CP-P) (Q-*) (R

est nécessairement une fonction invariable des quantités «, d j y , &c. auquel cas on sera assuré qu'il peut être déterminé rationnellement par les coefliciensa, b , c , &c. D'abord il est évident que toutes les permutations qu'on peut faire des quantités j8 , >, / , &c. entr'elles ne peuvent que faire échanger les produits P, Q, R , &c. entr'eux , et leurs réciproques en même temps entr'eux j de sorte qu'il ne peut résulter de ces permutations aucun changement dans le produit

Considérons ensuite les échanges de * contre chacune des autres quantités j8 , >, <T, &c. il est clair qu'en échangeant « en j8 , celles des quantités P , Q , R , &c. qui contiennent â la fois * et j8 , ne souffriront aucun changement j il n'y aura donc à considérer que celles qui ne contiennent point g. Or si P , par exemple , ne contient point /S , comme les deux produits P et p contiennent toutes les quantités « , 0 , y , &c. il s'ensuit que g sera contenu dans p , et ainsi des autres j donc , par l'échange de * en £ , toute quantité P ou Q , &c. qui ne contiendra point £ , ne pourra que devenir une des réciproques p , q , r , &c. qui sont supposées ne point contenir a j ainsi P deviendra par exemple y, et alors Q deviendra nécessairement p ; donc P — p deviendra q — Q , et en même temps Q — q deviendra p — P. D'où l'on peut conclure en général

que , par les échanges de <*. en £ , y , &c. les difFérens fadeurs

P — p , Q — y,R — r , &c. ne pourront que rester les mêmes ,

ou s'échanger entr'eux en changeant en même temps de signe.

Maintenant , si on cherche le nombre des produits P , Q , R , &c.

qui ne changeront pas par l'échange de * en .3 , ce nombre sera

celui de ces produits où « et & se trouveront ensemble ; donc

le nombre total des quantités *, j8 , >, &c. étant 2 «, et le

nombre de ces quantités dans chaque produit étant n , le nombre

des produits qui contiendront à la fois *. et 0 , sera celui des

combinaisons qu'on peut faire en prenant n — 2 choses sur

an — 2 choses j par conséquent , il sera exprimé par

(an — 2) (an — 3 ) . . . . ( 71 + a )

comparant ce nombre au nombre r donné ci- dessus , il pourra

s exprimer par n + t '

Or le nombre total des quantités P , Q , R , &c. étant » , si on

en retranche le nombre -^-^ — , on aura — — — pour le

nombre des produits P , Q , R , &c. qui , par l'échange de « en £ , se changeront dans les réciproques p , ç , r , &c. par conséquent , ce nombre sera aussi celui des facteurs P — p , Q — q , R — r , &c. qui changeront de signe par ce même échange ; donc , tant que n sera un nombre pair , et par conséquent tant que l'exposant m — in sera une puissance de 2 , plus grande que 2 , le nombre dont il s'agit sera nécessairement pair 3 d'où il s'ensuit que le produit total

ne changera pas par l'échange de * en 0 j il en sera de même des autres échangea de * en y , &c.

Donc enfin ce produit sera une fonction invariable des quantités *, /3 , y , &c. et pourra par conséquent se déterminer par des fonctions rationnelles des coelliciens a , b , c , &c. du polynôme donné. Donc l'équation en * du degré impair r aura

sm DE LA RÉSOLUTION

son dernier terme négatif ; par çonséqucnt , elle aura nécessairement une racine réelle positive ( n°. 3 ).

En prenant cette valeur positive pour x , on aura (u ^ = z ,

et de - là u — - = y/ s j donc a* — m/* — A = o , et u

de-là w = Î i/*=fcy'(£ + A), quantité nécessairement

réelle , puisque nous avons supposé là quantité h positive.

