CHAPITRE X

la nature des raisonnements dont on fait usage, soit à ia forme sous laquelle on présente finalement la valeur développée de

(i+z)'' ,il est possible d'apprécier comment on a compris que les choses doivent se passer. Il devient apparent en effet, en suivant cette marche^ que ce qu'on a voulu dire c'est que la

valeur de(i +z)*' sera un développement dans lequel on substituera bien t à m dans les coefficients qui multiplient les

puissances successives de z, mais dans lequel on continuera de maintenir à z des exposants entiers : et encore le premier point exigerait-il quelques éclaircissements, car on ne voit pas trop comment le coefficient i de z"*, qui ne contient pas m, pourrait être modifié par le changement de m. Or, ce n'est là

à proprement parler qu'un remplacement partiel de m par v?

au lieu d'être un remplacement intégral comme on devrait le faire; en outre le polynôme fini qui constitue le développement primitif se transforme en une série contenant un nombre infini de termes. Est-ce bien là^ nous le demandons, ce qu'on entend en algèbre lorsqu'on dit que, dans une expression, il faut remplacer une des quantités qui y figurent par une autre? Quoi qu'il en soit, la question étant posée dans ces termes, la suite de la démonstration n'est ni plus claire ni plus concluante que le commencement.

Étant en effet convenu que le nouveau développement qui

doit représenter n^) est constitué quant à sa forme comme

nous venons de l'indiquer, on aura, dit-on, pour une autre

hf valeur p de m un développement de forme analogue ; et,

parce qu'on a besoin de s'éclairer sur les propriétés de la fonction n 7), on est conduit à se demander ce que peut être le

produit f(-A Xti-n)' * Il s^i'^ît très-difficile, font remarquer

« les auteurs, d'obtenir la valeur de ce produit d'après les < règles ordinaires de la multiplication des polynômes, si

332 PROPRIÉTÉS DES DIRBCTIONS.

« Ton n'observait qae la forme d'un produit ne dépend aucu- (c nement des valeurs particulières des lettres qui entrent dans « les deux facteurs de la multiplication ; par conséquent le « produit ci-dessus doit avoir la même forme que dans le cas a où m et m' sont des nombres entiers ; donc^ etc.. »

Hais^ ferons-nous remarquer, lorsque m et m! sont des nombres entiers, les développements sont des polynômes finis ; il faudrait donc qu'on nous expliquât comment le produit de deux pareils polynômes^ qui est lui-même un polynôme fini, va cesser de l'être; comment cette forme, alors qu'elle reste obligée tant que m et m' sont entiers^ va tacitement et mysié* rieusement, à coup sûr, sans qu'on y touche, par le seul effet d'un tour de raisonnement, se transformer en une série ayant un nombre infini de termes, et cela, je le répèle, sous la conception purement mentale que m et m' deviennent fractionnaires.

Il nous paraît impossible, tant qu'on n'aura pas détruit cet ensemble d'objections, d'accepter comme concluante cette assimilation de produits pour deux cas essentiellement distincts et entre lesquels existent des antipathies aussi radicales que celles que nous venons de constater, de sorte que s'il est vrai en fait que le développement du binôme, lorsque m cesse d'être entier, doit revêtir les formes qu'on lui assigne, nous ne saurions considérer cette proposition comme rationnellement justifiée.

Nous n'aurions rempli que la moitié de notre tâche, si^ après avoir indiqué ce qu'il n'est pas possible d'accepter dans ce qu'on enseigne à ce sujets nous ne recherchions pas comment il faut s'y prendre, soit pour faire disparaître les impossibilités pratiques qui se révèlent à tout instant dans les applications de la formule, soit pour dissiper les obscurités qui n'abondent que trop dans les raisonnements à l'aide desquels on a essayé de la légitimer.

Au reste^ nous croyons que beaucoup d'esprits sont aujourd'hui dans le dpute à ce sujet; car certainement nous n'avons pas été le seul à reconnaître toutes les invraisemblances cidessus énumérées. D'un autre côté, les recherches nombreuses