CHAPITRE X

Pour déterminer la constante c, il suffira de connaître ce qui a lieu dans un cas particulier. A cet effet, supposons qu'on ar- . i-ête le développement au premier terme, qui est égala l'unité, et pour lequel on aura par conséquent Ap=i, p=:o, il viendra

or, la valeur générale de F (5) devient dans ce cas

mais on a ' et par suite

substituant cette valeur dans Péquation (i) on trouve que celleci, pour être satisfaite, exige que c soit nul. Nous pourrons donc définitivement écrire

et telle est l'expression dont il faudra faire suivre le développement ordinaire de ; — r— r- lorsqu'on s'arrêtera au terme en zf pour que ce développement, ainsi complété, soit l'équivalent théorique et exact de ^ — ; — r- .

Avant de nous expliquer sur les conséquences remarquables auxquelles conduit la considération de la fonction finale, faisons voir comment, avec l'emploi de cette fonction, s'évanouissent toutes les anomalies ci-dessus signalées.

Nous avons constaté, par exemple, que lorsque dans le dé-

i>4i PROPHIÉTÉS DES DIRBGTIONS.

veloppeinent ordinaire on suppose m=: r , z~i, on arrive à cette conséquence reprochée à LeibnKz et à Euler

- = i — I + 1 — I -r i — • • • ; or, pour la valeur de m= i, la foncliou finale devient

-ApfJ^y^'d^,ou-A,^^

et simplement — Ap- lorsqu'en même temps z est égal à i.Cela posé, lorsqu'on s'arrête à un terme de rang pair pour lequel Ap= — I, la fonction finale se réduit à -, et comme alors tous

les termes antérieurs du développement s'annulent d'euxmêmes, il ne reste plus, au lieu d'une contradiction, que l'identité -= - . Si Ton s'arrête à un terme de rang impair pour

lequel Ap=i, la fonction finale se réduit à , mais alors

tous les termes du développement se détruisent mutuellemetit, sauf le dernier, qui est + 1 ; le second membre prend donc la

valeur i , qui est encore exactement celle du premier.

Supposons, en second lieu, que m = 2 ; on aura alors pour la fonctiou finale

valeur qui, pour la supposition que z = i, se réduit à

Cela posé, nous avons trouvé que, dans les mêmes circonstances, le développement ordinaire conduit au résultat inad-

GHAPITEB X. 243

missible

or, si Ton s'arrête à un terme de rang pair 2}/; Ap sera égal à— ap^, et la somme du développement jusqu'à ce terme sera

— p'; on aurait donc le résultat impossible -. = — p', qui s'éloigne d'autant plus de la vérité que p^ est plus grand. Mais nous allons voir que l'emploi de la fonction finale va rétablir l'identité.

En effet, p étant égal à 2 p' — i , et Ap à — 2 p^ on aura

moyennant quoi Timpossibiliié ci-dessus disparait et est remplacée par une identité.

Si Ton s'arrête à un terme de rang impair 2 p^ + i le coefficient ApSera égal + (2 p'+ i), et la somme du développement

aura pour valeur p^ + i; on aurait donc -=zp/ + i, résultat

tout aussi inadmissible que le précédent; mais alors on trouve

pour la fonction finale ""P^~ 7î cette valeur^ ajoutée à celle

p^+i du développement réduit à -r le* second membre, qui devient ainsi l'équivalent du premier.

Nous ne pousserons pas plus loin ces vérifications qui n'exigent d'autres procédés de calcul que ceux dont on fait journellement usage.

Si pour l'exposant fi^ctionnaire on procède à des recbercbes semblables à celles que nous venons de présenter pour l'exposant négatif^ on arrive aux mêmes conséquences; le développement à lui seul ne donne que des résultats erronés, et c'est en le faisant suivre d'une fonction finale qu*on obtient entre les deux membres l'équivalence obligée* Comme entre ce

244 PROPRIETES DES DIRECTIONS.

cas et le cas précédent^ il y a analogie complète soit pour la marche des calculs, soît pour la nature des raisonnements^ nous nous dispenserons de reproduire les uns et les autres. Nous nous bornerons à constater que la nécessité d'une fonction finale est la conclusion de ces nouvelles recherches. On se convaincra que si Ton ne la faisait pas intervenir, le développe-

ment à lui seul ne pourrait être la valeur exacte de (i +j5)^ que sous la condition que le terme auquel on s'arrête devrait avoir un rang fractionnaire^ ce qui n'est ni plus pratique ni plus concevable qu'un rang négatif. Quant à la valeur de cette fonction, elle se présente sous la forme

Cette valeur doit évidemment avoir une relation obligée avec celle que nous venons de déterminer pour le cas de l'exposant négatif. Il est en effet nécessaire que la première devienne la

seconde et réciproquement, lorsqu'on supposera que t= — m.

Un rapprochement non moins intéressant est celui auquel on est conduit lorsqu*on suppose que, dans cette fonction, l'exposant fractionnaire r est égal à un entier positif m. Dans ce cas, l'expression ci-dessus se transforme ainsi qu'il suit :

F {%) = (I + zr A, (m ^p)J^--JL—,^ rf:?.

Or, comme nous savons qu'alors le développement est fini et qu'il se termine lorsque p prend la valeur m, il faut que, pour cette même valeur, F (z) soit nul. C'est ce qui arrive en effet à cause du facteur m^p qui y figure. Hais, pour les valeurs de p inférieures à m, la fonction doit subsister, puisque, pour toutes ces valeurs, le développement reste incomplet Nous savons par exemple que, lorsqu'on s'arrête à l'avant-dernier terme, c'est-à-dire lorsque p est égal à (m— i), ce qu'on doit ajouter est le terme j:*", il faut donc que z"^ devienne dans cette hyppthèse la valeur de F (z).