Donc tout polynôme du degré 2 { , tant que t sera plus grand que l'unité , soit que son dernier terme h soit positif ou négatif, pourra se décomposer par les formules que nous venons de donner, en deux potynomes réels du degré 2 €l , et l'on aura ces deux polynômes à la fois , en employant la double valeur de «. Donc , en combinant cette conclusion avec celle qu'on a trouvée plus haut pour tout polynôme du degré i* i , on pourra toujours résoudre un polynôme quelconque en facteurs réels du premier ou du second degré.

Nous avons donné dans le chapitre II un moyen direct de trouver les racines imaginaires supposées de la forme « ± j8 t/ — i , d'où résultent les facteurs réels du second degré x % — 2 * x + ** + 0* j mais la quantité /S dépend de l'équation dont les racines sont les carrés des différences entre les racines de l'équation donnée , et qui n'est d'un degré impair que dans le cas où le degré de cette équation est un nombre impairement pair , ou impairement pair plus l'unité. Dans ce cas , on peut tout de suite trouver les limites d'une racine réelle d© cette équation , par la simple substitution des nombres o , i,2,3, &c. si le dernier terme est négatif , ou des nombres o , — i , a , 3 , &c. si le dernier terme est positif} et ayant les premières limites , il est facile de les resserrer à volonté. Mais lorsque l'équation est d'un degré pair, si son dernier terme n'est pas négatif, on ne sera assuré de trouver les limites d'une de ses racines réelles , qu'après avoir trouvé une quantité plus petite que la plus petite des différences entre

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. aa3

ses racines , soit au moyen de l'équation des différences de celles-ci , ou par la méthode de la Note IV, ou bien en emplo}'ant la méthode des limites de la Note VIII j ce qui peut entraîner dans des calculs assez longs. Par l'analyse que nous venons de donner ci-dessus , la décomposition de tout polynôme , et par conséquent de toute équation en deux facteurs réels , dépend immédiatement de la racine réelle d'une équation d'un degré impair, dont la recherche ne demandera que la simple substitution des nombres naturels à la place de l'inconnue. Ainsi à cet égard l'analyse précédente peut être quelquefois préférable dans la pratique à la méthode générale du chapitre 1 er .

On pourroit déduire des mêmes principes d'autres conséquences intéressantes pour la théorie des équations j mais nous nous contenterons de faire voir en peu de mots, comment la résolution générale des équations du troisième et du quatrième degré en dépend.

Il suit d'abord de ce que nous venons de démontrer , que puisque 4 est une puissance de a , l'équation générale du quatrième degré peut se décomposer en deux du second degré ,

moj'ennant une équation en u du degré , c est - a - dire

du sixième degré, et dontles racines seront /B>, g/,?/,

en supposant *, 9 >, ^, pour les racines de la proposée j mais cette équation peut se réduire ensuite à une équation en y ou en z , qui ne sera que du troisième degré j de sorte que l'équation générale du quatrième degré est toujours résoluble , moyennant la résolution d'une équation du troisième degré.

Si on cherchoit l'équation dont les racines seroient la somme des racines * , 0 , <T, prises deux à deux, cette équation seroit encore du sixième degré, et serviroit à déterminer le coefficient du second terme des diviseurs du second degré de la même équation du quatrième degré j mais en diminuant toutes les racines de celte équation du sixième degré de la

moitié de la somme des racines * , jg, y , <f , somme qui fait le coellicienl du second terme de l'équation proposée, toutes les puissances impaires de l'inconnue disparoîtront , et l'équation deviendra résoluble à la manière de celles du troisième degré , comme Descartes l'a trouvé j car dans ce cas , ses racines deviendront

qui sont deux à deux égales , et de signe contraire. Celte équation aura de plus pour dernier terme , un carré avec le signe négatif} car il est visible que ce terme sera

et on peut démontrer que le produit

est une fonction invariable des quantités * , j8 , y , / , et par conséquent déterminable par les coefliciens a, b , c, d, de la même manière que nous avons démontré l'invariabilité de la fonction (P — p ) ( Q — q ) R — r) . . . . j car il est facile de voir que cette démonstration aura lieu également en prenant pour P | Q , R , &c. des fonctions invariables quelconques de la moitié des quantités a, j8 , y y &c. et contenant toutes une même quantité & ou 0 , &c. , et pour />, q t r, &c. des fonctions semblables de l'autre moitié de ces quantités. En effet , on trouve par le développement

