CHAPITRE IL

De la manière d'avoir les racines égales, et les racines imaginaires des équations.

l5. Nous n'ayons considéré, dans le chapitre précédent, que les racines réelles et inégales de l'équation proposée (B) j supposons maintenant que cette équation ait des racines égales : dans ce cas, il faudra (n°. 1 1 ) que l'équation (D) soit divisible autant de fois par w , qu'il y aura de combinaisons de racines égales deux à deux ; par conséquent , il faudra qu'il y ait dans cette équation (D) autant des derniers termes qui manquent; ainsi on connoîtra d'abord par ce moyen combien de racine» , égales il y aura dans la proposée.

Or , puisque dans le cas des racines égales on a nécessairement u = o (n°. 8)', l'équation (C) du même numéro donnera pour ce cas Y = o ; ainsi il faudra que les deux équations en x , X = o, et Y = o, aient lieu en même temps lorsque x est égal à une quelconque des racines égales de l'équation (B).

On cherchera donc, par les méthcdes connues , le plus grand commun diviseur des deux polynômes X et Y j et faisant ensuite ce diviseur égal à zéro , on aura une équatiou qui ne sera composée que des racines égales de la proposée , mais élevées à une puissance moindre de l'unité.

Soit R le plus grand commun diviseur de X et de Y, et X' le quotient de X divisé par R , il est facile de voir que l'équation X' = o contiendra toutes les mêmes racines que l'équation proposée X = o , avec cette différence que les racines multiples dé cette équation seront simples dans l'équation X' = o j ainsi l'équation X' = o sera dans le cas des méthodes précédentes.

an DE LA RÉSOLUTION

On peut encore , si Ton veut , trouver deux équations séparées, dont l'une contienne seulement les racines égales de l'équation X = o , et dont l'autre contienne les racines inégales de la même équation. Pour cela , il n'y aura qu'à chercher encore le plus grand commun diviseur des polynômes X' et Y; et nommant ce diviseur R", on prendra le quotient de X' divisé par R' , lequel ôlant nommé X", on fera ces deux équations X" =o,et R' — o.

La première contiendra seulement les racines inégales de l'équation X = o , et la seconde contiendra seulement les racines égales de la même équation , mais chacune une seule fois j de sorte que les deux équations X" = o , et R' = o , n'auront que des racines inégales , et par conséquent seront susceptibles des méthodes du chapitre précédent.

1 6. Connoissant ainsi le nombre des racines réelles , tant inégales qu'égales , de l'équation proposée , si ce nombre est inoindre que le degré de l'équation , on en conclura que les autres racines sont nécessairement imaginaires.

En général, pour que l'équation (B) ait toutes ses racines réelles , il faut que les valeurs de u soient réelles aussi j donc il faudra que les valeurs de «* ou de » soient toutes réelles et positives j par conséquent, l'équation (D) du n°. 8 doit avoir toutes ses racines réelles et positives ; donc il faudra , par la règle connue , que le6 signes de cette équation soient alternativement positifs et négatifs ; de sorte que , si cette condition n'a pas lieu , ce sera une marque sûre que l'équation (B) a nécessairement des racines imaginaires.

Or, on sait que les racines imaginaires vont toujours en nombre pair , et qu'elles peuvent se mettre deux à deux sous cette forme , * + £ y/ — i , * — $\/ — i,*etjS étant des quantités réelles j donc on aura u = d= a j3 y/ — î , et par conséquent v = — 4 j8* j d'où l'on voit que l'équation (D) aura nécessairement autant de racines réelles négatives qu'il y aura de couples de racines imaginaires dans l'équation (B).

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. r3

Donc , si on fait v = — w , ce qui changera l'équation ( D ) en celle-ci :

u>" + a iS~ 1 + b ufi— + c w n ~ 3 + &c. = o (G )

cette équation aura nécessairement autant de racines réelles positives qu'il y aura de couples de racines imaginaires dans l'équation (B).

Donc, si dans l'équation (G) il n'y a qu'un seul changement de signe, l'équation (B) n'aura que deux racines imaginaires (n°. 7).

I y • Il suit du numéro précédent que , pour avoir la valeur des racines imaginaires de l'équation (B ) , il n'y a qu'à chercher les racines réelles positives de l'équation (G). En effet, soit

nr 9 w , w \ &c. ces racines , on aura d'abord — — , — — , — , &c.

pour les valeurs de j8 ; ensuite , pour trouver les valeurs correspondantes de * , on substituera , dans l'équation (B ) , * + 0 j/ — i , à la place de x , et on fera deux équations séparées des termea tous réels , et de ceux qui seront multipliés par y/ — î j de cette manière , on aura deux équations en * de cette forme : *» + P*— + Q «""' + &c. = o ^

dans lesquelles les coefliciensP , Q , &c.p, q> &c. seront donnés en a, b , c s &c. et en $.

Doue, si on donne à j8 quelqu'une des râleurs précédentes , il faudra nécessairement que ces deux équations aient lieu en même temps , et par conséquent il faudra qu'elles aient un diviseur commun. On cherchera donc leur plus grand commun diviseur ; et le faisant égal à zéro , on aura une équation en * et /3 , par laquelle , j9 étant connu , on trouvera <t.

II est bon de remarquer que , si toutes les valeurs de £ tirées de l'équation (G) sont inégales entr'elles , alors à chaque valeur de fi il ne pourra répondre qu'une seule valeur de a ; donc, dans ce cas, les deux équations (H) ne pourront avoir qu'une seule

racine commune j et par conséquent leur plus grand commun diviseur ne pourra être que du premier degré.

On poussera donc la division jusqu'à ce que Ton parvienne à un reste où * ne se trouve plus qu'à la première dimension , et on fera ensuite ce reste égal à zéroj ce qui donnera la valeur cherchée de a.

Mais si, parmi les valeurs de £ tirées de l'équation ■( G ) il y en a , par exemple , deux d'égales entr'elles , alors , comme à chacune de ces valeurs égales de ,S il peut répondre des valeurs différentes de «, il faudra qu'en mettant celte valeur double de d dans les équations (H) , elles puissent avoir lieu par rapport à l'une et l'autre des valeurs de * qui y répondent j ainsi ces deux équations auront nécessairement deux racines communes , et par conséquent leur plus grand commun diviseur sera du second degré. Il faudra donc , dans ce cas , ne pousser la division que jusqu'à ce que l'on arrive à un reste , où * se trouve à la seconde dimension seulement j et alors on fera ce reste égal à zéro , ce qui donnera une équation du second degré , par laquelle on déterminera les deux valeurs de *, lesquelles seront nécessairement toutes deux réelles.

De même , s'il y avoit trois valeurs égales de 0 , il fau droit , pour trouver les valeurs de * qui répondroient à cette valeur triple de g , ne pousser la division que jusqu'à ce que l'on parvînt à un reste où la plus haute puissance de * fût la troisième ; et alors faisant ce reste égal à zéro , on auroit une équation en * du troisième degré, laquelle donneroit les trois valeurs réelles de *, correspondantes à la même valeur de fi , et ainsi de suite,