D JE LA RÉSOLUTION

En effet , on trouve par le développement

? = L + 3 r M + 3 r* N «' = L + 3 r N + 3r*M, en faisant pour abréger

M = a* i8 + fi* r + >• * N = *» > + j3* * + >' /S j Et de-là , â cause de r + r* — — i ,

r + w 3 = 2 L — 3 ( M + N ) et f u 3 = L> — 3 L (M + N) + 9 ( M + N)* — 27 MN, où Ton voit que les quantités L , M + N et M N , sont en effet des fonctions invariables de » , $ , y* Soit maintenant

l'équation générale du troisième degré ayant pour racines — * , — fi , — y , on aura

* + fi + y = a , *fi+*y+fiy = b, * fi y = c, de là on trouvera

* 3 /S 3 + « 3 >' + fi' y 3 = 6 5 — 3 a 6 c + 3 t*j

donc

d'où Ton aura enfin

? u 3 = (o 1 — 3 £) 3 } de sorte que l'équation en y sera

j' ! -(a fl'-goi + »7 c)y + (a* — 5 bf = 0} d'où l'on tirera deux valeurs de jk 3 » qui seront celles de t 1 et de m 3 , et dont les racines cubiques donneront les valeurs de t et u j enfin ces valeurs , combinées avec l'équation a = * -f fi + 7 ,

donneront à la fois les trois racines — * , — [$ , — y j on aura , en effet ,

La première de ces expressions , en y faisant a = o , donne la formule connue de Cardan.

Toutes les méthodes qu'on a imaginées jusqu'à présent pour résoudre les équations du troisième degré , dépendent du même principe , comme je l'ai fait voir daus les Mémoires cités.