A CL

« , /S , y , &c. Donc le quotient de la première de ces quantités, divisée par la seconde , se réduira à *' -, d'où résulte ce théorème très-remarquable.

Si * est la plus petite des racines de l'équation u — x + f x = o,

on aura

*' = * + (u')'xfu+ Ç J ) +Q-L-J-) + &c.

r étant un nombre quelconque positif ou négatif.

Ainsi on a par cette formule, non -seulement la racine « , mais encore une puissance quelconque de la même racine.

Si on fait maintenant r — — n, n étant un nombre fini quelconque, et qu'on compare cette formule avec celle qu'on a

donnée plus haut pour la valeur de — + — + — + &c. oa

en tirera la conclusion suivante très- singulière. Si dans la formule

»- + {u -.y fu + (OC^)' + *c.

on ne retient que les termes qui ont des puissances négatives de u , elle donne la valeur de la somme des puissances — n

de

de toutes les racines a. , j8 , 7, &c. .vi o« v conserve tous les termes , elle ne donnera que la même puissance de la plue petite racine a.

Ainsi , comme nous avons déjà trouvé plus haut pour les racines * et £ de l'équation ex* — bx + a = o , la formule

,» ( ,-6)(,-^ ( y ttt . •

2 . o b' \<i/ en ne continuant la série que tant qu'il y a de puissances

positives de -, si on continue cette même série à l'infini sans

aucune interruption , on aura alors la valeur du seul terme — ,

en prenant pour * la plus petite des deux racines * et /3 j et même on pourra y faire n positif , ou négatif à volonté. Les deux racines de l'équation ex* — b x + a = o élatit

d et £ , celles de l'équation a x* — b x + c — o , seront - et j ,

et l'on aura

1^6 ( \/(b % — 4ae) 1 b y/(i'-4ac)

* étant supposée la plus petite des deux racines. Ainsi la série

en ne retenant que les puissances positives de - , c'est-à-dire

les puissances négatives de a , sera égale à

(& + /(A'-iac))' + (b — x/ (b' — jo c))»

/z étant un nombre entier quelconque j et si on continue

è5o de la résolution

la série à l'infini , elle deviendra égale à

n étant un nombre quelconque positif ou négatif.

La première partie de celte proposition est facile à vérifiVr par le simple développement des puissances n*™", puisque le radical y/ ( — 4 a c ) disparoît de lui-même j et d'ailleurs elle est déjà connue par le théorème de Moivre.

Pour vérifier l'autre partie , il faut réduire en série le radical lui-même. Ainsi en faisant, par exemple , n = 1 , la série devient

b c lac* 3.4 a* c s g c

a b " ub 1 2.3 b' ~ ' laquelle peut se mettre sous cette forme b b x a c 1.1 $ac % i.i.S 3îo'c 1 ^ 2 a a a 2' b 2. 4* ô 1 2.4.6* b 1

Or cette dernière série est évidemment égale à -—^ ^&^ ac \

Soit l'équation indéfinie

a — b x + ex 1 — c* x 1 + e i 4 — y ï 5 + &c. sa o 1 on fera dans la formule générale du théorème ci-dessus c u % — - </ m 3 + e u 1 — f u 5 + &c.

d'où Ton tire •

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. a5i Or (a r )' = /' j donc

Prenant les fonctions dérivées , et substituant dans la formule

dont il s'agit , on aura , après avoir fait u = - , et changé « en x,

+ îFn ^ + + v

r / (r + 5)(r + 4)q-+V (rjfi)(rf 5 ) a ^x3cd v r / (i- + 7)Cr+ 6)( r + 5)a^c« x

+ TXi V +

Si r = î , on aura

Ii a

25a DE LA RÉSOLUTION

C'est la formule connue de Newton , pour le retour des suites, qu'on n'avoit encore trouvée que par la méthode des indéterminées. L'analyse précédente , en même temps qu'elle donne la loi de cette formule et le moyen de la continuer aussi loin qu'on voudra , fait voir que la valeur de * qu'elle exprime est la plus petite des racines de l'équation proposée.

Si on veut appliquer la formule précédente à la détermination de la valeur de p dans l'équation

que nous avons considérée au commencement de cette Note , il n'y aura qu'à substituer F a , — F' a , | F" a , — -~ F " a &c.

bu lieu de a , b , c , d , &c. et p au lieu de x ; on aura ainsi

F « (Fa)'Fa (Fa)^ »(F*V(F" g )' „ P ~ t'a + 2 (F'a) s a.3(Fa)» 2 (Fo) 5 * '

ce qui donne la même série que nous avons trouvée par deux méthodes différentes.

