CHAPITRE X

Car^ lorsqu'on développe les puissances de z— i et qu'on ordonne le résultat par rapport iz^le premier coefûcienl A^ a

pour valeur une série dont le terme général est et qui est

par conséquent égale à l'infini négatif; le coefficient de z est également une série ayant pour terme général + i et représentant rinfini positif; pour le coefficient de z*, le terme gêné-

rai de la série est ; pour le coefficient de 2% le terme général est H 5 — ; pour le suivant, il est 5 j-^»

et ainsi de suite. Nous ne saurions donner ici à ces remarques toute la suite qu'elles comportent^ et nous nous bornons à les indiquer.

Lorsqu'on soumet les fonctions circulaires à des investigations de même nature, on est conduit à des conséquences analogues. Les fonctions finales s'obtiennent alors par l'intégration d'une équation difiTérentielle linéaire du deuxième ordre, ainsi conçue :

au reste, dans ce cas la recherche du développement de

cos z-^ v^^ sin z conduit au but plus directement que si l'on voulait déterminer séparément ceux de cosz et de sinz. On trouve alors une série à termes réels et à termes imaginaires dont les premiers appartiennent au cosinus et les seconds au sinus.

Quant à la fonction finale, lorsqu'on s'arrête au terme en z^^ elle revêt la forme

et il ne s'agit plus que d'y faire la séparation du réel el de l'imaginaire pour attribuer le premier au cosinus et le second

au sinus.

Cette séparation aussi bien que tous les calculs précédents sont faciles en s'appuyant sur la proposition suivante^ qui sera

démontrée tout à Theure et qui consiste en ce que l'expression d'une direction quelconque cos z + V— i ^î" ^ ^^ égale,

non pas à e*^^, comme on Ta écrit jusqu'à présent^ mais à

^i V. En vertu de ce théorème on a ces deux relations : '

(v/^)'=cos-z4-\/^sin-j?, (\/^j *=cos- J5 — V—î sin-;

elles permettront donc très-facilement de faire sortir V*-l en dehors du signe intégral et dès lors on obtiendra sans peine, pour chaque valeur de p à laquelle on voudra s'arrêter, la séparation du réel et de Timaginaire : le premier sera la fonction finale pour le cosinus; le second, dépouillé du facteur

V^^y sera la fonction finale pour le sinus.

Nous nous bornons à ces indications générales qui sont suffisantes pour faire comprendre ce qu'il y a d'essentiel dans le sujet que nous venons de soumettre à l'appréciation du lecteur.

Ces divers faits ainsi constatés, déduisons-en les principales conséquences.

Au point de vue pratique, la considération de la fonction finale permettra de décider s'il est possible que le développement soit fini, c'est-à-dire s'il y a une valeur de p pour laquelle cette fonction devient nulle ; c'est ce que nous avons constaté pour le binôme dans le cas où l'exposant entier est positif. Dans les circonstances où il sera reconnu que la fonction finale est une quantité très-petite et le devient de plus en plus lorsque p augmente, étant parvenu à une valeur de p en rapport avec le degré d'approximation qu'on veut obtenir, on pourra regarder cette fonction comme nulle et accepter le développement, limité à cette valeur de p, comme la représentation approchée de l'expression algébrique dont on s'occupe ; c*est ce qui arrive pour le binôme lorsque % est moindre que l'unité. Mais lorsque la fonction finale ne sera ni nulle ni décroissante avec p, ce n'est pas en dehors d'elle qu'il