CHAPITRE X

qui ont été faites depuis quelques années pour trouver les règles de la convergence des séries sont autant de témoignages des méfiances qui se sont produites. Il y a des auteurs aujourd'hui qui ont soin de dire dans quels cas on peut utiliser les développements sériaires^ dans quels autres cas on ne saurait les employer sans s'exposer à tomber dans Terreur. C'est sans doute quelque chose, mais ce premier pas n'est pas suffisant ; car^ sMl est bien d'être averti que pratiquement remploi de certaines expressions algébriques doit être interdit, il n'est pas possible, au point de vue rationnel, que Tesprit accepte une situation aussi ambiguë que celle qui lui serait ainsi laite : une situation dans laquelle le vrai conduirait au faux, dans laquelle la théorie des formules serait légitime et leur usage ne le serait pas.

Quant à ce qu'on expose à ce sujet dans le calcul infinitésimal, lorsqu'on s'occupe de la formule de Taylor et qu'on détermine les limites de l'erreur commise en s'arrêtant à un terme quelconque du développement, nous reconnaissons qu'implicitement du moins ces explications sont un avertissement de nous tenir en méfiance contre de tels modes de solution et de n'en faire usage que sous certaines réserves. Hais ces explications, utiles au point de vue pratique pour certains cas, ne sont ni assez complètes, ni assez affirmatives pour d'autres, pour ceux, par exemple, dans lesquels les deux limites de Terreur seraient très-distantes Tune de l'autre, et dès lors on ne saurait les considérer comme suffisamment théoriques. D'ailleurs elles arrivent bien tard pour quelques-uns, et elles sont comme non avenues pour tous ceux qui, ne poussant pas leurs études au delà de Talgèbre proprement dite, auront subi, sans aucun correctif, Tinfluence de doctrines vicieusement exposées. Mieux vaudrait à coup sûr ne rien dire, en expliquant pourquoi on s'abstient, que de s*exposer à être inexact en voulant prématurément trop généraliser.

Nous allons maintenant essayer de dénouer les entraves de ces contradictions, de porter quelque lumière sur ce sujet, et nous espérons prouver au lecteur que, conformément aux règles de lalogique,s'il y a erreur dans les résultats, c'est qu'il y en a aussi dans les formules qui les donnent. Recherchons donc sans parti pris, sans idée préconçue, s'il

est possible^ par exemple, ou s'il n'est pas possible que la fonction {i+z)~^ soit exprimée par un développement procédant suivant les puissances ascendantes de ;s (1); ne nous préoccupons nullement de la similitude ou du défaut d'analogie qu'un tel développement peut avoir avec celui de [i+z)"^, laissons à la seule analyse le soin de décider si ce développement sera possible ou impossible, s'il sera un polynôme fini ou une série, et sous quelles condilions il nous sera permis de les accepter l'un ou l'autre comme valeur de (1+2)-*. Seulement, instruit par l'expérience^ et poussé par elle à soupçonner tout au moins qu'une telle équivalence pourrait n'être pas possible^ tâchons de nous éclairer sur ce premier point, et, à cet effet, voyons ce qui se passe lorsque — m prend la valeur — i, la plus simple de toutes.

Examinons donc ce qu'il faut penser de l'expression

c'est-à-dire d'une égalité dans laquelle le second membre ne contiendrait d'autres termes en z que ceux qui renferment des puissances entières et positives de cette quantité.

11 est presque inutile de faire observer que si nous avons immédiatement écrit que le terme tout connu est égal à Tunité, c'est que telle est évidemment la valeur qu'il doit prendre pour le cas où z est nul.

Nous supposerons d'abord que le développement est fini et s'arrête au degré p ; nous apprécierons plus tard, lorsque le moment de conclure sera arrivé^ ce qu*il peut y avoir de fondé dans cette hypothèse.

Si Ton multiplie par 1+2 les deux membres de cette égalité^ le premier membre deviendra l'unité et le second membre prendra la forme

iM^,+ i)z+{\,+k,)z^+...+iAp+Ap^;)ZP+A^z^;

or, ce produit devant être égal à I9 quel que soit z, il faudra

(i) Nous pourrions prendre tout autre cas de la puissance du binôme que celui de Texposant négatif; Texposé que nous allons iiedre convaincra finalement le lecteur que des conclusions analogues s'appliqueraient à toutes les circonstances.