Nous pouvons généraliser encore la formule du théorème donné plus haut. En effet , puisque * est une des valeurs de x » ce théorème peut se présenter ainsi.

L'équation x = u + f x donne en général

Or , soit F x une fonction quelconque donnée de * , on peut la supposer réduite à la forme M x' + N x' + P x' + &c. ainsi , pour avoir la valeur de F 4; , il n'y aura qu'à ajouter ensemble les valeurs de x , x' ^ x' t &c. multipliées respectivement par M , N , P , &c. j on aura par ce moyen une formule dans laquelle , à la place de « r , il y aura M u' -f N «' + P u' + &c. c'est-à-Jirc F u, et par conséquent F' u à la place de («')'.

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. c55 De - là résulte enfin ce nouveau théorème, remarquable autant par sa généralité que par sa simplicité. L'équation x = u + f x donne -

F * = F u + F' uxfu + -(F' uxf 1 u)' + A (F' uxP u)" + &c.

où les fonctions désignées par les caractéristiques f et F ^peuvent être quelconques*

En effet , ce théorème , présenté Je cette manière , est indépendant de la considération des racines , et n'est plus qu'un résultat de la transformatiou des fonctions , qu'on peut vérifier par l'élimination successive de x ou de f/. J'ai donné le premier ce théorème dans les Mémoires de l'Académie de Berlin, pour l'année 17G8 ; j'y étois parvenu par une analyse à-peu-près semblable à la précédente , mais moins rigoureuse. Plusieurs Géomètres se sont occupés depuis à le démontrer à posteriori par le développement des fonctions j mais Laplace en a donné, dans les Mémoires de l'Académie des Sciences de Paris, pour l'année 1777 , une démonstration directe et élégante, tirée du Calcul différentiel ; c'est cette démonstration que j'ai transportée dans la Théorie des fondions ( n°. 99).

Avant de terminer cette Note , je crois utile de montrer comment la méthode que j'ai donnée au commencement de cette même Note, pour résoudre par approximation l'équation F ( a + p ) = o , peut être appliquée à la résolution siraultauée de plusieurs équations à plusieurs inconnues.

Supposons que l'on ait deux équations entre les deux inconnues x et y , que nous désignerons en général par F (x,jy) = o et/(x,j) sa 0. Supposons de plus qu'on connoisse déjà deux Valeurs approchées a et b de x et y j en sorte qu'en faisant x — a + p ,y — b + q , les quantités p et q aient des valeurs furt petites. 11 s'agira de tirer ces valeurs des deux équations -F(a + j>,ô + y) = o, / (a + /> > 6 + ? ) =* o. Je puis supposer que a et b soient fonctions de deux autres

quantités * et j3 , de manière que ces quantités devenant a 4- i et /3 + o , les quantités a cl b deviennent a + p et A -f%^- Je puis supposer de plus que ces fonctions soient telles quo .F ( a, é) = * et f (a,b) = 0 j ce qui donnera , en mettant

* -f i et £ -f o au lieu de * et j8 ,

de sorte que les équations proposées deviendront alors * + * = o et 0 -f o = o ; d'où l'on tire * = — * = — F ( a , A) et

Or, en adoptant la notation des fonctions dérivées , indiquée dans la Note précédente , les fonctions a et b des quantités

* et 0, lorsque ces quantités deviennent * + i et 0 + o , se développent dans les séries

» + (7> + (ft 0 + (t-YI + (t?)'" + ($7 + &c -

6 + (£> + (S 0 + (£) ; + (tf)' 0 + (?) t + &c -

Donc , substituant — F (a, A) pour * et — / ( a, pour o , on aura

. +K^) t ^' + (tf) F(o '* )x /<••*>

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. a55 où il n'y aura plus qu'à substituer les valeurs des fonctions

o' ci b' partielles (-7-) , £yj , \M » &c * ^ u ' on lirera °*es équations

F (a, b) ^ *, et /(a, ft) s-f |

en prenant successivement les fonctions dérivées relativement à * et 0 , et substituant à mesure les valeurs déjà trouvées dans les suivantes.

Ainsi on aura d'abord

Mais on a en général , relativement à a et b ,

/(0)i ) = (£i^) a ' + (/ll^)) i ' )

donc , en regardant a et 6 comme fonctions de * et fi , on aura , relativement à chacune de ces quantités en particulier ,

d'où Ton tirera les valeurs des quatre fonctions dérivées partielles du premier ordre (— ) , (-), (L) 9 (A.)', «primée s