CHAPITRE X

En effet ayant alors Ap = m et m — p = i ^ il viendra

F{*) = (, + *rm/^^-^:^d.;

or^ en divisant par iS*"'^' les deux termes de la fraction qui est sous le signe de Fintégration^ elle devient

- —2—dz •

et Ton reconnaît alors aisément qu'elle est la différentielle

exacte de -^^ — ; on aura donc

ainsi que cela doit être.

Nous n'insisterons pas davantage sur ces vérifications.

La résultat définitif de ces études est que^ pour tous les cas où l'exposant du binôme sera réel, que cet exposant soit entier, fractionnaire^ positif ou négatif^ la forme de la fonction finale sera généralement représentée par l'expression

dans laquelle il ne s'agira plus que de remplacer m par la valeur particulière qu'on lui aura attribuée .

Disons maintenant que des circonstances semblables se présenteront pour toutes les expressions algébriques dont on voudra former les développements; que toujours le développement à lui seul sera insuffisant pour représenter la yaleur de l'expression et que l'égalité théorique de celle-ci ne s'obtiendra qu'en ajoutant à ce développement une fonction finale .

246 PROPRIÉTÉS DBS DIRECTIONS.

Par exemple^ pour l'exponentielle a% si l'on arrête le développement au terme Apz'', on trouvera que Féquivalence cherchée ne peut s'obtenir que par l'addition d'une fonction de % ayant la valeur suivante

nous représentons par la notation p ! ^ conformément à un usage qui tend à se répandre de plus en plus, le produit des nombres de la suite naturelle compris de i à p inclusivement.

Pour la fonction logarithmique la fonction finale de log(i-hz se présente sous la forme

w=^-/r^rf-

[JL étant le logarithme du nombre e dans le système dont on s'occupe.

L'étude de la fonction logarithmique, au point de vue de son développement^ donne lieu à d'intéressantes remarques, mais nous ne pouvons que les signaler sommairement.

On constate alors que logjs ne peut pas être développé en une série ordonnée suivant les puissances de js, savoir:

car, lorsqu'on veut essayer cette forme, on trouve que tous les coefficients devraient être nuls, ce qui fait disparaître le développement. Dès lors il n'est pas possible qu'on trouve pour F (z)' autre chose que log z. En effet, dans ce cas, p étant nul dès l'abord et i -4-2 devenant js, cette fonction se présente sous

/dz — qui donne immédiatement \lIz et par suite

logz.

La supposition que les coefficients sont alternativement l'infini positif et rinûni négatif conduit encore à l'anéanti ssemeot devenu nécessaire du développement. Si nous faisons cette observation, c'est que la formule qui donne le logarithme deis en fonction des puissances de z — i et qui est, comme on sait,

logi= |X L - I) - i (s- i)«-4-^(z - i)»-...J présente en effet cette singuUère circonstance.