CHAPITRE XI

sentée par

i-f- / "v'— I (cosa; + /^ sin x) dx,

de telle sorte que pour qu'il y ait accord entre les vues dont nous présentons ici Texposé et les principes reconnus en algèbre^ il faudra que Féquation

cosa-f-V—î 8ina= i-h 1 /^ (cosa?+v^ sin a;) dx

se vérifie. OrPexactitude de ce résultat est facile à reconnaître , et il en résulte un nouveau contrôle de la légitimité de nos conceptions. Nous n'insisterons pas davantage sur ces aperçus, qui ne sont pas sans intérêt et qui pourront être développés plus tard. Nous nous bornerons pour le moment à faire remarquer combien ils seront propres^ appliqués à une courbe quelconque, à donner la connaissance immédiate d'un grand nombre d'intégrales définies.

Nous allons maintenant traiter une série de questions qui auront moins pour objet les solutions qui les concernent^ et qui sont bien connues, que Tindication du procédé à suivre dans ces sortes de recherches. A cet effet, nous nous attacherons peu au développement des calculs dont les formules obtenues seront susceptibles; ce sont là des détails dont la pratique est usuelle ; mais nous insisterons sur la marche à suivre pour effectuer la transformation algébrique des formes de la géométrie, suivant les principes ci-dessus exposés au sujet des longueurs dirigées. La plupart des figures dont nous parlerons étant très-simples, nous nous dispenserons de les tracer; le lecteur pourra facilement les reproduire à l'aide des définitions qui en sont données. Entrons maintenant en matière, et commençons par des questions dans lesquelles il ne s'agira que de lignes droites.

266 DE LA COMBINAISON DE L'aTTRIBUT, ETC.

Faire passer une droite par deux points.

Il s'agit de connaître : !<> la distance x à laquelle la droite en question coupe la ligne de base à partir de l'origine; 2» l'angle 0 qu'elle fait ayec la ligne de base. Son expression sera ainsi

x + p(co80+ V--Ï sinO),

p étant une longueur quelconque comptée sur la droite cherchée à partir de l'extrémité de x.

Les deux points donnés auront pour expression l'un

r(cos<p + v''— isinç), Tautre r'(cosç' + V~isin<j/), reir^ étant leurs distances respectives de l'origine^ <f et <{/ les angles que font les directions de ces distances avec la ligne de base.

Si l'on appelle, y et yf les valeurs de p pour les deux points, on devra avoir

(i) x+y (C0SÔ+ y^ — i sinô) = r {cosç+ /--î sinç),

a?+y^(cos6 + v^^sinô) =r^{cos9'+V^sin(p').

Soustrayant, on a

(y —y') (cos e + V^ sin e)

= r (coscp + v^l sin <p) — r' (cos (j/ + y^— isin^'ji d'où l'on déduit

(y— y')c^sô = rcos(p— r^cosç'', {y— y') sin 6 = r sin 9 — r'sin ^ ;

prenant la somme des carrés^ il vient

(y — yO* = r* 4- f '" — 2rf^ (cos ç cos ç' + sin ç sin 9^), d'où

y — j^ == ^r»-f- r/> — 2 rr^ cos (© — <p'),

par conséquent

rcosy — r^cosy r cos <p — r' cos 9^

y— y' y/r^-hr^^— 2rr' cos (<p— 9')

. ^ rsincp — r^sinti/ rsino — r'sin©'

y — W V' r* -h r'« — 2 rr^ cos (<p - (f')

GHAPraRE XI. 267

La direction de la droite est donc connue.

Reste à trouver x. Or de la première des équations (i) on tire

aî-Hycos,ô = rcos(p, y sjn 0 = r sin 9,

et de celles-ci Ton déduit

sin çp / sin 9 \

y = r-r— il a?=:f( cos<p — r — \]\ ^ sin 0 \ tang 6/

puis, substituant dans cette dernière les valeurs ci-dessus de sind et de cosô, on a définilivement

rsin9 — r'sin9''

l'expression de la droite sera donc

rf^sin(9 — 9^) / rcos9 — r^cos9'

rsin 9— f' sin 9' "^ ^ V^v»I|.|^r 2rr/cos(9 — 9Ô

j rsin9-r^sin9^ ^—^\

^f«-|- f/i 2 rr^ 008(9—9') /

Si l'angle 9 est égal à Tangle 9^ les deux points sont sur une même droite passant par l'origine qui sera précisément la droite cherchée.

En effet, dans ce cas, la valeur de x est nulle à cause de sin (9 — 9') = o, le radical devient r—r* et les numérateurs des fractions qui multiplient p étant égaux à (r — OCOS9, (r^-r) sin 9^ l'expression ci-dessus se réduit à

p(cos9 + V"— ï sin 9).

Si les deux projections de r et de r' sur la ligne de base sont égales, la droite cherchée sera une perpendiculaire à cette ligne ; l'expression devra donc être

rcos9-i-p\/— I, ou r'cos9'-i-p^ — !•

En effet, puisque fcos9 =1^0089'^ le premier des termes que multiplie p sera nul ; en outre cette dernière condition