= fl + + j,» + /» ) + a

De sorte que si Ton a l'équation du quatrième degré

dont

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. aa5 dont les racines soient — * , — /3, — y , — <f, en sorte que a = * + a + y + t

d sm * fi y S> on trouvera

= o* — 4 a Z» + 8c Or , si l'on considère l'équation dont les racines seroient (. + JB — +

et que cette équation soit représentée par

jr s — L y* + M / — N = o

on aura

où l'on voit que les coefficiens L , M , N sont des fonctions invariables de * , /8 , y , ï , et qui peuvent par conséquent se déterminer par les coefficiens a, b , c d, de l'équation donnée ; et l'on trouvera , par un calcul qui n'a de difficulté qu'un peu de longueur,

M = 3 a 4 — 16 o'J + 16 ^ + 16 c c - G i ^ N = ' ( a 3 — 4 cH8c)' Ainsi , si on désigne par r , $ , * , les trois racines de l'équation en y , on aura

s. G DE LA RÉSOLUTION

où Ton peut prendre à volonté les radicaux en plus ou en moins j

mais comme leur produit doit être égal à la quantité

û'-4fli + 8 c, si cette quantité est positive , on pourra prendre les trois radicaux positivement } si elle est négative , il faudra en prendre un négativement.

Avec celte attention , si on combine avec les trois équations ci-dessus l'équation

on en tirera les valeurs suivantes , où tous les radicaux sont censés pris positivement. Si a* — 4 a b + 8 c > o

et si a s — 4oi + 8c<o

fl—y/r-h y/ s + V 7 «

On a ainsi à la fois les quatre racines — * , — 0 , — > , — l 9

de l'équation du quatrième degré. Ces expressions sont dues à Euler; comme elles sont moins connues que celles qui résultent de la méthode de Descartes , j'ai cru qu'on seroit bien aise de les trouver ici.

t)ES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. fis?

Tel est le fondement de toutes les méthodes qu'on a trouvées jusqu'ici poor la résolution générale des équations du quatrième degré , comme je l'ai fait voir ailleurs en détail. y oyez les Mémoires de l'Académie de Berlin , pour l'année

A l'égard des équations du troisième degré , leur résolution générale dépend d'une fonction linéaire des trois racines « , B , y , telle que <t + fn fi -+- rt y ; cette fonction, en faisant toutes les permutations possibles entre les trois quantités « , fi , y , aura ces six valeurs différentes

a, + m fi + n y j * + m > + h £ , fi + m* + ny, fi + m y + n <t t •y + mfi + ntL, y + m & + n fi t

qui pourront être les racines d'une équation dont les coefficiens seront déterminables par des fonctions rationnelles des coelliciens de l'équation proposée. Or, si l'on prend pour m et n les deux racines cubiques imaginaires de l'unité , qu'on

peut représenter par r et r*, en faisant r = — 1 — - il arrive qu'en supposant

t=* + rfi + r>y et U — cL + ry + r'fif

les six racines dont il s'agit deviennent , à cause de r 3 = 1 , * , u , r t , r u , r* t , r* u j de sorte qu'en prenant y pour l'inconnue de l'équation qui aura ces six racines, Je produit des trois facteurs simples y — l,y ~ r t , y r* t , sera ( à cause de 1 + r + r* = o et r' = 1 ) y 3 — et le produit des trois facteurs semblables^ — u,y — r u,y — r* u , sera pareillement^ 3 — u 3 } multipliant ensemble ces produits , on aura

équation du sixième degré , résoluble à la manière des équations du second degré , et dont les deux coefficiens ? + « 3 et t 3 u 3 seront nécessairement des fonctions invariables de « , fi , y.

* Ff a