A,= — BA, — 4D
c.= mA A + 6 £M'
A,= mA 6 + ,5A.A 4 -ao^-i a &c.
b a, — a a t + Vr, c = g
10. Corollaire 1. Puisque les racines de l'équalion (D)sont les carrés des différences entre les racines de l'équation
,i DE LA RÉSOLUTION
proposée (B) , il est clair que si cette équation (D) avoit tous ses termes de même signe, auquel cas elle n'auroit aucune racine réelle et positive; il est clair, dis-je, que, dans ce cas, les diffé- ' rences entre les racines de l'équation (B) seroient toutes imaginaires; de sorte que cette équation ne pourroit avoir qu'une seul© racine réelle , ou bien plusieurs racines réelles et égales entr'elles. Si ce dernier cas a lieu , on le reconnoîirn, et on le résoudra par les méthodes connues ( f oyez aussi plus bas le chapitre II); à l'égard du premier cas, il s'ensuit du n°. 6 qu'on pourra prendre A = i.
11. Corollaire 2. Si l'équation (B) a une ou plusieurs couples de racines égales, il est clair que l'équation (D) aura une ou plusieurs valeurs de w égales à zéro; de sorte qu'elle sera alors divisible une ou plusieurs fois par v. Cette division faite, lorsqu'elle a lieu , soit l'équation restante disposée à rebours de cette manière :
r étant = ou < n; qu'on fasse v = — , et ordonnant l'équation par rapport a .y, on aura
y + + ay— + y y- s +,&c. + » == o (F).
Qu'on cherche par les méthodes connues la limile des racines positives de cette équation , et soit / cette limite j en sorte que /
6urpas6e chacune des valeurs positives de y : donc — sera moindre que chacune des valeurs positives de — ou de t> j et par
conséquent moindre que chacune des valeurs de u % , à cause de v — u % { problême précédent ).
Donc -4-, sera nécessairement moindre qu'aucune des valeurs
de u f c'est-i-dire qu'aucune des différences entre les racines réelles et inégales de l'équation proposée (B).
DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. *i5 Donc, i°. si \/ l < i , alors on sera sûr que l'équation (B) n'aura point de racines réelles dont les différences soient moindres que l'unité : ainsi , dans ce cas , on pourra faire sans scrupule A = i (n°. 6).
a 0 . Mais si v/ / = ou > i , alors il peut se faire qu'il y ait dans l'équation (B) des racines dont les différences soient moindres que l'unité j mais , comme la plus petite de ces différences
sera toujours nécessairement plus grande que on pourra
toujours prendre a = ou < ( numéro cité).
En général , soit t le nombre entier qui est égal ou immédiatement plus grand que y/ /, et on pourra toujours prendre a = 4~*
1 1» Scholie i. Quant à la manière de trouver la limite des racines d'une équation , la plus commode et la plus exacte est celle de Newton, laquelle consiste à trouver un nombre dont les racines de l'équation proposée étant diminuées, l'équation résultante n'ait aucune variation de signe j car alors cette équation ne pourra avoir que des racines négatives j par conséquent le nombre dont les racines de la proposée auront été diminuées, surpassera nécessairement la plus grande de ces racines. Ainsi , pour chercher la limite l des racines de l'équation
(F) y + *v'-' + fif— -h >y 3 + &c.=o,
on y mettra^ + l au lieu de y , et ordonnant l'équation résultante par rapport ky , elle deviendra
P + Qjr + Ry + sy + &c. +y = o dans laquelle
P sa r + « + $ V~ % + y r~ 3 + &C. + *
R = 'Jl^ll + <r-i)(r->) ^ ^ + ^
et il n'y aura qu'à chercher une valeur de / qui , étant substituée' dans les quantités P , Q , R, &c. les rende toutes positives j en commençant par la dernière de ces quantités, laquelle n'aura que deux termes, et remontant successivement aux quantité» précédentes , on déterminera facilement le plus petit nombre entier qui pourra être pris pour / , et qui sera la limite la plus proche cherchée.
