sort qu'on multiplie ce polynôme par un autre du degré m — rc, et qu'on compare le produit ternie à terme avec le polynôme proposé , on parvient toujours par l'élimination successive , en prenant un des coefliriens du polynôme diviseur pour l'inconnue principale , à déterminer les autres coefficiens du même polynôme par des fonctions rationnelles de celui-ci , et ensuite on trouve par les substitutions une équation où il n'y a plus que celui-ci d'inconnue , et où l'inconnue monte au

degré = , comme on

l'a dit plus haut.

Mais s'il arrive que cette équation ait deux ou plusieurs racines égales , alors , à moins que les valeurs des autres coefficiens qui répondent à ces racines égales, ne soient aussi égales , ce qui n'a lieu que lorsque le diviseur est lui-même un diviseur double ou triple , &c. il est visible que ces valeurs ne peuvent plus être exprimées en fonctions rationnelles de ces mêmes racines , mais qu'elles doivent dépendre elles-mêmes d'équations

ig8 DE LA RÉSOLUTION

du second , du troisième degré , &c. suivant le degré d'égalité des' racines. Dans ce cas, en substituant dans les Fonctions rationnelles trouvées, une des racines égales , les fonctions deviendront indéterminées par l'évanouissement simultané du numérateur" et du dénominateur; et en revenant sur les éliminations, on se trouvera arrêté à une équation du second ou du troisième , &.c. degré , parce que l'équation à laquelle il faudroit la corn* parer pour l'abaisser à un degré moindre, sera identique avec elle. C'est de quoi on peut se convaincre par le calcul j et nous en donnerons dans la Note suivante une démonstration générale. Comme la même difïïculté peut se présenter dans toutes les éliminations , je suis bien aise d'appeler l'attention du lecteur sur ce point , pour qu'il ne se trouve point embarrassé dans Poccasion.

On voit que cette circonstance peut mettre en défaut la théorie que nous venons d'exposer sur les diviseurs du second degré ; car lorsque l'équation d'où dépend un des coefficiens a^des racines égales, l'autre coefficient, en employant ces racines , dépendra d'une équation d'un degré égal au nombre des racines égales , et qui , par conséquent , si elle n'est pas d'un degré impair, demandera de nouvelles combinaisons pour pouvoir s'assurer qu'elle a une racine réelle de la forme P + 9 V — 1 > et s » on ne vouloit pas employer ces racines égales , alors , en éliminant ces racines par la division , on auroit une équation d'un degré moindre , à la vérité , mais qui ne seroit plus exprimée par un nombre de la même forme a""' 7T ou a m ~* p , &c.

Si on considère , par exemple , la formule trouvée par Descartes , pour la résolution des équations du quatrième degré , que nous avons rapportée ci-dessus , et d'après laquelle nous avons conclu tout de suite que l'équation est toujours décomposable en deux facteurs réels du second degré , on voit qu'il y a néanmoins un cas qui échappe à cette conclusion ; c'est celui où l'on auroit q = o j car alors la réduite en y a deux

. DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 199 racines égales y = o , et en employant ces racines , le terme

— du facteur du second degré devient £.

On pourroit employer d'autres racines j mais l'équation en y étant divisée par^* , devient y i + 2 py* + p* — 4 r = o, laquelle étant de nouveau du quatrième degré , et son dernier terme n'étant pas essentiellement négatif, la difficulté est ramenée au même point. Ce n'est pas que dans ce cas particulier on ne puisse prouver , par ces formules mêmes , la réalité des deux facteurs ; car si p' < 4 r , le dernier terme de l'équation en y sera négatif} et par conséquent, il y aura deux racines réelles. Si p*>4r f alors l'équation proposée devenant , à cause de q — o , ** + p % x* + r = o , aura les

deux facteurs réels x* + ^ =fc 1/ r^.

Ces difficultés ont occasionné les recherches que j'ai données sur cette matière à l'Académie de Berlin , en 1772 ^ et dans lesquelles je me suis particulièrement attaché à compléter la théorie commencée par Euler.

