CHAPITRE X. ^I3n

considérations de cette dernière sorte qu'on en est parvenu à la forme généralement attribuée au développemeut du binôme pour le cas où l'exposant est négatif. Aussi, après y avoir réfléchi, on finit par reconnaître que dans les démonstrations employées on a moins fait de l'analyse que de ranalogie> ainsi que nous le montrerons tout à Theure.

Au surplus, même sans sortir de Texposant positif, il ne serait pas exact de dire qu'ayant écrit le type général

(aj+i)"» = j?"» + mx*'"* + m a?"'-*+ .. .

+ m x^+mx+ 1,

il suffit pour obtenir la valeur de (a;+ 1)" de substituer nkm dans ce développement.

S'il devait en être ainsi, pour toutes les valeurs de n supérieures à m, le développement continuerait à n'avoir que m+i termes au lieu de n+i^ ce que personne ne sera disposé à admettre ; quant aux valeurs inférieures à m, il est facile de voir qu'elles donneraient constamment, lorsque n sera moin-

dre que—, non pas la valeur de {x+ 1)' , mais le double de

cette valeur.

Supposons par exemple qu'il s'agit du carré ; il faudra alors remplacer m par le nombre 2 ; les trois premiers termes du développement deviendront ainsi x*+ 2x+i; les suivants s'anéantiront à cause du facteur m— 2 qu'ils contiennent tous^ mais jusqu'aux trois derniers exclusivement, qui continueront de subsister et donneront encore x*+ 2 a; -f i .

On voit donc que si pour passer de la m'^ puissance de j;+i^ lorsque cette puissance est exprimée par la forme non développée (a; +i)^jr à celle du degré n il suffit de changer purement et simplement m en n , il s'en faut qu'il puisse être permis de procéder d'une manière analogue lorsque cette puissance est exprimée par son développement suivant la formule ordinaire. Il y a évidemment plus à faire ici qu'à substituer une lettre à une autre : dans certains cas il faut au préalable attribuer au développement plus d'extension, dans d'autres cas il faut le restreindre; à chaque nouvelle valeur de l'exposant

correspond un nouveau nombre de termes qu'il est indispensable de fixer a priori^ et que la substitution dans le type général d'une valeur particulière de l'exposant est inhabile à ren* dre manifeste.

Tout ne consiste donc pas^ dans les formules algébriques et dans rétudé des cas particuliers qu'elles peuvent présenter^ à faire de simples remplacements de signes positifs en signes négatifs et réciproquement; à tenter des substitutions de quantités fractionnaires, irrationnelles ou imaginaires, à des quan* tités entières et réelles ; à côté de ces opérations à peu près mécaniques qui peuvent bien quelquefois être suffisantes, il est des circonstances dans lesquelles il faut en faire fij^urer d'autres dont l'organisation moins matérielle dérive de l'esprit même des procédés de démonstration mis en œuvre.

Reconnaissons donc qu'il est de l'essence même du développement du binôme d'exiger, avant toute application qu'on voudrait faire de son type général à un cas particulier, qu'on détermine au préalable le nombre de termes qu'il doit contenir pour ce cas, et que vouloir substituer à m une valeur numérique quelconque, sans avoir procédé d'abord à celte détermination, serait méconnaître dans ce qu'il a d'essentiel l'esprit du procédé algébrique à l'aide duquel doit être formé le développement de toute puissance du binôme.

Or, si la substitution pure et simple d'une valeur particulière de m dans le type général, alors même que cette valeur reste positive, est insuffisante à elle seule pour faire connaître le véritable résultat cherché, comment cette substitution pourraitelle être le seul et unique moyen de procéder lorsqu'on bit subir à la question la transformation si importante et si délicate du passage du positif au négatif?

