CHAPITRE X. 2S

revue tout ce qui concerne les séries exponentielles, logarithmiques, circulaires ; nous concentrerons nos recherches sur ce qui intéresse le binôme, et même nous n'examinerons que le cas où Texposant restant entier passera du positif au négatif; mais nous dirons ici que tout ce que nous exposerons à ce sujet est applicable mot pour mot aux autres séries que nous venons de nommer, et qu'on est conduit pour elles exactement aux mêmes conclusions que celles que nous allons justifier pour celle du binôme.

Cela posé; remarquons d'abord que, de la nature même des procédés mis en œuvre pour former la puissance quand son exposant m est positif, on déduit les conséquences suivantes :

10 Le nombre de termes dont se compose le polynôme ordonné qui forme ce développement est fini et égal au degré de la puissance augmenté d'une unité.

20 Les exposants de a et de 6 dans chaque terme sont tous deux positifs, c'est-à-dire de même signe que l'exposant de la puissance^ et leur somme est toujours égale à celle de cet exposant.

3<^ Les coefficients des termes dont les rangs comptés à partir de chaque extrémité ont même indice sont égaux.

Or, lorsqu'on dit que le développement s'applique au cas où m est négatif, il faut bien remarquer qu'on ne se borne pas à prétendre que dans ce cas c'est seulement la loi de la formation des coefficients qui peut continuer à être appliquée, ce qui de prime-abord pourrait paraître un peu moins inexact ; non, on parle de la formule elle-même, et par conséquent on donne à entendre tout au moins (car à cet égard il s'en faut qu'on s'explique catégoriquement) qu'il s'agit de son application immédiate à ce nouveau cas dans la forme et dans l'état même suivant lesquels elle se trouve constituée lorsque l'exposant est positif.

Mais quand cet exposant change de signe, les trois conditions ci-dessus continuent-elles d'être vérifiées? non sans doute : la première (et nous insisterons beaucoup sur ce point) cesse d'être vraie, car le nombre des termes du développement devient infini, circonstance qui amène forcément l'anéantissement de la troisième, puisqu'alors il n'y a dans le développement qu'une extrémité fixe. Quant à la seconde condition, les

exposants de a et de b, étant l'un posititif, Tautre négatif, n'ont évidemment pas le même signe que m.

On voit donc que ce n'est pas sans dMmporlantes résenres qu'il est possible de dire que le développement du binôme lorsque Texposant est négatif est une déduction légitime de celui qui convient à Texposant positif; un tel énoncé n'est ni suffisamment clair quant aux termes, ni complètement exact quant au fond; il y a bien ici quelque chose qui ressemble aune pareille déduction, mais celle-ci n'est que partielle, elle n'est pas complète. Pour dissiper toutes les incertitudes il resterait à expliquer : Comment il se peut faire que dans un polynôme ordonné, ayant un nombre fini de termes, le changement de signe de Tune des lettres qui y entrent opère une transformation telle, que ce polynôme se change en une série ayant un nombre illimité de termes ? Gomment il se peut faire que le changement de -f m en — m qui rend tous négatifs les exposants de a n'opère pas de la même manière sur ceux de 6, chose d'autant plus remarquable que tout ici est symétrique par rapport à a et à 6? Pourquoi, tandis qu'à la place de a* on met-f-o""*» ce qui devrait naturellement conduire à mettre + 6^» à la place de + b*", pourquoi, dis-je, on remplace cette même expres-

sion + 1" par celle-ci : ±: m 5 — ... — a-** 6"?

Est-ce donc ainsi qu'on pratique dans les formules les changements ordinaires du positif au négatif? Ne prend-on pas au contraire chacun des termes individuellement et n'examinet-on pas ce qui doit advenir pour chacun d'eux en*particulier de la supposition que l'on fait qu'une des quantités qui y entrent^ de positive qu'elle était devient négative? et n'est-ce pas de l'ensemble des divers termes ainsi modifiés que doit se composer le nouveau résultat cherché? Est-ce bien ainsi qu'on opère pour le binôme? Ou bien perdant de vue cette condition indispensable de remplacer partout + m par —m, faut-il se laisser guider par une espèce d'analogie déduite seulement de la considération des premiers termes, et appliquer à toute la suite du développement, non plus le remplacement pur ^ simple de + m par — m, mais les conséquences de telle ou telle autre loi que cette analogie aura pu faire soupçonner ?

Il nous parait évident que c'est en se laissant diriger par des