Si on vouloit éviter tout tâtonnement , il n'y auroit qu'à prendre pour /le plus grand coefficient des termes négatifs de l'équation (F) , augmenté d'une unité; car il est facile de prouver qu'en donnant à / cette valeur, les quantités P , Q, R , &c. seront toujours positives.
Cette manière d'avoir la limite des racines d'une équation quelconque , est due , je crois, à Maclaurinj mais en voici une autre qui donnera le plus souvent des limites plus approchées.
Soient — m y'~ m — r y~* — tt y* — &c. les termes négatifs de l'équation (F) , on prendra pour / la somme des deux plus
grandes des quantités V^'i V"*, &c. ou un nombre quel* conque plus grand que cette somme. Cette proposition peut se démontrer de la même manière que la précédente j ainsi nous ne nous y arrêterons pas.
Au reste , il faut observer que les limites trouvées de l'une ou de l'autre de ces deux manières seront rarement les plus prochaines limites. Pour en avoir de plus petites , on essaiera successivement pour / des nombres moindres , et on prendra le plus petit de ceux qui satisferont aux conditions que P, Q,R, &c. soient des nombres positifs.
10. Scholie 3. Ayant donc trouvé la limite / de l'équation (F) ,
et jpris k égal ou immédiatement plus grand que \/ ï, on fera
A r= — (n°. n)» e * 011 substituera successivement dans
l'équation proposée à la place de l'inconnue les nombres
DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 17 1 a 3
o, — , — , — , &c. j les résultats venant de ces substitutions formeront une série , dans laquelle il y aura autant de variations de signe que l'équation proposée contiendra de racines réelles positives et inégales , et de plus chacune de ces racines se trouvera entre les deux résultats consécutifs qui seront de signes différens j de
sorte que si les nombres -j- , et - ~ 1 donnent des résultats de
signe contraire , il y aura une racine entre — , et — j — j par
conséquent le nombre entier qui approchera le plus de — sera la
valeur entière approchée de cette racine (n°. a ).
Ainsi on connoîtra par ce moyen , non-seulement le nombre des racines positives et inégales de l'équation proposée , mais encore la valeur entière approchée de chacune de ces racines.
Au reste , il est clair que si l'on trouvoit un ou plusieurs résultats égaux à zéro, les nombres qui auroieut donné «es résultats «eroient des racines exactes de l'équation proposée.
Pour faciliter et abréger ce calcul , on fera encore lesremarques suivantes ;
i°. Si on cherche par les méthodes des numéros précédens la limite des racines positives de l'équation proposée, il est clair .qu'il sera inutile d'y substituer à la place de l'inconnue des nombres plus grands que cette limite. En effet , il est facile de voir qu'en substituant des nombres plus grands que cette limite, on aura toujours nécessairement des résultats positifs. Ainsi , nommant x la limite dont il s'agit , le nombre des substitutions à faire sera égal à * k , et par conséquent toujours limité.
En général , sans chercher la limite * , il suffira de pousser les substitutions jusqu'à ce que le premier terme de l'équation ou la somme des premiers termes, s'il'y en a plusieurs consécutifs avec le même signe -f, soit égale ou plus grande que la somme ide tous les termes négatifs j car il est facile de prouver , par la
méthode du n". 7 , qu'en donnant à l'inconnue des valeurs plus grandes, on aura toujours à l'infini des résultats positifs.
a 0 . Au lieu de substituer à la place de 1'inconuue x les frac-
tions & c - on y mettra d'abord — - à la place de x , ou ce
qui revient au même , on multipliera le coefficient du second terme par h , celui du troisième terme par k % , et ainsi des autres j et on y substituera ensuite à la place de x les nombres naturels 0,1,2,3, 8tC. jusqu'à la limite de cëtte équation , ou bien jusqu'à ce que le premier terme ou la somme des premiers , quand il y en a plusieurs consécutifs avec le même signe , soit égale ou plus grande que la somme des négatifs j parce mo3'en, les résultats seront tous des nombres entiers , et les racines de l'équation proposée se trouveront nécessairement entre les nombres consécutifs qui donneront des résultats de signe contraire , ces nombres étant divisés par k , comme nous l'avons va plus haut.
