CHAPITRE X

stances^ cette manière de procéder est légitime. Mais ne seraitce pas étrangement abuser de la faculté de procéder par induction que d'aller jusqu'à supposer que ce qui est permis pour le réel, et lorsqu'il s'agit de simples valeurs approchées^ Test également, non-seulement pour l'imaginaire^ mais encore pour des valeurs qui n'admettent plus les tolérances de l'approximation et que nous ne pouvons accueillir qu'exactes ^ complètes, consliluées, en un mot, suivant les plus rigoureuses exigences de la théorie ?

En résumé, il n'est pas possible de prétendre que la forme acceptée pour la valeur de e*^^ soit justifiée, et l'on ne peut par conséquent iaire d'autre concession que celle que la formule d'Euler ne doit être admise que comme une convention, et même une convention qui n'intéresse que la partie sériaire de cette valeur. C'est la première proposition que nous avons émise, passons maintenant à l'étude des conséquences.

Le caractère propre de la fonction cos a + /— i sin a, c'est qu'elle ne change pas lorsqu'on augmente l'arc a d'un nombre quelconque de circonférences. Il faudrait donc que sa représentation exponentielle jouit de la même propriété et qu'on eût par conséquent

et ainsi de suite, d'où l'on déduit en supprimant le facteur commun :

Or, comme en définitive ces diverses expressions sont des nombres variables et réels

élevés à la même puissance ^^^ , on a en vérité de la peine a comprendre comment tous ces nombres, ditTérents les uns des autres, traités par la même opération, pourraient donner un résultat uniforme égal à l'unité. Ce qu'il y a de certain, c'est que, lorsque des racines sont réelles, comme c'est ici le cas, nous n'avons aucune opération dans la science qui puisse nous don-* ner la moindre idée d'une semblable conclusion, si ce n'est la

254 PROPRIÉTÉS DBS DIRECTIOhS.

puissance zéro. Nous serions ainsi porté à dire que /^^ doit être l'équivalent de zéro, et c'est ce que personne ne sera disposé à admettre. Et comme, d'un autre côté, il ne serait pas plus raisonnable de prétendre que ce sont les exposants 2ir, ^t:, .,..2kic qui sont nuls, il en résulte que l'exponentielle

«'^~* n'aurait pas toute la généralité que comporte l'expression cos a + |/ — I sin a ; elle ne lui serait équivalente que dans un cas, et en différerait dans tous les autres, qui sont en nombre infini. Concluons donc de là qu'il faudrait tout au moins que l'opération d'élever un nombre réel à la puissance du degré

i/— I fût préalablement définie pour que nous pussions avoir confiance dans l'équivalence complète de la forme e^^^ avec

celle de cosa+v/—i sin a. Or, c'est précisément là ce qui fait défaut, et c'est par ce motif que, dès le début de cette discussion, nous avons élevé des doutes sur l'exactitude de la formule d'Euler.

Il est donc bien difficile, même en l'acceptant comme convention, de comprendre qu'elle puisse posséder toute la généralité qui appartient à cos a + v^— i sin a et qu'elle jouisse par conséquent de la propriété d'en être la représentation. Dans tous les cas, cela n'est pas prouvé.

Pour les géomètres qui considèrent que le développement de €« en série continue de subsister comme vrai lorsque a devient a ^—i et qui par suite sont obligés d'admettre qu'il est permis d'élever une expression quelconque à la puissance

îmnginaire V — i^ il est facile de leur prouver que cette manière de concevoir les opérations en algèbre conduit directement à une impossibilité. En effet, dans la suite d'égalités

qu'on élève tous les membres à la puissance V — i^et l'on aura

conséquence complètement inadmissible. Quant à ceux qui ne considèrent la formule d'Euler que comme une convention^ il n'est pas facile de les convaincre de leur erreur par le même

GBAPiTRE X. !255

moyen, parce qu'ils se refusent à reconnaître qu'on soit autorisé à déduire aucune conséquence légitime de Télévation

de quoi que ce soit à la puissance v/^* opération non déflnie, disent-ils, et dont par conséquent les effets restent bypotliétiques. Hais alors il leur reste à nous faire comprendre corn* ment toutes les expressions e'^i^V^ sont égales à l'unité^ quel que soit k. Nous pourrons d'ailleurs leur faire remarquer que leur convention n'est pas tant exempte de reproches qu'ils pourraient le supposer^ car quelle que soit leur répugnance à comprendre ce que peut être l'élévation d'une expression réelle

à la puissance y^ — i , cette convention n'est pas autre chose, en fait, qu'une semblable opération. Je leur demanderai en effet

en quoi la substitution de a V^ à a dans e^ diffère de Téléva-

tion de c® à la puissance V--1 • si je ne me trompe, c'est exactement la même chose exprimée en termes différents.

