CHAPITRE X. S5i

Ce qu'on peut dire de moins excentrique au sujet de la formule d'Euler^ c^est qu'ayant remplacé, dans Texpression

cosa-hy' — I sina d'une direction, les oosinus et sinus qui y figurent, par les séries convergentes qui donnent leurs valeurs, on trouve identiquement

cos

cela fait, on remarque que ce développement est précisément celui qui représente en fonction de a la valeur de e* lorsqu'on

suppose que a devient a /^ ; d'où Ton infère qu'on peut sans crainte d'erreur attribuer à l'exponentielle e^'^^ la propriété

de remplacer dans les calculs l'expression cosa + V^^sin a. Au point de vue de ce raisonnement, la valeur en série de a««^=T n'étant pas considérée comme une déduction logique , mais comme la simple manifestation des conséquences d'une supposition, cette formule en un mot n'étant qu'admise et non démontrée, et pouvant ne pas être vraie, il n'est pas possible de voir autre chose dans

e»V-*' =11 cos a -h V — I siu a,

que le résultat d'une hypothèse, qu'une convention. Ce ne serait qu'au cas où il serait rationnellement établi que le développement de e« continue de s'appliquer lorsque a prend la

forme a ^^^ que la formule d'Euler serait vraie elle*méme ; or cela n'a pas encore été démontré. Jusque-là, nous le répétons, cette formule ne peut donc être considérée que comme une convention.

Certes, nous ne prétendons pas qu'on ne soit pas le maître de faire des conventions, mais ce sera à la condition qu'on ne les perdra pas de vue, qu'on se soumettra scrupuleusement à toutes les conditions qu'elles imposent. Or, tout cela n'est pas aussi facile qu'on pourrait le supposer, surtout lorsque ces conventions portent sur des indices qui, loin d'être étrangers à l'algèbre, ont reçu, antérieurement à ces conventions, la mission de représenter des fonctions ayant déjà une signification algébrique. Il y a là des entraînements dont il est à peu près impossible de se défendre.

^i PROPRIÉTÉS DES DIRECTIONS.

Hais si, pour quelques esprits plus logiques que d'autres, il ne faut réellement Toir dans la formule d'Euler qu'une convention, combien n'y en a-t-il pas qui y voient plus que cela et qui la considèrent comme une vérité ? Nous avons lu avec la plus sérieuse attention les leçons d'analyse professées à Té-cole Polytechnique par Navier^ et nulle part nous n'avons trou* vé un mot de réserve à ce sujet. Loin de là^ partout le déyeloppement^ non-seulement de c* v^, mais encore de e"»**i^=7, est présenté comme théoriquement exact. Il est dit textuelle* ment que les développements de é', sin x, cos x iubsislent lorsqu'on donne à l'arc x, une valeur quelconque imaginaire

^s=m-hn^^^i (p. II 5) et cela sans conditions, sans res* trictions aucunes ; aussi l'auteur applique-t-il à ces formes, quoiqu'elles n'aient pas été définies et que par conséquent elles ne puissent être considérées que comme hypothétiques, foutes les règles de calcul qui n'ont été démontrées que pour les arcs réels et qui ne sont par conséquent autorisées que pour eux.

Mais^ à supposer qu'il fût vrai, comme on le dit, que les développements de e', sin x, cosx subsistent lorsqu'on donne à x une valeur imaginaire quelconque, quelle déduction légitime pourrait-on tirer de ce fait^ si l'on remarque que ces développements ne sont pas les véritables valeurs théoriques de e*, sin x, cos X ? Que pour qu'ils le deviennent il est nécessaire, ainsi que cela vient d'être expliqué, qu'on leur ajoute une fonction finale de X, très-diOérente dans sa forme de celle des termes du développement, et qui par conséquent, en vertu de cette ditTérence même, pourra fort bien interrompre le cours des analogies déduites seulement de ce qui se passe dans les parties sériaires de ces expressions. En fait, on n'agit pas sur les valeurs complètes de e', sin x, cos x, mais sur une partie seulement de ces valeurs, et dès lors toute conclusion rigoureuse échappe. Cela peut être permis dans la pratique lorsque, la variable restant réelle, il s'agit d'obtenir des valeurs numériques approchées de ces expressions : on démontre que, dans ces circon*