J'ai démontré d'une manière rigoureuse que si on veut décomposer un polynôme du degré a m en deux polynômes du degré a""' , tels que (n étant = 2 m ~')

x' + M *•-* + N df— ' + P x'- 5 + &c.

aT + M, x" " 1 + N,*— + P,*"" 3 + &c.

et qu'on fasse

u = a (M — M,) + b (N — N,) + c (P — P, ) + &c. o, b , c, &c. étant des quantités quelconques , on pourra déterminer généralement les coefficiensM , M , P , &c. M, , N, , P, , &c. des deux polynômes par des fonctions rationnelles de u , et que l'on trouvera pour u une équation d'un degré impairement pair , n'ayant que des puissances paires de u , dont le dernier terme sera essentiellement négatif j et à cause des arbitraires a, b, c , &c. on pourra toujours faire en sorte que le dernier terme de cette équation ne soit pas nul , ce qui lui

aoo DE LA RÉSOLUTION

donneroit les deux racines égales u = o , ni qu'elle ait d'autres racines égales. De sorte qu'on sera toujours assuré d'avoir parlà des valeurs réelles pour les coefliciens dont il s'agit j et par conséquent de pouvoir décomposer l'équation du degré 2" en deux du degré a" - ", et ensuite chacune de celles-ci en deux , du degré a" -1 , et ainsi de suite , jusqu'aux équations du second degré.

A l'égard des équations du degré a* 1 i , i étant un nombre impair , Euler avoit trouvé qu'en employant un diviseur du degré 3" , on tombe dans une équation d'un degré impair, pour la détermination d'un quelconque de ses coefliciens j et j'ai remarqué que si elle a des racines égales, les racines doubles, quadruples, &c. pourront être éliminées, parce que l'équation restante sera encore d'un degré impair , et que les racines triples, quintuples , &c. pourront être employées dana la détermination des autres coefiiciens , parce qu'elle dépendra alors d'équations du troisième , cinquième , &c. degré , qui auront , par conséquent , toujours des racines réelles.

De cette manière , la décomposition des équations en diviseurs réels du premier et du second degré étoit rigoureusement démontrée ; mais Laplace a donné depuis , dans les leçons de l'Ecole normale , un moyen plus simple d'établir cette vérité , en partant de l'analyse employée par Foncenex. Au lieu de considérer simplement l'équation qui détermine le coefficient u du diviseur quadratique *" — ax + V = o, ifconsitîère l'équation qui détermine la quantité « + aV, que je désignerai par «, , a étant un coefficient quelconque. Cette équation sera , par la théorie des combinaisons , du même degré que l'équation en u. ' Donc , si l'équation proposée est du degré a r , r étant impair, l'équation en w, sera d'un degré impair, et aura toujours une racine réelle ; et comme on peut donner à a uue infinité de valeurs , on aura une infinité d'équations qui auront toutes une racine réelle. Parmi ces racines , il y en aura nécessairement plusieurs qui se rapporteront au même diviseur ; soient «, £ deux de ces racines, et o, b les deux valeurs du coefficient a, on

aura

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. a:i

ûûra !z + flV = (t, M-f6V" = j3j d'où l'on tirera les valeurs de « et V, qui seront par conséquent réelles.

Si l'équation proposée est du degré 4 », r étant un nombre impair quelconque , l'équation en u, sera du degré z x , t étant aussi un nombre impair. Cette équation aura donc , par ce qu'on vient de démontrer , un diviseur quadratique réel de la forme u t * — t u, + T = o , qui donnera pour u, une valeur de la forme * + A v/ — 1 , et en donnant à a une infinité de valeurs, on aura une infinité d'équations en u, , dont cbacune aura une racine (le la forme * + A / — 1 ; parmi ces racines , il y en aura nécessairement deux qui se rapporteront au même diviseur j en les désignant par * ■+- A \/ — i et ^ + B / — 1 , et par a , b les deux valeurs de a qui y répondent, on aura u + aV = * + A y/ — l,a + à V = ,S + Bv/ — 1 j donc « et V seront l'une et l'autre de la forme p 4- q V — i ; et la valeur de x , tirée de l'équation a? 1 — u x + V = o , sera encore de la même forme. Donc toute équation du degré 4 r aura deux racines de la forme p =±= q y/ — î , et par conséquent un diviseur réel du second degré , et ainsi de suite.

Cette démonstration ne laisse rien à désirer comme simple démonstration ; mais si on vouloit résoudre effectivement une équation donnée en ses facteurs réels de deux dimensions , il seroit comme impossible de suivre le procédé indiqué par l'analyse que nous venons d'exposer. Cependant cette résolution est nécessaire pour trouver les fonctions primitives ou les intégrales des fonctions rationnelles fractionnaires d'une seule variable , et on la suppose dans tous les Traités de calcul intégral. Cette raison m'engage à m'arrêter encore sur cet objet important , et à en faire le sujet de la Note suivante.