Il ne suffit pas en effet, pour repousser une objection, d'affirmer très-explicitement qu'on ne saurait être autorisé à faire usage

de l'élévation à la puissance v/— i? parce que cette opération n'est pas définie et ne se comprend pas : il faudrait encore, pour rester conséquent, qu'on n'eût pas fait soi-même implicitement cette même opération, sans laquelle l'objection n'aurait pas existé.

Nous ferons enfin remarquer que dans cette circonstance, comme dans la précédente, la convention ne porterait que sur les parties sériaires des valeurs de e^, cos a, siu a dans lesquelles on remplace a par ol^^, et qu'il faudrait tout au moins s'expliquer sur ce qui peut advenir de cette convention si on l'applique, comme cela devrait être, aux valeurs complètes de e^, cos a, sin a, c'est-à-dire aux fonctions finales.

Il ne nous parait donc pas possible d'attribuer une valeur théorique acceptable à la formule d'Euler^ et puisque d'ailleurs nous avons été conduit à reconnaître que la représentation des directions doit pouvoir être égalée à l'exponentielle de l'angle> examinons si sans recourir à d'autres moyens que ceux auto-

risés, il n'est pas possible de déterminer la valenr de cette exponentielle.

Il est évident qu'en prenant pour a une valeur très-petite, il est permis de concevoir que toutes les directions seront représentées par les puissances successives de cos a + V—ï sina, et cela sera d'autant plus vrai que la valeur de a sera moindre. Nous voyons d'après cela que les représentations algébriques des directions peuvent être considérées comme formant une progression par quotient, dont la raison est l'une d'elles, de même que les arcs forment une progression par dilTérence dont la raison est celui-là même qui correspond à cette direction : voilà donc deux progressions exactement constituées comme le sont celles qui pour les nombres nous conduisent à la considération des logarithmes , la première commençant par l'unité et la seconde par zéro; or l'on sait que la base d^un système est le nombre qui correspond à l'unité dans la progression par différence ; cela posé, si les arcs sont toujours représentés par leur longueur évaluée en fonction du rayon dans une circonférence pour laquelle ce rayon est l'unité, l'arc unité sera donc celui qui a pour mesure l'unité linéaire; il est un peu plus grand que 57 degrés. Nous pourrons donc dire que la base du système des logarithmes pour les directions est égale à cos i + \/ — i sin i ; Ton aura en conséquence, pour un angle quelconque a,

(cos I + sf^i sin i)«= (cos a 4- v^— i sin a)

résultat tout à fait concordant avec le théorème de Moivre. Mais on peut remarquer, qu'en vertu du même théorème.

cos I -f V — I sin I est la même chose que

cos - 4- v/^ sin - j ou (v'— i),

de sorte que nous pourrons dire que la base cherchée est celte dernière expression, et qu'on est par conséquent autorisé à substituer à la formule non démontrée d'Euler, la suivante:

(y— 1) =:C0SflC-}-v'--I Slua,

CUAPITEE XI. Kl

ou> si Ton veut;

( — i) =cosa+^ — isin.a,

dont la justification est parfaitement établie.

Il est d'ailleurs évident que le premier membre de cette

formule possède toute la généralité du second ; il reprend

exactement la même valeur^ lorsqu'on augmente a d^un nom-

iis bre exact k de circonférences, puisqu'alors — i ^ se réduit

à l'unité, et il échappe ainsi au vice de la formule d'Euler.

La valeur exponentielle de la direction se fait ainsi par des moyens autorisés, sans convention, sans introduction d'opérations non définies^ conformément au théorème connu deHoivre. Loin d'être en contradiction avec aucun principe^ elle est au contraire une conséquence naturelle de ceux dont la science du calcul nous permet de faire usage.

Après cet exposé des principales propriétés des directions et de leurs représentants algébriques^ passons à l'examen de leurs applications les plus essentielles aux considérations de la géométrie.

258 DE LA GOBfBINAISOM DE L' ATTRIBUT, ETC.