CHAPITRE X

faudra chercher à obtenir la valeur de l'expression algébrique qui âgure au premier membre.

Au point de vue théorique, la fonction finale est le seul moyen de faire disparaître les nombreuses contradictions qui se manifestent lorsqu'on se borne à la seule considération du développement ; elle introduit entre les deux membres de l'équation Téquivalence qui sans elle ferait défaut ; et nonseulement elle rétablit entre ces deux membres Téquilibre numérique, mais encore celui des formes algébriques. Celles-ci en effet, sous les apparences constamment les mêmes que pré- . sentent des développements procédant suivant les puissances de la variable, cesseraient d'être distinctes, et revêtiraient tontes invariablement la même physionomie et la même constitution. Or, la fonction finale, et c'est là un de ses plus remarquables enseignements, nous apprend qu'il n'est pas possible que les choses se passent ainsi; elle nous fait voir que les diverses formes de fonctions algébriques ne sont pas susceptibles d'être ramenées à la forme unique des développements sériaires. Si, dans quelques circonstances, ces développements peuvent en donner la valeur numérique, ils sont inhabiles à remplacer la spécialité des opérations qui constituent une fonction quelle qu'elle soit. Celle-ci reste par conséquent toujours distincte, de sorte qu'explicitement il n'est pas possible d'ex- * primer une fonction indépendamment de la forme même sous laquelle elle se manifeste et qui la caractérise.

Ainsi, par exemple, et sauf quelques cas tout particuliers, une exponentielle ne peut pas être égalée à une fonction algébrique proprement dite, un cosinus ou un sinus ne pourront pas l'être à un logarithme, et ainsi de suite ; sauf, nous le répétons^ pour quelques valeurs particulières de la variable, mais jamais pour la généralité de ces valeurs.

On remarquera en effet que les fonctions finales que nous venons dé faire passer sons les yeux du lecteur sont invariablement constituées avec les formes mêmes des expressions algébriques qui ont produit les développements auxquels elles doivent s'ajouter pour que Téquivalence théorique existe. Ainsi la fonction finale pour (1 + 2)"', quel que soit m, contient lefacteur (i-hz)"*; la fonction finale pour a* contient également a* et ainsi des autres. Or, lorsque dans celte fonc-i*

250 PROPRIÉTÉS DBS DIRECTIONS.

lion on développe Tialégralc qui y figure^ il arme que la valeur de celle-ci se manifeste sous la forme précisément inverse de la série qui la précède et qu'elle détruit^ et il ne reste plus finalement que des identités de la forme

(H-z)"* = (n-j5)"*, a' = a', cosz = cosz,...;

d'où Ton est conduit à conclure que^ quant à la forme, chaque fonction reste isolée dans la sienne^ et qu'il n'est pas possible de représenter une espèce quelle qu'elle soit par une forme prise en dehors de celle qui lui est propre.

Ces faifs en expliquent beaucoup d'autres. Voilà pourquoi en particulier^ lorsque, dans la résolution de l'équation du 3"« degrés on cherche^ à l'aide de fonctions purement algébriques, des racines qui ne peuvent être données que par ia considération des fonction^ circulaires, Falgèbre vient nous opposer une fin de non-recevoir. Des circonstances tout à fait semblables expliqueront l'impossibilité où nous sommes de résoudre généralement les équations des degrés supérieurs au quatrième. C'est à coup sûr parce que les racines de ces équations doivent être représentées par des fonctions autres que des fonctions algébriques. De sorte que le grand intérêt du problème se ramène aujourd'hui à découTrir quelles peuvent <ûre ces fonctions.

Nous demandons pardon au lecteur de cette longue digression qui est venue interrompre notre exposé des propriétés des directions. Mais^ dans un travail comme celui-ci, nous sommes assujetti à un ordre général qui ne nous permet pas d'introduire indistinctement où nous voudrions les divers épisodes qui se présentent, et nous sommes forcé d'accepter pour eux la place même que l'occasion vient leur assigner.

Reprenons maintenant la question que nous avons laissée en suspens et qui consiste à rechercher la base du système de logarithmes applicable aux directions. Nous avons dit que cette base ne pouvait être déduite de la valeur e^v=i attribuée à

cosa -{- v^— 1 sin a par Ëuler. Justifions cette assertion»