3°. Soit m le degré de l'équation dans laquelle il s'agit de substituer successivement les nombres naturels o , 1 , 2 , 3 , &c. je dis que , dès que l'on aura trouvé les m + 1 premiers résultats , c'est-à-dire ceux qui répondent à x = o, 1,2, &c. m , on pourra trouver tous les suivaus par la seule addition.
Pour cela , il n'y aura qu'à chercher les différences des résultats trouvés, lesquelles seront au nombre de m, ensuite les différences de ces différences , lesquelles ne seront plus qu'au nombre de m — 1 , et ainsi de suite jusqu'à la différence m tmt .
Cette dernière différence sera nécessairement constante, parce que l'exposant de la plus haute puissance de l'inconnue est m i ainsi on pourra continuer la suite des différences m*»" aussi loin qu'on voudra, en répétant seulement la même différence trouvée j ensuite , par le moyen de cette suite, on pourra, par la simple addition, continuer celle des différences m — i""*, et à l'aide de celle-ci on pourra continuer de même la suite des différences m — a'*", et ainsi de suite , jusqu'à ce que
l'on arrive à la première suite , qui sera celle des résultats cherchés.
Il est bon d'observer ici que si les termes correspondais des différentes suites dont nous parlons étoient tous positifs , les termes suivans dans chaque suite seroient tous aussi positifs. Or, puisque la dernière différence est toujours positive , il est clair qu'on parviendra nécessairement dans chaque suite à des termes tous positifs; ainsi il suffira de continuer toutes ces suites jusqu'à ce que leurs termes correspondans soient devenus tous positifs, parce qu'alors on sera sûr que la série des résultats , continuée aussi loin qu'on voudra , sera toujours positive, et que, par conséquent , elle ne contiendra plus aucune variation de signe.
Pour éclaircir ceci par un exemple , soit proposée l'équation
on trouvera d'abord que les résultats qui répondent à * = o , 1 , 2, 3, sont i8tj, 127 , 71 , 27, d'où l'on tirera les différences premières — 62 , — 55 , — 4 f , les différences secondes G , 1 2 , et la différence troisième 6 j ainsi on formera les quatre séries suivantes :
dont la loi est que chaque terme est égal à la somme du terme précédent de la même série , et de celui qui y est au-dessus dans la série précédente ; de sorte qu'il est très-facile de continuer ces séries aussi loin qu'on voudra.
Or, la dernière de ces quatre séries sera, comme l'on voit, celle des résultats qui viennent de la substitution des nombres naturels 0,1,2, &c." à la place de x dans l'équation proposée 5 et comme les termes de la septième colonne , savoir : 6 , 42 , 6 i , 27, sont tous positifs , il s'ensuit que les termes suivans seront tous aussi positifs ; de sorte que la série des résultats, continuée aussi loin qu'on voudra, n'aura plus aucune variation de signe.
oo DE LA RÉSOLUTION
l4. Remarque. On avoit déjà remarqué que l'on pouvoît trouver la valeur approchée de toutes les racines réelles et inégales d'une équation quelconque , en y substituant successivement à la place de l'inconnue diflerens nombres en progression arithmétique ; mais cette remarque ne pouvoit pas être d'une grande utilité , faute d'avoir une méthode pour déterminer la progression que l'on doit employer dans chaque cas ; en sorte que l'on soit assuré qu'elle fasse connoîlre toutes les racines réelles et inégales de l'équation proposée. Nous en sommes heureusement venus à bout , à l'aide du problême du n°. 8.
Au reste , nous verrons encore ci-après d'autres usages de ce même problème par rapport aux racines égales et imaginaires.
