Pour faciliter les substitutions (n\ 18) de p -f- — , au

lieu de x, de q + au lieu de^, &c. il est bon de remarquer

que les coefficiens de la transformée (b) peuvent se déduire immédiatement de ceux de l'équation (a) , en cette sorte :

A' = Ap m + bp—' + Cp m — + Dp m ~ 3 + &c.

B' = mA/"'+ (m-OB/" + (m — *)C/>— 3 +&c.

c = »(»-o A,— + ^-'H^^Br'T&c,

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. ?g On aura de même ceux de la transformée (r) par ceux de la tranformée ( b ) , en mettant dans les formules précédentes q à la place de/), A", B , C, &c. à la place de A', B', C, &c. et A',B',C, &c. à la place de A, B,C, &c. et ainsi de suite.

De-là, il est évident que le premier coefiicient A' ou A", &c. ne sera jamai3 nul , à moins que le nombre p ou q , &c. ne soit une racine exacte, auquel cas nous avons vu que la fraction continue se termine à ce nombre ( n°. 18). En effet , si A' = o , ou A" = o , &c. on aura y — 00 , ou z — 00 5 donc x = p, ou y = q , &c.

22. Soient donc p , q, r , s, t, &c. les valeurs entières approchées des équations (a) , (b) , (c) , &c. en sorte que l'on ait

et substituant successivement ces valeurs dans celle de .r , on

aura

Ainsi la valeur de x , c'est-à-dire de la racine cherchée , sera exprimée par une fraction continue. Or, on sait que ces sortes de fractions donnent toujours l'expression la plus simple , et en même temps la plus exacte qu'il est possible d'un nombre quelconque, soit rationnel ou irrationnel.

Huygens paroît être le premier qui ait remarqué cette propriété des fractions continues, et qui en ait fait usage pour trouver les fractions les plus simples , et en même temps les plus approchantes d'une fraction quelconque donnée. ( f^oyez son Traité de Automate planetario. )

Plusieurs habiles géomètres ont ensuite développé davantage cette théorie , et en ont fait différentes applications ingénieuses et utiles ; mais on n'avoit pas encore pensé , ce me semble , à s'en servir dans la résolution des équations.

3o DE LA RÉSOLUTION