CHAPITRE XI. â6i

droite à partir da point 0 sera

r (CO8 04-V— ï sine).

En donnant à r toutes les valeurs comprises depuis 0 jusqu'à rinfini^ cette expression^ où 0 resle constant, repr^ntera toutes les longueurs dont l'existence est possible sur la direction 0 y et servira également à exprimer tous les points de la droite. Quant aux longueurs et aux points qui seraient situés sur la même droite, au-dessous du point 0, il faudra prendre pour eux la direction inverse de la précédente, c'est-à-dire

— (cos 6-f- V— 1 sinô), de sorte qne l'expression de ces points et longueurs sera

— r{cosO-i-v^— 1 sinô).

Si à la variation de r on joint celle de 6, il n'y a pas do point do plan qui ne puisse être représenté par celte expression.

Si au contraire on considère r comme constant, et qu'on fasse varier 8 de o à 21c, on aura l'expression de la circonférence de centre 0 et de rayon r.

Si enfin, avec la même variation de 6, on permet à r de prendre toutes les valeurs comprises de o à r, on aura rexpression commune à tous les points de Tintérieur de la circonférence de rayon r.

On doit comprendre déjà combien seront précieuses et fécondes les ressources que la représentation algébrique des droites dirigées nous oifrira, pour nous rendre compte de tout ce que ces^droites sont susceptibles de créer en géométrie. Donnons-en immédiatement une idée par un exemple fort simple. Supposons qu'à partir du point 0 on a pris sur la ligne de base une longueur 0 A, que pour abréger nous désignerons par a, et qu'on demande de construire sur OA un triangle, dont le côté passant par 0 soit égal à c, et dont le côté passant par A soit égal à b. Désignons, comme on le fait d'habitude, par a, p, y, les angles de ces triangles opposés respectivement aux côtés a, 6, c. La direction du côté 6 sera

C08(w'- y) +sl — isin (w— y) ou — cosy-f-v^— i sîn y;

Wi DE LA COMBINAISON DE l' ATTRIBUT, ETC.

celle du côté c sera

cosP+ v--îsinp,

et il faudra que le chemin dirigé

<»+&(— cosy + vZ—i siny) soit égal au chemin dirigé

c (cosP+v^ — I sinP:

(ie là on déduit^ en égalant le réel et Timaginaire, a— 6cosy=c cosp, ftsinyizicsinfi,

et le problème se trouve ainsi immédiatement résolu. Il ne s'agira plus que de tirer de ces deux équations, par les moyens ordinaires^ les valeurs des sinus et cosinus des angles ^ et y^ en fonction des trois côtés a^ b etc. La seconde équation donne la relation bien connue entre les sinus des angles et les côtés opposés ; faisant ensuite la somme des carrés^ on a la seconde relation connue

a^~2a6 cos Y-h6*=cS d'où on déduit la valeur de ces y.

' Hais avant d'aller plus loin, il est nécessaire de bien fixer les idées sur la manière de compter les arcs et les directions, et sur les rapports que ce mode de comptage établit entre les uns et les autres.

Les arcs se comptent sur la circonférence de rayon i, ayant son centre à l'origine et à partir du point où cette circonférence est coupée par la ligne de base; ceux qui s'élèvent au-dessus de cette base étant considérés comme positifs, ceux qui sont situés en dessous, et qui marchent en sens inverse^ doivent nécessairement être considérés comme négatifs. La représentation algébrique des arcs sera donc toujours di a.