f-S + 5^=s + S'^-J^ (mod p

c'est ce dont on se convainc immédiatement si l'on se rappelle le sens de ces symboles et on en déduirait sans peine que les deux espaces, engendrés par a et par 3, sont isomorphes et, en particulier, qu'ils ont le même nombre de dimensions.

Il n'en serait plus de même si les suites s et s^ n'existaient pas. Supposons, en effet, qu'on ne puisse trouver une suite de mouvements telle qu'à une sensation de contact du doigt p avec un objet, eUe fasse succéder une sensation de contact du doigt a avec ce même objet, et cela sinon à coup sur, du moins presque à coup sûr, comment alors raisonnerions-nous ? Nous dirions que le doigt p sent l'objet sans être au même point de l'espace, qu'il le sent à distance ; autrement, toutes les fois que le doigt p sentirait l'objet, c'est qu'il serait en un même point A de l'espace ; alors il devrait y avoir une suite de mouvements qui amèneraient le doigta au point A; et comme l'objet est au point A, le doigt a devrait sentir l'objet et cela devrait réussir toujours. Si nous supposons donc qu'il n'y ait pas de suite de mouvements jouissant de cette propriété, il faut admettre que le doigt p sent le contact à distance, c'est-à-dire que le fait d'être senti par ce doigt ne suffit pas pour déterminer la position de

POURQUOI l'espace a TROIS DIMENSIONS 83

l'objet dans l'espace, c'est-à-dire enfin, que l'espace doit posséder plus de dimensions que le continu physique engendré par le doigt p de la façon que nous avons dite.

Je suppose par exemple que l'espace ait quatre dimensions, et je désigne par x, y, z, t les quatre coordonnées ; je suppose que le doigt Ê ressente le contact de l'objet, toutes les fois que les 3 coordonnées Xj y, z sont les mêmes pour le doigt et Tobjet, quelle que soit d'ailleurs la quatrième coordonnée ; et d'autre part que le doigt a ressente le contact de l'objet, toutes les fois que les 3 coordonnées Xy 'y, t sont les mêmes pour Tobjet et ce doigt, quelle que soit d'ailleurs la coordonnée!. Dans ces conditions, appliquons nos règles pour la construction du continu physique engendré par fi ; nous lui trouverons 3 dimensions seulement, qui correspondront aux trois coordonnées a?, y, z, la coordonnée ^ ne jouant aucun rôle. De même le continu physique engendré par a aurait 3 dimensions correspondant à, X, y et t. Mais nous ne pourrions trouver une suite de mouvements correspondant à une suite de sensations musculaires s, telle que la sensation de contact pour a succède, à coup sûr^, 4 la sensation de contact pour p.

Soient en effet, x^, y^, z^, t^ les coordonnées de l'objet, Xq, t/Q, ^0, Iq celles du doigt p avant le mouvement ; x'q, y'Q^ z'q, t^o celles du doigt a après le

84 DEBNIÈBES PENSÉES

mouvement. Nous exprimerons que le doigt ^ ressent le contact avant le mouTement ea écrivant :

(1) Xç^=x,,y^ = y^,ZQ = z,,

nous exprimerons que a ressent le contact après le mouvement en écrivant :

Pour que s existât, il faudrait que nous puissions choisir ar^, t/o, Sqj ^o^ ^V !/V ='oj ^o ^^ telle façon que les relations (1) entraînassent les relations (2) quelles que fussent d'ailleurs x^, y^, z^^ t^. Il est clair que cela est impossible. C'est précisément rimpo&sibilité de former s qui nous révélerait en pareil cas que l'espace aurait 4 dimensions et non pas 3 comme le continu physique engendré par ^. . Et d'ailleurs nous observons effectivement quelque chose d'analogue si nous faisons intervenir le sens de la vue. Considérons un point de la rétine, nous pouvons lui faire jouer le même rôle qu'à nos doigts a ou p. Nous pouvons considérer la suite de mouvements nécessaires pour ramener l'image d'un objet en ce point y de ]a rétine, ou la suite correspondante S de sensations musculaires ; nous pouvons BOUS servir de cette suite pour définir un continu physique analogue à celui qui était engendré par a au par p. Ct continu n'aura que deux dimensions.