CHAPITRE X

Particularisons cette formule pour le cas où r est égal à Tunité et où a; = s, elle devient

Or il sera facile de se convaincre, en examinant ce qui conœrne deux termes généraux consécutifs, et lorsque s, entier, est supérieur à 2, que, d'une part^ la somme d'un terme impair, quel qu'il soit^ avec le terme pair qui le suit immédiatement est toiyours positive ; que^ d'autre part, la somme d'un terme pair^ quel qu'il soit, avec le terme impair qui lui succède est toujours négative.

n est donc établi par là que, si Ton s'arrête à un terme de rang pair, la valeur du premier nombre sera supérieure à celle des deux premiers termes, c'est-à-dire à 2; que si Ton s*arrête à un terme de rang impair^ elle sera inférieure au premier terme, c'est-à-dire à i , ce qui est tout aussi inexact dans un

casque dans l'autre, la valeur exacte de (i +sf étant en effet comprise entre i et 2 ; de sorte que, pour l'obtenir, il ne faudrait s'arrêter ni à un terme pair qui donnerait trop, ni à un terme impair qni ne donnerait pas assez, ce qui revient à dire que la série à elle seule est évidemment impropre à nous la faire connaître, et que^ par conséquent, il est absolument impossible d'égaler cette série à cette fonction.

Pour le cas particulier où ^ = 2, la loi de positivité que nous venons d'indiquer subsiste dans toute l'étendue de la série pour l'addition d'un terme de rang impair avec le suivant. Elle est en défaut pour la négativité de l'addition d'un terme de rang pair avec celui qui lui succède, mais seulement lorsqu'il s'agit du deuxième et du troisième. On trouve alors que le résultat

est positif et égal à - ; mais,dès qu'on atteint le quatrième rang,

elle se vérifie ; on a par exemple pour ce couple — g> pour le suivant—^; leur réunion donnedonc — ^; elle fait par conséquent plus que compenser la fraction positive - du premier

couple^ après quoi tout le reste étant négatif, on rentre dans la règle générale y en vertu de laquelle on trouve que le premier membre de l'égalité devrait être moindre que Tunité.

Si 5 = I , l'égalité se vérifie ^ le premier membre et le second deviennent chacun égaux à 2, mais alors précisément, et c'est le seul cas dans lequel il en est ainsi, tous les termes s^annulent, sauf les deux premiers; la série disparaît^ et avec elle s'effacent toutes les contradictions que sa présence fait nattre. Si s devient nul, l'exposant passe à Tinfini et donne au premier membre Tunité, tandis que le second revêt la forme

valeur qui, loin d'être celle de l'unité, serait, d'après les errements admis, la valeur du nombre e, base des logarithmes népériens.

Enfin, si 5 = — 2, le premier membre prend la forme

-JL I

(—1) ' ou 7=; il est imaginaire, tandis que, dans le second

tous les termes, continuant de rester réels, forment la série

Nous arrêtons ici cette nomenclature déjà trop riche de contradictions; nous pensons que, si elle n'entraîne pas chez le lecteur la conviction que la formule de laquelle résultent ces conséquences est inexacte en principe, elle aura tout au moins fait naître dans son esprit les doutes les plus sérieux sur la légitimité des applications qu'on en pourrait faire.

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Tâchons maintenant de remonter à la source de toutes ces erreurs et de rectifier sur ce point les croyances algébriques. Il nous serait impossible, sans sortir des bornes que nous avons dû naturellement assigner à notre travail, de passer id en