COS M ) J V
( n — 4) (/i — 5) Qjrg;
fi (2 COS • ) 1
et par conséquent
Va cos « (acos«) 1 a ( a cos « j? K °V
Va cos « (a cos mf T ' 2 ( a cos «j 3 &C 7
24o DE LA RÉSOLUTION
où il n'y a plus qu'à substituer au lieu de u sa valeur — - — ,
a cos •
On aura ainsi
(*) = P ((a cos •)•— (n— i ) (a cos •)"- + — g )("— g) ^ CQS
(n— 5)(«— 4)(n — 3) , ^ * • v 3 ( 2 cos «)•••**+ &c.J
+ Q((aco8.)— (a cos»)- 5 + ( "~ 4) (n ~ 3 , } (acot.)-*.
.ou il suffira de ne point admettre de puissances négatives de cos w.
Celte expression peut se réduire à une forme plus simple, en employant les formules connues des sinus des angles multiples ; on aura par ce moyen
. . sin ( n + î ) » sin n »
sin et 9
comme Euler l'a trouvé dans l'Introduction à l'Analyse j mais la formule précédente a l'avantage de pouvoir s'appliquer facilement aux fractions dont le dénominateur est une puissance quelconque, En effet , pour la fraction
( 1 — a X cos a» -+■ X* )*
on aura le terme général — (/*)' x' -, et en prenant la fonction dérivée de l'expression de (n) en u , on aura
Va cos » (a cos » r
a (a cos ») J /
2 cos m (a cos»)»
a ( a cos • ) J /
et
DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. zli
et substituant pour u sa valeur , il viendra
r a cos *
— (/7)' = P((« + 1) (2cos«) , - M — (n — i) n (2cos«)" + i
+ i — — -(2 COS*)" 3 — &c.)
+ Q(n (2 cos w)"— (n — a) (n — i) (3Cos«»)' , - ,
+ v £-i i-J '(2 COS») * — &c.)
où il suffira aussi de pousser les séries jusqu'aux puissances négatives de cos « exclusivement , et ainsi de suite.
Reprenons maintenant l'expression générale en u , du coefficient {ri) de la puissance x* dans le développement de la fraction — — s- î et supposons que le numérateur t x soit
i — f Xy ou plus généralement de la forme 4 x ( î /' x) , c'est-à-dire qu'il soit le produit de la fonction dérivée du dénominateur prise négativement , par une fonction -l x f qu'on suppose entière et rationnelle. Faisant la substitution de 4 u ( i u ) au lieu de f u , on aura
4 M 4uxf'u ^ 4«x/« Y / 4« xfufu \'
et par conséquent
Hi DE LA RÉSOLUTION
Donc faisant ces réductions , et supposant pour abréger
V tt = -
on aura
Cette formule servira à trouver l'expression du terme général (;/) * n dans le développement de la fraction
suivant les puissances de x, pourvu qu'on ait soin de ne retenir que les termes qui contiennent des puissances négatives de u.
Supposons *x = i , et par conséquent tB»i J tBSs«- , - , J on aura le terme général («) x" du développement de la frac-
t,on Or si *, H , y y &c. sont les racines de l'équa-
tion u — x + f x — o , ce terme sera exprimé par
par ce qu'on a démontré dans la Note VI. On aura donc , en mettant n à la place de n + i ,
«n ne conservant que les puissances négatives de u.
DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 2 p Soit proposée , par exemple , l'équalion a — b x + c#' = o, dont les racines soient «, et fi.
On la divisera par b pour la réduire à la forme u — x + fx t
on aura f x — ~, et la valeur de u sera 7. Donc chan-
géant * en u dans / x , on aura / u = — , et de - là
(« 7x/« = 5 , C«-yx/-»=^ £ ,
{tr*yxfu=* - , &c. Donc
+ 7 = u - T " + ST* B