Non certes, il n'en saurait être ainsi; les conditions de l'existence du développement du binôme, de sa formation, de son mode d'application, doivent inévitablement l'accompagner dans toutes ses phases, et si une de ces conditions les plus importantes est celle qui consiste à donner à la formule générale pour chaque cas particulier une appropriation spéciale quaût au nombre de termes qu'elle doit contenir, comment donc serait-on certain d'avoir exactement opéré si, voulant faire une application de ce même développement au cas des exposant

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négatifs^ on se bornait^ comme l'indique Ténoncé usuel de la règle à suivre, à remplacer + m par — m.

Procédons maintenant à Texamen des moyens employés |)Our établir la généralité de la formule du binôme. La plupart des auteurs empruntent à ce sujet une démonstration donnée par Euler, et ils la considèrent non-seulement comme concluante, mais comme très-ingénieuse, a Elle est sans contredit, c d'après Bourdon, la plus remarquable par son élégance et a par la simplicité des calculs qu'elle exige. » Lacroix dit à son tour : a Elle tient le premier rang par sa finesse et sa brièt Ycté. D Voyons en quoi elle consiste.

On sait, disent les auteurs qui la reproduisent, que, m étant entier, on a

tu— I

(i + z)"»= i + mz + m z' + ...*;

mais m étant un nombre fractionnaire positif j on ignore de

quelle expression algébricpie provient le développement du second membre; représentons-le par Mt-)* , {Voir les Compli*

mente d'Algèbre de Lacroix.)

Arrêtons-nous dès ce début, et rendons-nous bien compte de tout ce qu'il y a dans ces prémisses. Evidemment, lorsque m est entier, le développement de {i+z)m n'est pas une série, c'est un polynôme ordonné suivant les puissances ascendantes de z, se terminant à celle du degré m, ayant par conséquen t m + i termes. Or, que devient ce polynôme lorsqu'on suppose

que fit se change en ^^ C'est là une question à laquelle il n'est

pas très-facile de répondre, et sur laqilelle cependant il serait trè^nécessairede s'entendre. Dans le premier développement, en effet, la condition que le nombre des termes est égal à Texposant m augmenté d'une unité est parfaitement conciliable avec la nature du nombre entier ; mais dès que cet exposant est

230 PROPRIÉTÉS DKS DIRECTIONS.

supposé fractionnaire^ lexpression -r + 1 ne devient-elle pas

impossible comme indication d'un nombre de termes, et dès lors ne doit-on pas reconnaître qu'on reste dans le doute le plus complet sur ce que devient le développement par la supposition que le fractionnaire se substituée l'entier ? Hais ce n'est pas tout: dans le premier développement qui s'arrête au terme en z» tous les exposants de z sont nécessairement entiers; or^ comment, avec cette condition obligée d'exposants tous entiers^ pourrai-je m'arrêter au terme «"*, alors que m devient

^? Ce n*est pas tout encore : Euler et ses successeurs ont considéré le premier développement par une seule de ses extrémités^ celle qui correspond à l'unité comme point de départ; maissi, comme cela est parfaitement permis, nous la considérons par Tautre extrémité qui commencerait par z^, ne serons-nous pas

obligés^ en vertu de la supposition que m est égal à -7« d'écrire ce développement sous la forme

Dès lors^ la condition que tous les exposants de z sont entiers ne sera-t-elle pas détruite? et^ dans ce cas, comment avec des exposants tous fractionnaires arriverons-nous à l'unité qui doit actuellement être le terme final du polynôme?

Nous nous croyons donc autorisé à conclure^ à la suite de toutes ces remarques, que Ton n'a pas suffisamment tenu compte de ce fait important, que : supposer m fractionnaire, c'est détruire implicitement mais inévitablement les conditions essentielles de la constitution du premier développement en Terta desquelles, soit le nombre des termes, «soit la valeur des exposante successifs, qui sont l'un et l'autre des dépendances de m, exigent inipérieusement que m soit entier, conditions qui ne sont plus ni réalisées ni susceptibles d'être conçues et exprimées dès qu'il est fractionnaire.

Il était donc on ne peut plus nécessaire de s'expliquer sur ces premières difficultés, et c'est ce qui n'a été tenté nulle part. Mais à défaut de ces explications, en se reportant soit à