CHAPITRE XI

Quant à la direction^ c^est celle de la ligne droite qui partant de Torigine aboutit à Textrémité de Tare a, et Ton volt qu'à l'aide de la variation de a^ il n'est pas de direction autour du point 0 qui ne puisse être précisée par ce moyen.

Ces directions^ nous Payons tu en effet, sont caractérisées par la fonction

cosa + v' — 1 sina

de Tangle a.

Remarquons d'ailleurs qu'on pourrait se passer» en vertu du principe d'évolution inhérent à la circonférence^ de la considération des arcs négatifs^ car en partant du point A je pourrai aboutir à un point quelconque de la circonférence sans changer le sens du mouvement. Si^ en effet, au lieu de marcher à rebours à partir du point A par le chemin circulaire a, je marche directement à partir de ce même point sur le chemin circulaire 21C— a, j'arriverai au même point. Qu'on opère d'une manière ou d'une autre, il ne restera pas de confusion si l'on s'est bien fixé à l'avance sur le sens dans lequel il faudra appliquer dans chaque cas les cosinus sur la ligne de base, à partir de l'origine, et sur celui que devra recevoir le sinus perpendiculairement à cette Ugne.

n convient enfin de remarquer que si, au point de vue de ^origine, la position d'un sinus considéré isolément reste indécise, il n'en est pas ainsi dans l'expression cosa-4- y — ' sina, parce que d'après cette expression la distance du sinus à l'origine est toujours indiquée et précisée par la grandeur de cos a. La représentation des directions ne saurait donc offrir ni indécision ni difficulté.

On ne perdra pas de vue que si l'arc par sa marche circulaire est propre à fixer la position des directions, ce n'est pas au moyen de l'arc lui-même, mais au moyen des fonctions reetilignes de cet arc que l'on procède à la représentation algébrique des directions; mais parce que le cosinus et le sinus de a, ajoutés l'un à l'autre perpendiculairement, nous conduisent à l'extrémité de l'arc a, il ne faudrait pas croire que de ce qu'on aboutit également à cette extrémité en suivant d'abord le chemin i sur la ligne de base et lui ajoutant l'arc a, la direction peut être représentée dans le calcul par

StM W LA COMBIllAIgON DE L ATTaiBUT^ BTC.

i+a; car a ne représente qu'une grandeur en algèbre, tandis qu'en géométrie nons ne pouvons pas nous dispenser de Yoir dans a un chemin circulaire et par conséquent dirigée U n'y aurait donc pas équivalence entre les deux ordres de considération. Mais si nous tenons compte pour a de la propriété complexe qu'il possède d'exprimer une longueur dirigé», ou pour mieux dire une somme de longueurs dirigées, nous serons parfaitement autorisé à dire que la direction répondant à l'extrémité de a pourra être représentée par l'expression I -t-a dirigé; cette représentation sera tout aussi légitime que la précédente, sauf à rechercher ce que devra être en algèbre a dirigé.

Or la chose est facile, et Ton va voir que nous serons ainsi ramenés à l'expression précédente.

Il faut concevoir en effet que l'arc se compose d'une suc* cession d'éléments linéaires qui changent à tout instant de direction. Ce sont ces divers éléments dirigés, qui, ajoutés depuis le point A jusqu'à l'extrémité de a, représentent ce que nous appelons a dirigé.

Cela posé, lorsque dans le mouvement de progression qui s'exécute à partir de A, nous aurons décrit un arc quelconque X, l'élément linéaire de l'arc étant représenté par dx, sa direction sera celle de la tangente à la circonférence à l'extrémité de X, c'est-à-dire une direction perpendiculaire à celle du rayon aboutissant à Textrémité de x, et qui sera par conséquent exprimée par

V'^ (cosic-}-\/^sina5/; l'élément dirigé aura donc pour valeur

V~ (cosa?H-V— î sina?)(te,

et la somme de tous ces éléments depuis x:=zo jusqu'à â;= a sera a dirigé. On aura par conséquent

a dirigé = / y^^ (cos a:-4- V — i sin «) dx,

et nous pourrons écrire que la direction cherchée sera repré-