CHAPITRE III

Nouvelle Méthode pour approcher des racines des équations numériques.

l8. Soit l'équation

A x m + Bx m ~' + C * M -* + &c. + K as o .... (a) et supposons qu'on ait déjà trouvé par la méthode précédente, ou autrement , la valeur entière approchée d'une de ses racines réelles et positives j soit cette première valeur p , en sorte que

l'on ait x > p et x <p + 1 , on fera x = p + — j et substituant

cette valeur dans l'équation proposée , à la place de x, on aura , après avoir multiplié toute l'équation par y, et ordonné les termes par rapport à y , une équation de cette forme : A' y + Wy m ~ l + C'y-* + &c. + K' = o. ..(£).

Or , comme ( hyp. ) — > p et < 1 , on aura ^ > o } donc I'équa-

tion (à) aura nécessairement au moins une racine réelle plus grande que l'unité.

On cherchera donc , par les méthodes du chapitre I er , la valeur entière approchée de cette racine j et comme celte racine doit être nécessairement positive , il suffira de considérer y comme positif (n°. 4).

Ayant trouvé la valeur entière approchée dey, que je nommerai q , on fera ensuite^ = q et substituant cette valeur

de^ dans l'équation (b) , on aura une troisième équation en r de cette forme :

laquelle aura nécessairement au moins une racine réelle plus grande que l'unité, dont on pourra trouver de même la valeur entière approchée.

Cette valeur approchéedez,étantnomméer,onfera*==r + — ;

et substituant , on aura une équation en //, qui aura au moins une racine réelle plus grande que l'unité, et ainsi de suite.

En continuant de la même manière , on approchera toujours de plus en plus de la valeur de la racine cherchée; mais , s'il arrive que quelqu'un des nombres p y q y &c. soit une racine exacte , alors on aura x = p, ou y sa 7, &c. et l'opération sera terminée; ainsi, dans ce cas, on trouvera pour x une valeur commensurable.

Dans tous les autres cas , la valeur de la racine sera nécessairement incommensurable , et on pourra seulement en approcher aussi près qu'on voudra.

1 9. Si l'équation proposée a plusieurs racines réelles positives , on pourra trouver , par les méthodes exposées daus le chapitre I er , la valeur entière approchée de chacune de ces racines ; et nommant ces valeurs /? , p' , p" , &c. on les emploiera successivement pour approcher davantage de la vraie valeur de chaque racine ; il faudra seulement remarquer ,

i°. Que si les nombres p,p , p" , &c. sont tous différens l'un de l'autre , alors les transformées (b) , (c), &c. du numéro précédent , n'auront chacune qu'une seule racine réelle et plus grande que l'unité; car si, par exemple, l'équation (b) avoit deux racines réelles plus grandes que l'unité , telles que y' ety,

on auroit donc x=p + -yetx=p + -jj ; de sorte que ces deux

valeurs de x auroient la même valeur entière approchée p contre l'hypothèse : il en seroit de même si l'équation (c) , ou quelqu'une des suivantes , avoit deux racines réelles plus grandes que l'unité.

DES EQUATIONS NUMERIQUE?. 27

De -là il s'ensuit que , pour trouver dans ce cas les valeurs entières approchées q , r, &c. des racines des équations (b) , (c), &c. il suffira de substituer successivement à la place de y , s, &c. les nombres naturels positifs 1 , 2 , 5 , &c. jusqu'à ce que l'on trouve deux substitutions consécutives qui donuent des résultats de signe contraire ( n°. 6).

a 0 . Que s'il y a deux valeurs de x qui aient la même valeur entière approchée p , alors , en employant cette valeur, les équations (£),(c), &c. auront chacune deux racines réelles plus grandes que l'unité , jusqu'à ce que l'on arrive à une équation dont les deux racines , plus grandes que l'unité , aient des valeurs entières approchées différentes; alors chacune de ces deux valeurs donnera une suite particulière d'équations , dont chacune n'aura plus qu'une seule racine réelle plus grande que l'unité.

En effet , puisqu'il y a deux valeurs différentes de x qui ont la même valeur entière approchée p , ces deux valeurs seront

représentées par p + — j de sorte qu'il faudra que y ait nécessairement deux valeurs réelles plus grandes que l'unité : et , si ces deux valeurs de .y ont la même valeur approchée q , il faudra

de nouveau qu'en faisant y = q + — , z ait deux valeurs dif-

férentes plus grandes que l'unité , et ainsi de suite.

• Mais , si les valeurs entières approchées de y étoient

différentes , alors , nommant ces valeurs q et q 1 , on feroit

y — q + et y = q' + » et il est clair que z , dans l'une

et l'autre de ces deux suppositions , n'auroit plus qu'une seule valeur réelle plus grande que l'unité'} autrement les valeurs de y , au lieu d'être seulement doubles , seroient triples ou quadruples , &c.

Donc , quand on sera parvenu à une transformée dont les

deux racines , plus grandes que l'uuité , auront des valeurs entières différentes, alors les autres transformées résultantes de chacune de ces deux valeurs n'auront plus qu'une seule racine plus grande que l'unité ; par conséquent , on pourra trouver la valeur entière approchée de ces racines , en y substituant simplement les nombres naturels 1 , 2,3, &c. jusqu'à ce que l'on ait deux substitutions qui donnent des résultats de signes contraires (n°. G).

On peut faire des remarques analogues sur le cas où il y auroit dans l'équation (a) trois racines, ou davantage , qui auroient la même valeur entière approchée.

20. Nous avons supposé dans le n°. 18 que les racines cherchées étoient positives j pour trouver les négatives , il n'y aura qu'à mettre — x à la place de x dans l'équation proposée , et on cherchera de même les racines positives de cette dernière équation : ce seront les racines négatives de la proposée (n°. 4).

Quant aux racines imaginaires qui sont toujours exprimées par « + 0 \/ — î , nous avons donné , dans le chapitre II , le moyen de trouver les équations dont * et 0 sont les racines j ainsi il n'y aura qu'à chercher les racines réelles de ces équations, et l'on aura la valeur de toutes les racines imaginaires de l'équation proposée.