O \fl

en continuant cette série tant qu'il y aura de puissances positives de -.

Si on vouîoit avoir la somme des puissances positives + il n'y auroit qu'à considérer l'équalion ai' — b x + c = o >qui

résulte de l'équation précédente , en changeant * en - , et doi t Us racines sont par conséquent - et ce qui ne demande que

Hh a

de changer a en c et c en a. On aura donc ainsi

En général , « , 4, y , &c. étant les racines de l'équation « — * + f * = o,

on aura

£ étant le coefficient de la plus haute puissance de x - t et prenant les fouctions dérivées de part et d'autre ,

donc divisant et changeant les signes

« - x + /* - . - * + j~zr- x + 7^ + &c -

et multipliant par 4 x

u — x J x <*■ — x ,3 — x > — x ' Or 4 x étant supposé une fonction entière de x , on pourra la diviser par * — x , jusqu'à ce qu'on parvienne à un reste tans x j et pour trouver tout de suite ce reste , il n'y a qu'à considérer que 4 * — 4 x est divisible par * — x , le quotient étant une fonction entière de x et * , que nous désignerons par F (x , a ) j et si 4 x est une fonction du degré m, il est clair queF(x,*)sera du degré /n— 1 . Donc, puisque 4»— 4 x = F(x, *) x (*— x) } on aura

4x= 4« — F(*,«) x(*— x)j donc =— F(x, *) + 4 — .

* « et x

On trouvera de même -i£~ = F(*,/3) + et ainsi

des autres. Donc , en faisant ces substitutions , on aura

-J (l rff* = - F (*>«) - F - F(*,>)-&c.

* — x fi — x > — x

En résolvant ces fractions en séries, on aura après les m — i premiers termes , dans lesquels se fondent les parties entières — F (*,*), — F {x i fi) i &c. une suite régulière dont le terme général sera

de sorte qu'on aura , n étant > m ,

W = ^ + jï+T + yT=T + &c « C'est le terme général de la suite récurrente qui résulte de

la fraction f-^ , exprimé par les racines « , fi , y . &c.

de l'équation u-~ x -f f x = 0*

En comparant cette expression avec l'expression générale de (n) en « trouvée ci-dessus, et mettant pour plus de simplicité n à la place de n + 1 , on aura

où * « = , et où on ne doit retenir que les termes qui

contiendront des puissances négatives de u.

Supposons maintenant que l'exposant n soit infiniment grand, en sorte que le terme (//) x*~ ' , auquel il répond dans la série récurrente , soit pris à une trèi-grande distance de l'origine ,

a46 DELA RÉSOLUTION

on pourra alors regarder la fonction f u = comme ne

contenant que des puissances négatives de u , et môme toutes les fonctions Hr' u xf u , f' u X f* u , &.C. comme ne contenant aussi que des puissances négatives de u j du moins cette supposition sera d'autant plus exacte , que le nombre n sera plus grand. Dans cette hypothèse, H n'y aura aucun terme à rejeter dans l'expression de (n) , et on pourra regarder la série

comme allant à l'infini sans aucune interruption.

Or j'observe que toute série de cette forme , dans laquelle **• u et f u sont des fonctions quelconques de u , a cette propriété remarquable , que si on la multiplie par une autre série semblable , dans laquelle , à la place de la fonction *" u , il y ait une autre fonction quelconque n u, le produit sera encore une série semblable , mais dans laquelle il y aura t u x n « à la place de t u. Eu effet , si on multiplie ensemble les deux séries

, . / V u X f* u\' , u X P u\" TB + +»xfu + ( V L ~ ) + ( ^J—) + & c -

on a

-f- (fttxn'w + n a x

Or f « x n' u + n u x V u = ( f u x n «)',

donc la série devient

* x n « + ( * « x n w )' / « , + £ (* » x n* » + 2 *' « x n' M + n w x *"u) pu> ;+ (* u xn uYfuf u + &c

savoir

t.xa,t(wii ll )7.t(t t " x ^yj!) + &c .

Et on trouvera la même chose en poussant la multiplication plus loin , et en rassemblant les termes qui contiennent les mêmes dimensions de / u.

Donc en général si on dénote par (* u) la série qui contient la fonction * w, et de même par (n a) la série qui contient n u , la fonction / u demeurant la même dans les deux séries , il résulte de ce que nous venons de trouver que l'on aura

(*«) x (n u) = (Va x n «), et comme cette propriété a lieu quelles que soient les fonctions •>i'Metna,sionfait , i'ttxnw=+M,onaura(*«)x(n w ) — (*„).

aono(n„>= ( ; l^ im aisn B = l2, don» £ïî (±JL) ,

c'est-à-dire que le quotient de deux séries semblables, lesquelles contiennent deux fonctions différentes , * u et *" u , sera aussi une semblable fonction qui contiendra le quotient de ces mèmea fonctions.

Donc si on prend deux nombres très grands , « et « + r, dont la différence r soit un nombre quelconque positif ou négatif, le quotient de la quantité

divisée par la quantité

/S""*" y~*" sera exprimée par la série infinie

* u + *> u xfu + ( *"*^ f/ ) + &c: •

en faisant * u = ~ divisé par ~ , c'est-à-dire ¥ m = w\

D'un autre côté , n étant un nombre infiniment grand , il est visible que les deux quantités ci-dessus se réduisent à leurs

premiers termes et —^r r , * étant la plus petite des racines