CHAPITRE X

que tous les coefficients des puissances de z soient nuls. Pour réaliser cette condition, il suffira que deux coefficients consécutifs quelconques du développement primitif soient égaux et de signe contraire, ce qui conduit aux valeurs suivantes :

les signes + et — de la dernière condition s'appliqueront suivant que p sera pair ou impair. Mais si ces valeurs produi- .seDt Tanéantissement de tous les termes en z, depuis z jusqu'à xP inclusivement, elles échouent complètement vis-à-vis du Aj,z^^^ puisque d'une part la valeur antérieurement détermi* née pour A, est^i, et qu'il faudrait d'autre part que cette valeur fût nulle pour faire disparaître le terme qui contient jsi''^^ la contradiction est donc flagrante. Ainsi la supposition que (i +z)'-^ peut être développé en une série de termes ne renfermant chacun que des puissances entières de z est inadmissible; quelque loin qu'on prolonge un pareil développement^ on se trourera constamment en face d'une difficulté semblable à celle qui vient de se révéler^ d'où il suit qu'aux termes qui figurent dans la valeur supposée de {i+)z-\ il est indispensable d'en joindre d'autres d'une nature nécessairement différente, et sur la forme desquels il nous sera facile d'être renseigné.

En effet, représentant par f(z) Tensemble de ces termes inconnus quant à leur valeur et à leur forme> nous écrirons

(i + j5P = i+A,« + A,2«+... + Ap«' + F(z);

multipliant^ comme précédemment, les deux membres par (i+js), il viendra

i = i+Aj z + A^ z*+...+Xp \v + F(z) + 1 +A, +Ap-t| +A,z^^

+zF{z).

Ot, nous anéantirons dans le second membre tous les termes en z, jusqu'à 2P, à l'aide des valeurs précédentes de A,, A,.., Ap, et il ne restera plus qu'à satisfaire à la condition

¥{z) + ApZP^'+zF(z)=:o,

de laquelle on déduit, après aToir remplacé Ap par sa aleur

conclusion fort claire^ de laquelle il résulte qu'à la suite des termes contenant les puissances entières de z, il est indispensable, pour que la formule soit une yérilé^ d'ajouter le terme

final q: -r^* qui clôt définitivement la série en égalisant les

deux membres.

Tels sont les principes; les présenter autrement^ c'est les méconnaître; la fonction finale est nécessaire, indispensable ; sans elle, rien n'est constitué; sans elle, le développement n*est qu'un vain étalage de termes, qui^ non-seulement^ n'apprend rien sur la valeur cherchée^ mais qui^ au contraire^ conduit aux résultats les plus inexacts^ ainsi que nous l'ayons prouvé par de nombreux exemples.

Quelquefois, sans doute, il arrivera que, pour obtenir une valeur approchée de(i +z)'S il suffira de faire usage des seuls termes développés suivant les puissances de z, et cela se conçoit aisément. Qui ne voit, en eflèt^ que la fonction finale est d'autant plus négligeable que, z étant plus petite p est plus grand ; qu'on peut par conséquent, dans les applications, faire abstraction de cette fonction lorsqu'on atteint une valeur de p en rapport avec le degré d'approximation qu'il s'agit de réa* User? Mais ne manquons pas de présenter ces divers cas conime une exception qui n'intéresse d'ailleurs que la pratique^ et gardons-nous de les indiquer comme des exemples qui prouveraient d'une manière absolue la vérité et Tulilité de la fonnule développée suivant le mode ordinaire : se placer en dehors de cette thèse^ ou même garder le silence sur ce point, serait fausser la théorie .

Revenons maintenant au cas général, et, mettant à profit les enseignements qui précèdent , ajoutons au développement ordinaire une fonction de z et posons

^^=i+A,z + A,z*+...+A,zP+¥{z),

il s'agira donc de déterminer, d'une part, les coefficients A|, A^v'-yAp, d'autre part, la fonction F(z) ; les raisonnements ultérieurs seront appelés à constater d'eux-mêmes la nécessité ou l'inutilité de cette fonction.

Si l'on suppose que z reçoit une valeur z+t, diflërente de

GHAPITBE X. 237

la première^ parce que les coefQcîents ApA,,.MApSont indépendants des valeurs de 2, et que ces valeurs n'aflèctent pas la forme de la fonction F, on devra avoir

li+z + ty

+ Ap{z-^tY+F(z + t).

Cela posé^ en soustrayant Tune de Fautre ces deux égalités, il viendra

(i+zrx(i+2+«r~ *^ 'L^^^ J+"*

mais si^ dans le numérateur de la fraction du premier membre^ on développe (i + z +0"* comme un binôme formé des deux termes i +2 et t^ et si l'on supprime les deux termes de signe contraire (i + z)*"^ on aura un polynôme ordonné suivant les puissances de t^ depuis la première jusqu'à la m^^^. Divisant dans ce polynôme tous les termes par t, le premier seul ne contiendra plus ce facteur; de sorte quesi^ après cette division^ on suppose que t devient nul^ tous les termes^ sauf le premier, seront anéantis et le numérateur sera simplement égal à — m(i4-2)~'^ Quant au dénominateur, la supposition quel est nul lui fait acquérir la valeur (i +z)**. Nous pouvons donc dire que le premier membre, après la division par t et Tanéantissement de cette dernière quantité^ devient

soit

Exécutons les mêmes opérations sur le second membre. Le type général de ses termes est

Or on sait que les expressions de cette forme sont toujours divisibles par t et que le quotient de la division est

A9[{z+tK' + (z + lK^z+...+ (z + t)z^*+zr-^];

cela posé, lorsqne dans ce développement on suppose t nul, on a pour résultat p. Ap2>''''; par conséquent la série des termes indépendants de la fonction F, après la division par l et Tanéan-

340 PROPRIÉTÉS DBS DIRECTIONS.

admises dans le calcul infinitésimal, réquation, après qu'on a tout fait passer dans le premier membre^ prend la forme

Ainsi, la détermination de la fonction F dépend de la résolation d'une équation différentielle. Cette détermination noas oblige donc forcément à sortir du cadre ordinaire des éléments, et cela permet de concevoir pourquoi le problème, traité par les seuls procédés usuels de l'algèbre proprement dite, n'a pu recevoir que des solutions incomplètes.

L'équation à résoudre est une équation linéaire du premier ordre, dont le type général est, comme on le sait,

g + Py + Q=o.

dans lequel P et Q sont des fonctions de la seule variable indépendante z, et qui est résolue par la valeur suivante de y :

y=e'f^^(—fdz. Qef^^ + c\

c étant une constante à déterminer.

Dans le cas actuel on a

tu z^

de là résultent les valeurs suivantes :

par conséquent

et par suite

fdzQe^^^=Ar(p + m)fz^{i-hz)'^-'dz',

introduisant ces diverses expressions dans la valeur générale de y, on trouve